2013年湖南省高考数学试卷（理科）

2013年湖南省高考数学试卷（理科）

‎2013年湖南省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（　　）‎ A． B．0 C． D．‎ ‎5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎6．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为　　．‎ ‎10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为　　．‎ ‎11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为　　．‎ ‎12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为　　．‎ ‎13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为　　．‎ ‎14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为　　．‎ ‎15．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N*，则 ‎（1）a3=　　；‎ ‎（2）S1+S2+…+S100=　　．‎ ‎16．（5分）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．‎ ‎（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为　　．‎ ‎（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是　　．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；‎ ‎②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．‎ ‎（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；‎ ‎（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．‎ ‎18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．‎ ‎（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；‎ ‎（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；‎ ‎（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．‎ ‎20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．‎ ‎（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；‎ ‎（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．‎ ‎21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．‎ ‎（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；‎ ‎（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．‎ ‎22．（13分）已知a＞0，函数．‎ ‎（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2013年湖南省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．‎ ‎【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，‎ 故复数z对应的点为（﹣1，1），‎ 在复平面的第二象限，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．‎ ‎【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．‎ 故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，‎ ‎∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，‎ ‎∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴A=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（　　）‎ A． B．0 C． D．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）‎ 设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，‎ 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=F（，）=‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．‎ ‎【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：‎ 由图可知，两个函数图象共有2个交点 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．‎ ‎【解答】解：令，，，‎ 如图所示：则，‎ 又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，‎ 易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，‎ 所以的取值范围为[﹣1，+1]．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．‎ ‎【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．‎ 因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．‎ 因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．‎ ‎【解答】解：建立如图所示的坐标系：‎ 可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，‎ ‎△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，‎ 则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，‎ 解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），‎ 由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，‎ 直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），‎ 由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，‎ 解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=‎ 故选D ‎　‎ 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）‎ ‎9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为　3　．‎ ‎【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．‎ ‎【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，‎ 再由椭圆C：，得，‎ ‎①2+②2得，．‎ 所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．‎ 因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．‎ 故答案为3．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2‎ 的最小值为　12　．‎ ‎【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．‎ ‎【解答】解：∵a+2b+3c=6，‎ ‎∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]‎ 化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）‎ ‎∴a2+4b2+9c2≥12，‎ 当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立 由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12‎ 故答案为：12‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为　　．‎ ‎【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．‎ ‎【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，‎ ‎∴2×2=CP•1，‎ 解得：CP=4，又PD=1，‎ ‎∴CD=5，‎ 又⊙O的半径为，‎ 则圆心O到弦CD的距离为d===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•湖南）若x2dx=9，则常数T的值为　3　．‎ ‎【分析】利用微积分基本定理即可求得．‎ ‎【解答】解：==9，解得T=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为　9　．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：‎ 是否继续循环 a b 循环前/1 2‎ 第一圈 是 3 2‎ 第二圈 是 5 2‎ 第三圈 是 7 2‎ 第四圈 是 9 2‎ 第五圈 否 故最终输出的a值为9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为　　．‎ ‎【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，‎ 不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a 所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，‎ ‎∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，‎ ‎∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，‎ 即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，‎ ‎∴c2﹣2ca+3a2=0，‎ ‎∴c=a 所以e==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2013•湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N*，则 ‎（1）a3=　﹣　；‎ ‎（2）S1+S2+…+S100=　　．‎ ‎【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；‎ ‎（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*‎ ‎，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．‎ ‎【解答】解：由，n∈N*，‎ 当n=1时，有，得．‎ 当n≥2时，．‎ 即．‎ 若n为偶数，则．‎ 所以（n为正奇数）；‎ 若n为奇数，则=．‎ 所以（n为正偶数）．‎ 所以（1）．‎ 故答案为﹣；‎ ‎（2）因为（n为正奇数），所以﹣，‎ 又（n为正偶数），所以．‎ 则．‎ ‎，．‎ 则．‎ ‎…‎ ‎．‎ 所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．‎ ‎（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为　{x|0＜x≤1}　．‎ ‎（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是　①②③　．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；‎ ‎②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．‎ ‎【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=ax+bx﹣cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；‎ ‎（2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx﹣cx变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；‎ 对于②，利用取特值法说明命题是正确的；‎ 对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．‎ ‎【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以，则．‎ 令f（x）=ax+bx﹣cx=．‎ 得，所以．‎ 又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，‎ 所以0＜x≤1．‎ 故答案为{x|0＜x≤1}；‎ ‎（2）①因为，‎ 又，‎ 所以对∀x∈（﹣∞，1），．‎ 所以命题①正确；‎ ‎②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则ax=，bx=，cx=．不能构成一个三角形的三条边长．‎ 所以命题②正确；‎ ‎③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．‎ f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．‎ 所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．‎ 所以命题③正确．‎ 故答案为①②③．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．‎ ‎（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；‎ ‎（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．‎ ‎【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．‎ ‎（2）由不等式可得 sin（x+）≥，解不等式 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的取值集合．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，‎ 所以f（α）=sinα=，所以sinα=．‎ 又α∈（0，），所以cosα=，‎ 所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．‎ ‎（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，‎ 所以sinx+cosx=sin（x+）≥．‎ 解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，‎ 所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．‎ ‎（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；‎ ‎（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．‎ ‎【分析】‎ ‎（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；‎ ‎（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列 ‎∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）‎ ‎∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3‎ 由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==‎ ‎∴所求的分布列为 ‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎ 45‎ ‎ 42‎ ‎ P 数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；‎ ‎（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．‎ ‎【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；‎ ‎（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，‎ 又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线 ‎∴AC⊥平面BB1D，‎ ‎∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；‎ ‎（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，‎ 由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成 的角（记为θ），连接A1D，‎ ‎∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，‎ ‎∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1‎ 又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D ‎∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，‎ 由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，‎ ‎∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，，可得AB==‎ 连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，‎ ‎∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=‎ 在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，‎ 即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．‎ ‎（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；‎ ‎（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．‎ ‎【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；‎ ‎（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．‎ ‎【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则 ‎（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；‎ ‎（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值 ‎①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|‎ ‎∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24‎ ‎∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24‎ ‎∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21‎ ‎∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21‎ ‎∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；‎ ‎②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|‎ 此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21‎ 由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立 综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．‎ ‎（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；‎ ‎（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；‎ ‎（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．‎ ‎【解答】解：（I） 由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．‎ 由，得．‎ 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．‎ 从而x1+x2=2pk1，．‎ 所以点M的坐标为，．‎ 同理可得点N的坐标为，．‎ 于是．‎ 由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）由抛物线的定义得，，‎ 所以，从而圆M的半径．‎ 故圆M的方程为，‎ 化简得．‎ 同理可得圆N的方程为 于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．‎ 又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．‎ 因为p＞0，所以点M到直线l的距离为 ‎=．‎ 故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．‎ 故所求抛物线E的方程为x2=16y．‎ ‎　‎ ‎22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．‎ ‎（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；‎ ‎（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，‎ ‎∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；‎ 当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．‎ ‎①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=‎ ‎②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增 ‎∴g（a）=max{f（0），f（4）}‎ ‎∵f（0）﹣f（4）==‎ ‎∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，‎ 综上所述，g（a）=；‎ ‎（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；‎ 当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在 两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1‎ ‎∴•=﹣1‎ ‎∴①‎ ‎∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），‎ ‎∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）‎ ‎∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空 ‎∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅‎ 综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：wyz123；minqi5；wfy814；ywg2058；沂蒙松；lincy；sxs123；caoqz；刘长柏（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日