2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）

‎2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5分）=（　　）‎ A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i ‎2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（　　）‎ A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}‎ ‎3．（5分）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）‎ A．90π B．63π C．42π D．36π ‎5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）‎ A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9‎ ‎6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）‎ ‎2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1‎ ‎12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=　 　．‎ ‎14．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　 　．‎ ‎15．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =　 　．‎ ‎16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．‎ ‎（1）求cosB；‎ ‎（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．‎ ‎18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：‎ ‎（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ ‎ ‎ 箱产量＜50kg ‎ ‎ 箱产量≥50kg ‎ 旧养殖法 ‎ ‎ ‎ 新养殖法 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．‎ 附：‎ P（K2≥k） ‎ ‎0.050‎ ‎0.010 ‎ ‎0.001 ‎ k ‎3.841 ‎ ‎6.635 ‎ ‎10.828 ‎ K2=．‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：直线CE∥平面PAB；‎ ‎（2）点M在棱PC ‎ 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．‎ ‎20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．‎ ‎（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：‎ ‎（1）（a+b）（a5+b5）≥4；‎ ‎（2）a+b≤2．‎ ‎　‎ ‎2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5分）=（　　）‎ A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i ‎【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．‎ ‎【解答】解：===2﹣i，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（　　）‎ A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}‎ ‎【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．‎ ‎【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．‎ 若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，‎ 可得1﹣4+m=0，解得m=3，‎ 即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．‎ ‎【解答】解：设塔顶的a1盏灯，‎ 由题意{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎∴S7==381，‎ 解得a1=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）‎ A．90π B．63π C．42π D．36π ‎【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，‎ V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）‎ A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：‎ z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，‎ 由解得A（﹣6，﹣3），‎ 则z=2x+y 的最小值是：﹣15．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．‎ ‎【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，‎ 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 可得：6×=36种．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 ‎【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，‎ 甲不知自己的成绩 ‎→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）‎ ‎→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 ‎→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，‎ 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终止即可得到结论．‎ ‎【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，‎ 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；‎ 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；‎ 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；‎ 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；‎ 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；‎ 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；‎ K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．‎ ‎【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，‎ 圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，‎ 双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2‎ ‎=4所截得的弦长为2，‎ 可得圆心到直线的距离为：=，‎ 解得：，可得e2=4，即e=2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．‎ ‎【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．‎ ‎【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，‎ 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 ‎（因异面直线所成角为（0，]），‎ 可知MN=AB1=，‎ NP=BC1=；‎ 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；‎ ‎∵PQ=1，MQ=AC，‎ ‎△ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC ‎=4+1﹣2×2×1×（﹣）‎ ‎=7，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∴MQ=；‎ 在△MQP中，MP==；‎ 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP===﹣；‎ 又异面直线所成角的范围是（0，]，‎ ‎∴AB1与BC1所成角的余弦值为．‎ ‎【解法二】如图所示，‎ 补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；‎ BC1=，BD==，‎ C1D=，‎ ‎∴+BD2=，‎ ‎∴∠DBC1=90°，‎ ‎∴cos∠BC1D==．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1‎ ‎【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，‎ 可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，‎ x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，‎ 可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．‎ 解得a=﹣1．‎ 可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，‎ ‎=（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，‎ 当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，‎ x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1‎ ‎【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，‎ 则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），‎ 设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），‎ 则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]‎ ‎∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=　1.96　．‎ ‎【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，‎ 则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．‎ 故答案为：1.96．‎ ‎【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　1　．‎ ‎【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，‎ 令cosx=t且t∈[0，1]，‎ 则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，‎ 当t=时，f（t）max=1，‎ 即f（x）的最大值为1，‎ 故答案为：1‎ ‎【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题 ‎　‎ ‎15．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =　　．‎ ‎【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，‎ 可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，‎ Sn=，=，‎ 则 =2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=　6　．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，‎ 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，‎ ‎|FN|=2|FM|=2=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．‎ ‎（1）求cosB；‎ ‎（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．‎ ‎【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，‎ ‎（2）由（1）可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．‎ ‎【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，‎ ‎∴sinB=4（1﹣cosB），‎ ‎∵sin2B+cos2B=1，‎ ‎∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，‎ ‎∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，‎ ‎∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，‎ ‎∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，‎ ‎∴cosB=；‎ ‎（2）由（1）可知sinB=，‎ ‎∵S△ABC=ac•sinB=2，‎ ‎∴ac=，‎ ‎∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××‎ ‎=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，‎ ‎∴b=2．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题 ‎　‎ ‎18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：‎ ‎（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ ‎ ‎ 箱产量＜50kg ‎ ‎ 箱产量≥50kg ‎ 旧养殖法 ‎ ‎ ‎ 新养殖法 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．‎ 附：‎ P（K2≥k） ‎ ‎0.050‎ ‎0.010 ‎ ‎0.001 ‎ k ‎3.841 ‎ ‎6.635 ‎ ‎10.828 ‎ K2=．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；‎ ‎（2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ ‎（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数．‎ ‎【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，‎ 由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），‎ 则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，‎ 故P（B）的估计值0.62，‎ 新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，‎ 故P（C）的估计值为，‎ 则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；‎ ‎∴A发生的概率为0.4092；‎ ‎（2）2×2列联表：‎ ‎ ‎ ‎ 箱产量＜50kg ‎ 箱产量≥50kg ‎ ‎ 总计 ‎ 旧养殖法 ‎ ‎ 62‎ ‎ 38‎ ‎ 100‎ ‎ 新养殖法 ‎ ‎ 34‎ ‎ 66‎ ‎ 100‎ ‎ 总计 ‎ 96‎ ‎ 104‎ ‎ 200‎ 则K2=≈15.705，‎ 由15.705＞6.635，‎ ‎∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；‎ ‎（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：‎ ‎（0.004+0.020+0.044）×5=0.34，‎ 箱产量低于55kg的直方图面积为：‎ ‎（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，‎ 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），‎ 新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：直线CE∥平面PAB；‎ ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．‎ ‎【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．‎ ‎（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．‎ ‎【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，‎ 所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，‎ ‎∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，‎ ‎∴直线CE∥平面PAB；‎ ‎（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，‎ 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，‎ ‎∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．‎ 取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，‎ ‎∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，‎ 可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，‎ 可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，‎ 作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，‎ 所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=‎ ‎=，‎ 二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；‎ ‎（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），‎ 设P（x，y），由点P满足=．‎ 可得（x﹣x0，y）=（0，y0），‎ 可得x﹣x0=0，y=y0，‎ 即有x0=x，y0=，‎ 代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，‎ 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；‎ ‎（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），‎ ‎•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，‎ 即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，‎ 当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，‎ 解得m=，‎ 即有Q（﹣3，），‎ 椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），‎ 由•=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）‎ ‎=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．‎ 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ 另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•=1，‎ 可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，‎ 又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2，‎ 即有nt=3+3m，‎ 又椭圆的左焦点F（﹣1，0），‎ ‎•=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt ‎=3+3m﹣3﹣3m=0，‎ 则⊥，‎ 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．‎ ‎【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣可得h（x）min=h（），从而可得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）=．‎ ‎【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），‎ 则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．‎ 则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ 所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．‎ 因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，‎ 所以h（x）min=h（），‎ 又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，‎ 所以=1，解得a=1；‎ 另解：因为f（1）=0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），‎ 所以等价于f（x）在x=1处是极小值，‎ 所以解得a=1；‎ ‎（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，‎ 令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，‎ 令t′（x）=0，解得：x=，‎ 所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，‎ 所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，‎ 且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，‎ 所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，‎ 所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，‎ 由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；‎ 由f′（）＜0可知x0＜＜，‎ 所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，‎ 所以f（x0）＞f（）=；‎ 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．‎ ‎（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可；‎ ‎（2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，‎ 设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，‎ ‎∵|OM||OP|=16，‎ ‎∴=16，‎ 即（x2+y2）（1+）=16，‎ ‎∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，‎ 两边开方得：x2+y2=4x，‎ 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），‎ ‎∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．‎ ‎（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，‎ ‎∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，‎ ‎∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：‎ ‎（1）（a+b）（a5+b5）≥4；‎ ‎（2）a+b≤2．‎ ‎【分析】（1）由柯西不等式即可证明，‎ ‎（2）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．‎ ‎【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，‎ 当且仅当=，即a=b=1时取等号，‎ ‎（2）∵a3+b3=2，‎ ‎∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，‎ ‎∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，‎ ‎∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，‎ ‎∴=ab，‎ 由均值不等式可得：=ab≤（）2，‎ ‎∴（a+b）3﹣2≤，‎ ‎∴（a+b）3≤2，‎ ‎∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题 ‎　‎