2012年安徽省高考数学试卷（理科）

2012年安徽省高考数学试卷（理科）

‎2012年安徽省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（　　）‎ A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i ‎2．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（　　）‎ A．f（x）=|x| B．f （x）=x﹣|x| C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x ‎3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．8‎ ‎4．（5分）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎5．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（　　）‎ A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 ‎6．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．（5分）（x2+2）（）5的展开式的常数项是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3‎ ‎8．（5分）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P（6，8），将向量绕点O逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是（　　）‎ A．（﹣7，﹣） B．（﹣7，） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，2）‎ ‎9．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎10．（5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（　　）‎ A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎11．（5分）若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是　　．‎ ‎12．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是　　．‎ ‎13．（5分）在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=（ρ∈R）的距离是　　．‎ ‎14．（5分）若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是　　．‎ ‎15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是　　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①若ab＞c2，则C＜‎ ‎②若a+b＞2c，则C＜‎ ‎③若a3+b3=c3，则C＜‎ ‎④若（a+b）c≤2ab，则C＞‎ ‎⑤若（a2+b2）c2≤2a2b2，则C＞．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．‎ ‎16．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x），求g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式．‎ ‎17．（12分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．‎ ‎（Ⅰ）求X=n+2的概率；‎ ‎（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）‎ ‎18．（12分）平面图形ABB1A1C1C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=．现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A2A，A2B，A2C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．‎ ‎（Ⅰ）证明：AA1⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求AA1的长；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．‎ ‎19．（13分）设函数f（x）=aex++b（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值．‎ ‎20．（13分）如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q．‎ ‎（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．‎ ‎21．（13分）数列{xn}满足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；‎ ‎（Ⅱ）求c的取值范围，使{xn}是递增数列．‎ ‎　‎ ‎2012年安徽省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）（2012•安徽）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（　　）‎ A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i ‎【分析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可．‎ ‎【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）=5⇒z﹣i=⇒z=+i=+i=+i=2+2i．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•安徽）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（　　）‎ A．f（x）=|x| B．f （x）=x﹣|x| C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x ‎【分析】分别根据函数解析式求出f（2x）与2f（x），看其是否相等，从而可得到所求．‎ ‎【解答】解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件；‎ f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件；‎ f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件；‎ f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件；‎ 故选C ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．8‎ ‎【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．‎ ‎【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•安徽）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】由公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，知，故a7=4，=32，由此能求出log2a16．‎ ‎【解答】解：∵公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，‎ ‎∴，‎ ‎∴a7=4，‎ ‎∴=32，‎ ‎∴log2a16=log232=5．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•安徽）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（　　）‎ A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 ‎【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论．‎ ‎【解答】解：=×（4+5+6+7+8）=6，‎ ‎=×（5+5+5+6+9）=6，‎ 甲的成绩的方差为×（22×2+12×2）=2，‎ 以的成绩的方差为×（12×3+32×1）=2.4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，‎ 若a⊥b，则α⊥β不一定成立，‎ 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•安徽）（x2+2）（）5的展开式的常数项是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3‎ ‎【分析】（x2+2）（）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，故可得结论．‎ ‎【解答】解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=5；‎ 第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得2×（﹣1）5=﹣2‎ ‎∴（x2+2）（）5的展开式的常数项是5+（﹣2）=3‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•安徽）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P（6，8），将向量绕点O逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是（　　）‎ A．（﹣7，﹣） B．（﹣7，） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，2）‎ ‎【分析】由点0（0，0），P（6，8），知，设，则cosθ=，sinθ=，由向量绕点逆时针方向旋转后得向量，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵点0（0，0），P（6，8），‎ ‎∴，‎ 设，‎ 则cosθ=，sinθ=，‎ ‎∵向量绕点逆时针方向旋转后得向量，‎ 设Q（x，y），则x=10cos（θ+）=10（cosθcos﹣sinθsin）=﹣7，‎ y=10sin（θ+）=10（sinθcos+cosθsin）=﹣，‎ ‎∴=（﹣7，﹣）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．‎ ‎【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，‎ ‎∵|AF|=3，‎ ‎∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3‎ ‎∴2+3cosθ=3‎ ‎∴cosθ=‎ ‎∵m=2+mcos（π﹣θ）‎ ‎∴‎ ‎∴△AOB的面积为S==‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•安徽）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（　　）‎ A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4‎ ‎【分析】由题意，，再分类讨论：仅有甲与乙，丙没交换纪念品；仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，即可得出收到4份纪念品的同学人数．‎ ‎【解答】解：由题意，‎ ‎①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ‎②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人 综上所述，收到4份纪念品的同学人数为2或4人 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎11．（5分）（2012•安徽）若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是　[﹣3，0]　．‎ ‎【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的范围．‎ ‎【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，‎ 由解得A（0，3）、‎ 由解得B（0，）、‎ 由解得C（1，1）；‎ 结合函数的图形可知，当直线y=x﹣z平移到A时，截距最大，z最小；当直线y=x﹣z平移到B时，截距最小，z最大 所以z=x﹣y在A点取得最小值，在C点取得最大值，‎ 最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；‎ 所以z=x﹣y的范围是[﹣3，0]．‎ 故答案为：[﹣3，0]‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是　92　．‎ ‎【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．‎ ‎【解答】解：几何体是底面为直角梯形高为4的直四棱柱，S上=S下=；S侧=．‎ 几何体的表面积为 S==92．‎ 故答案为：92．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•安徽）在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=（ρ∈R）的距离是　　．‎ ‎【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，再用点到直线的距离公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：圆ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4‎ 直线θ=化为直角坐标方程为x﹣y=0‎ ‎∴圆心到直线的距离是 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•安徽）若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是　﹣　．‎ ‎【分析】由平面向量满足|2|≤3，知，故≥=4||||≥﹣4，由此能求出的最小值．‎ ‎【解答】解：∵平面向量满足|2|≤3，‎ ‎∴，‎ ‎∴≥=4||||≥﹣4，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故的最小值是﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是　①②③　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①若ab＞c2，则C＜‎ ‎②若a+b＞2c，则C＜‎ ‎③若a3+b3=c3，则C＜‎ ‎④若（a+b）c≤2ab，则C＞‎ ‎⑤若（a2+b2）c2≤2a2b2，则C＞．‎ ‎【分析】①利用余弦定理，将c2放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；②利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；③利用反证法，假设C≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形 ‎【解答】解：①ab＞c2⇒cosC=＞=⇒C＜，故①正确；‎ ‎②a+b＞2c⇒cosC=＞=≥=⇒C＜，故②正确；‎ ‎③当C≥时，c2≥a2+b2⇒c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确；‎ ‎④举出反例：取a=b=c=2，满足（a+b）c≤2ab得：C=＜，故④错误；‎ ‎⑤举出反例：取a=b=c=，满足（a2+b2）c2≤2a2b2，此时有C=，故⑤错误 故答案为①②③‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．‎ ‎16．（12分）（2012•安徽）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x），求g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式．‎ ‎【分析】利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式，‎ ‎（1）直接利用周期公式求解即可．‎ ‎（2）求出函数g（x）的周期，利用x∈[0，]时，g（x）=‎ ‎﹣f（x），对x分类求出函数的解析式即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=cos（2x+）+sin2x ‎=cos2x﹣sin2x+（1﹣cos2x）=﹣sin2x．‎ ‎（1）函数的最小正周期为T==π．‎ ‎（2）当x∈[0，]时g（x）==sin2x．‎ 当x∈[﹣]时，x+∈[0，]，g（x）=g（x+）=sin2（x+）=﹣sin2x．‎ 当x∈[）时，x+π∈[0，]，g（x）=g（x+π）=sin2（x+π）=sin2x．‎ g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式：g（x）=．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2012•安徽）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．‎ ‎（Ⅰ）求X=n+2的概率；‎ ‎（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，可知X=n+2表示两次调题均为A类试题，故可求概率；‎ ‎（Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为，随机变量X可取n，n+1，n+2，求出相应的概率，即可得到X的分布列和均值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）X=n+2表示两次调题均为A类试题，其概率为=‎ ‎（Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为 随机变量X可取n，n+1，n+2‎ P（X=n）=（1﹣p）2=；P（X=n+1）=p=，P（X=n+2）=p2=‎ 分布列如下 ‎ X ‎ n ‎ n+1‎ ‎ n+2‎ ‎ P ‎∴E（X）=n×+（n+1）×+（n+2）×=n+1‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•安徽）平面图形ABB1A1C1C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=．现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A2A，A2B，A2C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．‎ ‎（Ⅰ）证明：AA1⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求AA1的长；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AA1⊥BC，只需证明BC⊥平面OO1A1A，取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，即可证得；‎ ‎（Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D=OA，则可得AD∥OO1，AD=OO1，可证OO1⊥面A1B1C1，从而AD⊥面A1B1C1，即可求AA1的长；‎ ‎（Ⅲ）证明∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角，在△OAA1‎ 中，利用余弦定理，可求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，‎ ‎∵AB=AC，∴AO⊥BC ‎∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC ‎∴AO⊥平面BB1C1C 同理A1O1⊥平面BB1C1C，∴AO∥A1O1，∴A、O、A1、O1共面 ‎∵OO1⊥BC，AO⊥BC，OO1∩AO=O，∴BC⊥平面OO1A1A ‎∵AA1⊂平面OO1A1A，∴AA1⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）解：延长A1O1到D，使O1D=OA，则∵O1D∥OA，∴AD∥OO1，AD=OO1，‎ ‎∵OO1⊥BC，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1，‎ ‎∴OO1⊥面A1B1C1，‎ ‎∵AD∥OO1，‎ ‎∴AD⊥面A1B1C1，‎ ‎∵AD=BB1=4，A1D=A1O1+O1D=2+1=3‎ ‎∴AA1==5；‎ ‎（Ⅲ）解：∵AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角 在直角△OO1A1中，A1O=‎ 在△OAA1中，cos∠AOA1=﹣‎ ‎∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2012•安徽）设函数f（x）=aex++b（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则，求出导函数，再进行分类讨论：①当a≥1时，y′＞0，在t≥1上是增函数；②当0＜a＜1时，利用基本不等式，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）取得最小值；‎ ‎（Ⅱ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，建立方程组，即可求得a，b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则 ‎∴‎ ‎①当a≥1时，y′≥0，∴在t≥1上是增函数，‎ ‎∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为 ‎②当0＜a＜1时，，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）的最小值为b+2；‎ ‎（Ⅱ）求导函数，可得）‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，‎ ‎∴，即，解得．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2012•安徽）如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，经过F1‎ 做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q．‎ ‎（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入，可求得P，根据点Q的坐标是（4，4），PF1⊥QF2，即可求得椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）利用PF1⊥QF2，求得，从而可求，又，求导函数，可得x=﹣c时，y′==，故可知直线PQ与椭圆C只有一个交点．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入得 ‎∴P ‎∵点Q的坐标是（4，4），PF2⊥QF2‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴a=2，c=1，b=‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）证明：设Q，∵PF2⊥QF2‎ ‎∴‎ ‎∴y2=2a ‎∴‎ ‎∵P，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴y′=‎ ‎∴当x=﹣c时，y′==‎ ‎∴直线PQ与椭圆C只有一个交点．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2012•安徽）数列{xn}满足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；‎ ‎（Ⅱ）求c的取值范围，使{xn}是递增数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过证明必要条件与充分条件，推出{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；‎ ‎（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通过①当c=0时，②当c＞0时，推出0＜c＜1，当c时，证明xn+1＞xn．=⇔．当c 时，说明数列{xn}是从递减数列矛盾．得到0＜c时，数列{xn}是递增数列．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当c＜0时，xn+1=﹣x2n+xn+c＜xn，‎ ‎∴{xn}是单调递减数列 充分条件 当{xn}是单调递减数列时 x1=0＞x2=﹣x21+x1+c ‎∴c＜0‎ 综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；‎ ‎（Ⅱ）由（I）得，c≥0‎ ‎①当c=0时，xn=x1=0，此时数列为常数列，不符合题意；‎ ‎②当c＞0时，x2=c＞x1=0，x3=﹣c2+2c＞x2=c ‎∴0＜c＜1‎ ‎⇔‎ ‎⇔0=x1≤xn＜，=﹣（xn+1﹣xn）（xn+1+xn﹣1），‎ 当0＜c时，⇒xn﹣xn+1+1＞0⇔xn+2﹣xn+1﹣1＜0，⇔xn+2﹣xn+1与xn+1﹣xn同号，‎ 由x2﹣x1=c＞0⇒xn+1﹣xn＞0⇔xn+1＞xn．‎ ‎=⇔．‎ 当c时，存在N使xN⇒xN+xN+1＞1⇒xN+2﹣xN+1与xN+1﹣xN异号，‎ 与数列{xn}是从递减数列矛盾．‎ 所以当0＜c时，数列{xn}是递增数列．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；minqi5；zlzhan；maths；刘长柏；xize（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日