数学文卷·2018届内蒙古鄂尔多斯市一中高二下学期期中考试（2017-04）

数学文卷·2018届内蒙古鄂尔多斯市一中高二下学期期中考试（2017-04）

市一中2016～2017学年度第二学期期中试题 高二数学（文科）‎ 第I卷 一选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求．）‎ ‎1.已知向量，若（）与互相垂直，则的值为 ‎（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数，“是偶函数”是“的图像关于原点对称”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4设等比数列的公比，前项和为,则（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则下列结论错误的是 （ ） ‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ t ‎4‎ ‎4.5‎ A．线性回归直线一定过点 B．产品的生产能耗与产量呈正相关 ‎ C．的取值是 D．产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加吨 ‎6.设是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且，则 的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.要得到函数，只需将函数的图像 A．向左平移个单位 B．向右平移个单C．向左平移个单D．向右平移个单位 ‎8函数（）图象的大致形状是 ‎9. 如图，平行四边形中，，点在边上，且，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10已知数列中，，若利用下面程序框图 ‎ 计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知,。,则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎12. 设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，当x∈（0，π）且x≠时，(x－)＞0，则函数y＝f（x）－sinx在[－3π，π]上的零点个数为 A．2 B．4 C．6 D．8‎ 第II卷 二、填空题（每小题5分，共20分，把正确的答案写在题中横线上．）‎ ‎13.对满足不等式组的任意实数x，y，‎ ‎ 则的最小值是__________；‎ ‎14.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是___________‎ ‎15数列观察下表：则第__ 行的各数之和等于.‎ ‎16.对于任意实数表示不超过的最大整数，如，，已知为数列的前项和，则___________．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字、过程和步骤）‎ ‎17（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. ‎ 已知b+c=2a cos B.‎ ‎（I）证明：A=2B；‎ ‎（II）若△ABC的面积，求角A的大小.‎ ‎18．（本小题满分12分）4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”‎ ‎(1)求的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（将频率视为概率） ‎ ‎(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？‎ 非读书迷 读书迷 合计 男 ‎15‎ 女 ‎45‎ 合计 附：.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 已知数列是等比数列，，是和的等差中项.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎20（满分12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的 t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f '（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；‎ ‎21．（本小题满分12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列． （1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，． 求四边形面积的最大值．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，解答时请写清题号.‎ ‎22（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为 ‎ ，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎23（本小题满分10分）已知 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设为正实数，且，求证：．‎ 高二期中数学文答案 ‎1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 6 A 7 D 8 C 9 B 10 C 11 B 12 B ‎17解：（I）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是．又，，故，所以 或，因此（舍去）或，‎ 所以，．（6分）‎ ‎（II）由得，故有 ‎，因，得．‎ 又，，所以．当时，；‎ 当时，．综上，或．（12分）‎ ‎18解: (1)由已知可得：(0. 01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1，可得x=0.025，…2分 因为（ 0.025+0.015）×10=0.4，将频率视为概率，‎ 由此可以估算出全校3000名学生中读书迷大概有1200人. …4分 ‎(2)完成下面的2×2列联表如下 ‎ ‎ 非读书迷 读书迷 合计 男 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ ‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎…8分 ‎.‎ ‎,有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. …12分 ‎（19）解：（Ⅰ）设数列的公比为，‎ 因为，所以，．(1分)因为是和的等差中项，所以．(2分) 即，化简得．‎ 因为公比，所以．(4分)所以（）．(5分)‎ ‎（Ⅱ）因为，所以．‎ 所以．(7分)‎ 则， ①‎ ‎. ②………………9分 ‎①－②得，‎ ‎，‎ 所以．……………………………………………………………12分 ‎20解：（Ⅰ）‎ 当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；‎ 当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；‎ 当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）‎ ‎（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3‎ ‎∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2‎ ‎∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2 ∴‎ 由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，‎ 所以有：，∴ （12分）‎ ‎21.解：(1）依题意，设椭圆的方程为．‎ 构成等差数列，， ．‎ 又，．椭圆的方程为． 4分 ‎ ‎(2)将直线的方程代入椭圆的方程中，‎ ‎ 得．‎ 由直线与椭圆仅有一个公共点知，，‎ 化简得：．设，，‎ 当时，设直线的倾斜角为，则，‎ ‎，‎ ‎， 9分 ‎，当时，，，．‎ 当时，四边形是矩形，． 11分 所以四边形面积的最大值为． 12分 ‎22.解：（Ⅰ）由圆C的参数方程，（为参数）‎ 可知 ‎ 而， ‎ 消去参数化为普通方程为 ‎ ‎，又 ‎ 代入可得圆的极坐标方程为 ‎，即． ……5分 ‎（Ⅱ）设为点的极坐标，由，解得． ‎ 设为点的极坐标，由，解得．‎ ‎∴ ……10分 ‎23 （Ⅰ）解：不等式等价于不等式组 或或 所以不等式的解集为 ……5分 ‎（Ⅱ）证明：因为，所以 因为为正实数，所以由基本不等式得（当且仅当时取等号）‎ 同理：；，所以 所以 所以 ……10分 ‎