2019-2020学年安徽省合肥市安徽师范大学附属中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省合肥市安徽师范大学附属中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2019-2020 学年安徽省合肥市安徽师范大学附属中学高二上 学期期中数学（理）试题 一、单选题 1．方程 （ ） A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线 C．不能表示与 y 轴垂直的直线 D．不能表示与 x 轴垂直的直线 【答案】D 【解析】本题首先可以观察题目所给直线方程，可得出直线方程为点斜式方程，然后根 据直线的点斜式方程的性质即可得出结果。 【详解】 因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线， 所以 不能表示与 轴垂直的直线，故选 D。 【点睛】 本题考查直线的相关性质，主要考查直线的点斜式方程的相关性质，考查点斜式方程的 适用范围，考查推理能力，是简单题。 2．设 ， 是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，且 ， ,则下列 说法正确的是( ) A．若 m，n 是异面直线，则 与 相交 B．若 ， 则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【解析】在A 中， 与 相交或平行；在 B 中， 与 相交或平行；在 C 中， 与 相交或平行；在 D 中，由面面垂直的判定定理得 ． 【详解】 ( )0 0y y k x x− = − ( )0 0y y k x x− = − x α β m α⊂ n β⊂ α β / /m β / /n α / /α β m n⊥ α β⊥ m β⊥ α β⊥ α β α β α β α β⊥ 由 ， 是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，且 ， ，知： 在 A 中，若 m，n 是异面直线，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，若 ， ，则 与 相交或平行，故 B 错误； 在 C 中，若 ，则 与 相交或平行，故 C 错误； 在 D 中，若 ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 D 正确． 故选:D 【点睛】 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面 面间的位置关系的合理运用． 3．过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的 倍的直线方程是（ ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【解析】试题分析：当直线过原点时，可设直线方程为 ，代入点 ，可得 ，故方程为 ；当直线不过原点时，可设方程为 ，代入点 ，可得 ，此时直线方程为 ，故选 B． 【考点】直线的方程． 4．给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平 行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面 与两异面直线平行.正确的是（ ） A．②③ B．①② C．①②③ D．② 【答案】D 【解析】通过举反例可判断出命题①的正误；利用平面与平面平行的性质定理以及直 线与平面平行的性质定理可判断出命题②的正误；通过实例判断出命题③的正误. 【详解】 α β m α⊂ n β⊂ α β / /m β / /n α α β m n⊥ α β m β⊥ α β⊥ (5,2) y x 2 2 12 0x y+ − = 2 12 0x y+ − = 2 5 0x y− = 2 1 0x y− − = 2 1 0x y− − = 2 5 0x y− = y kx= (5,2)M 2 5k = 2 5 0x y− = 12 x y a a + = (5,2)M 6a = 2 12 0x y+ − = 对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误； 对于命题②，如下图所示，平面 平面 ， ， ， ， ，且 、 分别为 、 的中点，过点 作 交平面 于点 ，连接 、 . 设 是 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 同理可得 平面 ， ， 平面 平面 . 又 平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，命题②正确； 对于命题③，如下图所示，设 是异面直线 、 的公垂线段， 为 上一点，过 点 作 ， ，当点 不与点 或点 重合时， 、 确定的平面 即为与 、 都平行的平面；若点 与点 或点 重合时，则 或 ，命题③错误.故选： D. 【点睛】 本题考查线线、线面、面面平行关系的判定与性质，解题时要注意这三种平行关系的相 互转化，考查推理能力与空间想象能力，属于中等题. 5．某几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，它的俯视图的直观图是 ，如 图 2 所示.其中 ，则该几何体的表面积为（ ） //α β A α∈ C α∈ B β∈ D β∈ E F AB CD C //CG AB β G BG DG H CG //EH BG BG ⊂ β EH ⊄ β //EH∴ β //HF β EH HF H=  ∴ //EFH β  //α β ∴ //EFH α EF ⊂ EFH //EF∴ α //EF β AB a b E AB E //a a′ //b b′ E A B a′ b′ α a b E A B a α⊂ b α⊂ ' ' ' 'A B C D 2 4A'B' A'D'= = A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先还原俯视图，再还原三视图，最后根据圆柱性质求表面积. 【详解】 由俯视图的直观图得俯视图为边长为 4 的正方形，所以几何体为底面为半圆（半径为 2），高为 4 的半圆柱，其表面积为 ，选 A. 【点睛】 本题考查直观图、三视图以及圆柱侧面积等，考查基本应用求解能力.属基本题. 6．如图，已知六棱锥 的底面是正六边形， ，则下列结论正确的是 A． B．平面 C．直线 ∥平面 D． 【答案】D 【解析】解：∵AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直， 所以 A 不成立，又，平面 PAB⊥平面 PAE， 所以平面 PAB⊥平面 PBC 也不成立；BC∥AD∥平面 PAD， ∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立． 在 Rt△PAD 中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°， 故选 D． 16 12+ π 16 8+ π 16 10+ π 8π 214 π 2 4 4+2 π 2 16 12π2 × × + × × × = + P ABCDEF− , 2PA ABC PA AB⊥ =平面 PB AD⊥ PAB PBC⊥ 平面 BC PAE 45PD ABC °直线 与平面 所成的角为 7．已知三棱锥 中， ， ， ， ，则 该三棱锥的外接球的体积为 　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用所给条件容易得到 ， 为直角三角形，故 中点为外接球 球心，从而可求解出结果． 【详解】 如图： ， ， 的中点 为外接球球心 故外接球半径为 体积 本题正确选项： 【点睛】 此题考查了三棱锥外接球问题，关键在于能够确定外接球球心的位置，要知道直角三角 形外接圆圆心在斜边中点上． 8．点 在直线 上，则 的最小值是( ) A．8 B． C． D．16 【答案】A 【解析】根据题意，得到 ，将其代入 中，由二次函数的性质分析可得 答案． 【详解】 根据题意，点 在直线 上， 则有 ，即 ， A BCD− BC CD⊥ 2AB AD= = 1BC = 3CD = ( ) 4 3 π 8 3 π 8 2 3 π 36π ABD∆ CBD∆ BD BC CD⊥ 1BC = 3CD = 2BD∴ = 2AB AD= = AB AD∴ ⊥ BD∴ O 1 34 413 3V ππ= × = A ( ),P x y 4 0x y+ − = 2 2x y+ 2 2 2 4x y= − 2 2x y+ ( ),P x y 4 0x y+ − = 4x y+ = 4x y= − 则 ， 分析可得：当 时， 取得最小值 8， 故选:A 【点睛】 本题考查二次函数的最值，关键是分析得到 x、y 的关系． 9．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定 理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥 ，在四棱锥 中， ， 由勾股定理可知： ，则在四棱锥中，直角三角 形有： 共三个，故选 C. 点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还 2 2 2 2 2 2( 4) 2 8 16 2( 2) 8x y y y y y y+ = − + = − + = − + 2y = 2 2x y+ P ABCD− P ABCD− 2, 2, 2, 1PD AD CD AB= = = = 2 2, 2 2, 3, 5PA PC PB BC= = = = , ,PAD PCD PAB∆ ∆ ∆ 原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、 体积等相关问题的求解. 10．已知 ，则直 线 与坐标轴围成的三角形面积是( ) A．2 B．4 C． D．2 或 【答案】A 【解析】利用 ， 求出 m 值，然后求出直线 与坐标轴的交点，即可求解三角形的 面积． 【详解】 因为 ， 所以 ，解得 ． 所以直线方程为 它与坐标轴的交点为 与 ． 直线 与坐标轴围成的三角形面积是 ． 故选 A． 【点睛】 本题考查直线的平行关系的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力,属于基础题. 11．如图，正四面体 的顶点 、 、 分别在两两垂直的三条射线 ， ， 上，则在下列命题中，错误的是( ) A． 是正三棱锥 B．直线 与平面 相交 C．直线 与平面 所成的角的正弦值为 D．异面直线 和 所成角是 【答案】C ( ) ( ) ( ) ( ){ , | 3 3 4} { , | 7 5 8 0}x y m x y m x y x m y+ + = − ∩ + − − = = φ ( )3 3 4m x y m+ + = + 128 7 128 7 ( ) ( ) ( ) ( ){ , | 3 3 4} { , | 7 5 8 0}x y m x y m x y x m y φ+ + = − ∩ + − − = = ( )3 3 4m x y m+ + = + ( ) ( ) ( ) ( ){ , | 3 3 4} { , | 7 5 8 0}x y m x y m x y x m y+ + = − ∩ + − − = = φ 3 1 3 4 7 5 8 m m m + −= ≠− 2m = − 2 0.x y+ + = ( )2,0− ( )0, 2− 2 0x y+ + = 1 2 2 22 × × = D ABC− A B C Ox Oy Oz O ABC− OB ACD CD ABC 3 2 AB CD 90° 【解析】①如图 ABCD 为正四面体， ∴△ABC 为等边三角形， 又∵OA、OB、OC 两两垂直， ∴OA⊥面 OBC，∴OA⊥BC， 过 O 作底面 ABC 的垂线，垂足为 N， 连接 AN 交 BC 于 M， 由三垂线定理可知 BC⊥AM， ∴M 为 BC 中点， 同理可证，连接 CN 交 AB 于 P，则 P 为 AB 中点， ∴N 为底面△ABC 中心， ∴O﹣ABC 是正三棱锥，故 A 正确． ②将正四面体 ABCD 放入正方体中，如图所示，显然 OB 与平面 ACD 不平行． 则 B 正确， ③由上图知：直线 与平面 所成的角的正弦值为 ,则 C 错误 ④异面直线 和 所成角是 ，故 D 正确. 12．如图，正方体 的棱长为 a，作平面 与底面不平行 与棱 ， ， ， 分别交于 E，F，G，H，记 EA，FB，GC，HD 分别为 ， ， ， ，若 ， ，则多面体 EFGHABCD 的体积为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正方体的性质可得截面四边形 EFGH 是平行四边形,所以 CD ABC 6 3 AB CD 90° 1AC (α ) 1A A 1B B 1C C 1D D 1h 2h 3h 4h 1 2 32h h h+ = 41 33h h h+ = 2 1 7 10 a h 2 2 7 8 a h 2 3 7 6 a h 2 4 7 4 a h ,结合已知可得 ， ， ,由两个多面 体 EFGHABCD 可以拼成一个长方体，能求得多面体 EFGHABCD 的体积. 【详解】 由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得： ， ， 四边形 EFGH 是平行四边形， 连结 AC，BD 交于点 O，连结 EG，FH，交于点 ， 连结 ，则 ， ， ， 所以 , 所以 , 所以 , ， ， ， 两个多面体 EFGHABCD 可以拼成一个长方体， 多面体 EFGHABCD 的体积为： ． 故选:C 【点睛】 本题考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 二、填空题 13．在正三棱锥 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点，有下列三个论断： ； 平面 PDE； 平面 其中正确的个数是______． 1 3 2 4 12h h h h OO+ = + = 1 3 4 3h h= 2 3 2 3h h= 4 3 5 3h h= / /EF GH / /EH FH ∴ 1O 1OO 1 3 2 4 12h h h h OO+ = + = 1 2 32h h h+ = 41 33h h h+ = 1 2 1 4 3 32 3h h h h h h+ + + = + 1 2 4 32 ( ) 5h h h h+ + = 1 1 3 32 ( ) 5h h h h+ + = 1 3 4 3h h∴ = 2 3 2 3h h= 4 3 5 3h h=  ∴ 2 2 2 2 21 3 3 1 2 4 7 7 7 7 2 6 8 4 10 h hV a a h a h a h a h += ⋅ = = = = P ABC− AC PB⊥① / /AC② AB ⊥③ .PDE 【答案】2 【解析】利用直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，直线的平行等判 断． 【详解】 根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确； ， 面 PDE， 面 PDE， 平面 PDE，故正确； 若 平面 PDE，则 ，因为 ，所以 ,而正三棱锥 中 AC 与 AB 不垂直， 故不正确． 故答案为：2． 【点睛】 主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定考查的知识点比较多， 属于基础题． 14． 若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1 在 y 轴上截距等于 1，则实数 m 的 值______. 【答案】3 【解析】直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1 的方程可化为(m＋1)x＋(m＋1)(m－2)y＝m ＋1， 由题意知 m＋1≠0，(m－2)y＝1，由题意得 ＝1，∴m＝3. 15．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、 圆锥、球的体积之比为 . 【答案】 【解析】【详解】 ① / /AC DE② AC ⊄ DE ⊂ / /AC∴ ③ AB ⊥ AB DE⊥ / /DE AC AC AB⊥ 1 1m + 3:1: 2 设球的半径为 r, 则 , ， ， 所以 ， 故答案为 . 【考点】圆柱，圆锥，球的体积公式. 点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为 . 16．表面积为 的球面上有四点 S、A、B、C，且 是等边三角形，球心 O 到 平面 ABC 的距离为 1，若平面 平面 ABC，则三棱锥 体积的最大值为 ______． 【答案】 【解析】由球的表面积求出半径 OB，再计算 的面积为定值，由此得出 S 在 AB 的中垂线上且位于球心同侧时，棱锥 体积的最大，结合图形求出点 S 到平面 ABC 的距离，由此求得棱锥体积的最大值． 【详解】 过球心 O 作平面 ABC 的垂线段 OD，垂足为 D，过 D 作 ，垂足为 E， 连接 BD，则 ， ，如图所示； 则球的表面积为 ，解得半径 ； 又 ， ； 又 是等边三角形， 是 的中心， 2 32 2V r r rπ π= × =圆柱 3 21 223 3 rV r r ππ= × =圆锥 34 3V rπ=球 3 3 32 4: : 2 : : 3:1: 23 3 rV V V r r ππ π= =圆柱 圆锥 球 3:1: 2 2 2 31 4, ,3 3V r h V r h V rπ π π= = =圆柱 圆锥 球 20π ABC SAB ⊥ S ABC− 3 3 ABC△ S ABC− DE AB⊥ OD BD⊥ OD DE⊥ 24 20OBπ π⋅ = 5OB = 1OD = 2 2 5 1 2BD OB OD∴ = − = − = ABC△ D∴ ABC△ ， ； ； 由球的对称性可知当 S 在 AB 的中垂线上时，S 到平面 ABC 的距离最大， 过 O 作平面 SAB 的垂线段 SH，垂足为 H， 平面 平面 ABC， ，平面 平面 ， 平面 ABC， 平面 SAB；又 平面 SAB， ， 四边形 ODEH 是矩形， ， ， ， ， ； 则三棱锥面积的最大值为： ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了球内接几何体的体积计算问题，寻找图中的数量关系是解题的关键，是中档 题． 三、解答题 17．已知两直线 ： ， ： 求分别满足下列条件的 a，b 的值． 直线 过点 ，并且直线 与 垂直； 直线 与直线 平行，并且坐标原点到 ， 的距离相等． 【答案】（1） ， ；（2） ， 或 ， . 【解析】 利用直线 过点 ，直线 与 垂直，斜率之积为 ，得到两个关 系式，求出 a，b 的值． 类似 直线 与直线 平行，斜率相等，坐标原点到 ， 的距离相等，利用点到 1 12DE BD∴ = = 2 22 2 2 4 1 2 3AB BE BD DE= = − = − = 2 23 3 (2 3) 3 34 4ABCS AB∴ = ⋅ = × =   SAB ⊥ DE AB⊥ SAB  ABC AB= DE ⊂ DE∴ ⊥ SE ⊂ DE SE∴ ⊥ ∴ 1OH DE∴ = = 1HE OD= = 5OS OB= = 2 2 5 1 2SH OS OH∴ = − = − = 2 1 3SE SH HE∴ = + = + = 1 1 3 3 3 3 33 3ABCS ABCV S SE− = ⋅ ⋅ = × × = 三棱锥 3 3 1l 4 0ax by− + = 2l ( )1 0.a x y b− + + = ( )1 1l ( )3, 1− − 1l 2l ( )2 1l 2l 1l 2l 2a = 2b = 2a = 2b = − 2 3a = 2b = ( )1 1l ( )3, 1− − 1l 2l 1− ( )2 ( )1 1l 2l 1l 2l 直线的距离相等．得到关系，求出 a，b 的值． 【详解】 ， ，即 又点 在 上， 由 得 ， ． ， ， ， 故 和 的方程可分别表示为： ， ， 又原点到 与 的距离相等． ， 或 ， ， 或 ， ． 【点睛】 本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系， 考查计算能力，是基础题． 18．如图，在四棱锥 中， 平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，点 O 是 对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 PD 的中点，且 ， ． 求证：平面 平面 PAC； 当三棱锥 的体积等于 时，求 PB 的长． ( ) 1 21 l l⊥ ( ) ( )1 1 0a a b∴ − + − ⋅ = 2 0a a b− − = ① ( )3, 1− − 1l 3 4 0a b∴− + + = ② ①② 2a = 2b = ( ) 1 22 //l l 1a ab ∴ = − 1 ab a ∴ = − 1l 2l ( ) ( )4 11 0aa x y a −− + + = ( )1 01 aa x y a − + + =− 1l 2l 14 1 a a a a −∴ = − 2a∴ = 2 3a = 2a∴ = 2b = − 2 3a = 2b = P ABCD− PA ⊥ 2AB = 60BAD∠ = ° ( )1 PBD ⊥ ( )2 M BCD− 3 4 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 先证明 平面 PAC，即可证明平面 平面 PAC； 利用 求出四棱锥 的高为 PA，利用 ，即可求 PB 的长． 【详解】 证明： 平面 ABCD， 平面 ABCD， ， 底面 ABCD 是菱形， ， 面 PAC， 面 PAC， ， 平面 PAC， 平面 PBD， 平面 平面 PAC． 因为底面 ABCD 是菱形，M 是 PD 的中点，所以 ， 从而 又 ， ，所以 ， 四棱锥 的高为 PA， ，得 ， 面 ABCD， 平面 ABCD， ． 在 中， ． 【点睛】 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力． 19．已知直线 ． （1）若直线 不经过第四象限，求 的取值范围； （2）若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ， 为坐标原点，设 的面积为 ，求 的最小值及此时直线 的方程． 【答案】（1）k≥0；（2）面积最小值为 4，此时直线方程为：x﹣2y+4=0 5 2 ( )1 BD ⊥ PBD ⊥ ( )2 3.P ABCDV − = P ABCD− PA AB⊥ ( )1 PA ⊥ BD ⊂ PA BD∴ ⊥  BD AC∴ ⊥ AC ⊂ PA ⊂ AC PA A∩ = BD∴ ⊥ BD ⊂ ∴ PBD ⊥ ( )2 1 1 2 4M BCD M ABCD P ABCDV V V− − −= = 3.P ABCDV − = 2AB = 60BAD∠ = ° 2 3ABCDS =  P ABCD− 1 2 3 33 PA∴ × × = 3 2PA = PA ⊥ AB Ì PA AB∴ ⊥ Rt PAB 2 2 2 23 5( ) 22 2PB PA AB= + = + = : 1 2 0 ( )l kx y k k− + + = ∈R l k l x A y B O AOB∆ S S l 【解析】（1）可求得直线 l 的方程及直线 l 在 y 轴上的截距，依题意， 从而 可解得 k 的取值范围； （2）依题意可求得 A（﹣ ，0），B（0，1+2k），S= （4k+ +4），利用基本不 等式即可求得答案． 【详解】 （1）直线 l 的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1， 要使直线 l 不经过第四象限，则 ，解得 k 的取值范围是：k≥0 （2）依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为：﹣ ，在 y 轴上的截距为 1+2k， ∴A（﹣ ，0），B（0，1+2k），又﹣ ＜0 且 1+2k＞0， ∴k＞0，故 S= |OA||OB|= × （1+2k）= （4k+ +4）≥ （4+4）=4，当且仅 当 4k= ，即 k= 时取等号， 故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x﹣2y+4=0 【点睛】 本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积， 考查基本不等式的应用，属于中档题． 20．如图，在直棱柱 中， ， ， ，D 是 BC 的中点，点 E 在棱 上运动． （1）证明： ； （2）当异面直线 AC， 所成的角为 时，求三棱锥 的体积． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）由直棱柱的性质得出 平面 ，从而得出 ，再由等腰 三角形三线合一的性质得出 ，由直线与平面垂直的判定定理可证明 平 面 ，于是可得出 ； 0 1 2 0 k k ≥  + ≥ 1 2k k + 1 2 1 k 0 1 2 0 k k ≥  + ≥ 1 2k k + 1 2k k + 1 2k k + 1 2 1 2 1 2k k + 1 2 1 k 1 2 1 k 1 2 1 1 1ABC A B C− 90BAC °∠ = 2AB AC= = 1 3AA = 1BB 1AD C E⊥ 1C E 60° 11 1C A B E− 2 3 1BB ⊥ ABC 1AD BB⊥ AD BC⊥ AD ⊥ 1 1BB C C 1AD C E⊥ （2）由棱柱的性质得出 ，可得出 即为异面直线 、 所成的角， 由此计算出 、 的值，可得出 的面积，再证明出 平面 ， 由此计算出三棱锥 的体积. 【详解】 （1）证明： 直棱柱 中， 平面 ， 平面 ， ， 中， ， 为 的中点， ， 又 、 平面 ， ， 平面 ，又 平面 ， ； （2）解： 在直棱柱 中， ， 即为异面直线 、 所成的角， ， ， 平面 ， 平面 ， ， 又 ， 平面 ． 平面 ， ． 在 中， ， ，即 . 又 ， ． . 【点睛】 本题考查直线与直线垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，结合异面直线所成角的定义 来考查，解题时要根据角的值来求出相应的边长，在计算三棱锥的体积时，要选择合适 的高与底面，结合题中的垂直关系进行寻找，考查逻辑推理能力，属于中等题. 21．如图所示的几何体 ABCDE 中， 平面 EAB， ， ， ，M 是 EC 的中点． 1 1//AC AC 1 1EC A∠ AC 1C E 1C E 1B E 1 1A B E∆ 1 1AC ⊥ 1 1AA B B 11 1C A B E−  1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ ABC AD ⊂ ABC 1AD BB∴ ⊥  ABC∆ AB AC= D BC AD BC∴ ⊥ BC 1BB ⊂ 1 1BB C C 1BC BB B= AD∴ ⊥ 1 1BB C C 1C E ⊂ 1 1BB C C 1AD C E∴ ⊥  1 1 1ABC A B C− 1 1//AC AC 1 1EC A∴∠ AC 1C E 1 1 1 90BAC B AC∠ = ∠ =  1 1 1 1AC A B∴ ⊥ 1AA ⊥ 1 1 1A B C 1 1AC ⊂ 1 1 1A B C 1 1 1AC AA∴ ⊥ 1 1 1 1A B AA A=  1 1AC∴ ⊥ 1 1AA B B 1A E ⊂ 1 1AA B B 1 1 1AC A E∴ ⊥  1 1CRt A E∆ 1 1 60EC A∠ =  1 1 1 1 1 1cos 2 ACEC A C E ∴ ∠ = = 1 1 12 2 2C E AC= = 2 2 1 1 1 1 1 1 2B C AC A B= + = 2 2 1 1 1 1 2B E C E B C∴ = − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 2 23 3 2 3C A B E A B EV S AC− ∆∴ = × = × × × × = DA ⊥ / /CB DA 2EA DA AB CB= = = EA AB⊥ 求异面直线 DM 与 BE 所成角的大小； 求二面角 的余弦值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】由题意，先证明直线AE、AB、AD 两两垂直，再以点 A 为原点，AE、AB、AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 求出向量 ，然后求出异面直线 DM 与 BE 所成的角； 求出平面 BDM 和平面 BDA 的法向量，再求二面角 的余弦值． 【详解】 平面 EAB， 平面 平面 EAB， 又 ，且平面 平面 ， 平面 ABCD， 直线 AE、AB、AD 两两垂直， 以点 A 为原点，AE、AB、AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 设 ， 0， ， 4， ， 4， ， 0， ， 0， ， ( )1 ( )2 M BD A− − 90° 1 3 ( )1 ,DM BE  ( )2 M BD A− − DA ⊥ ∴ ABCD ⊥ EA AB⊥ ABCD  EAB AB= EA∴ ⊥ ∴ 4EA = (0,A∴ 0) (0,B 0) (0,C 2) (0,D 4) (4,E 0) 是 EC 的中点， 2， ， ， ， ， 异面直线 DM 与 BE 所成角的大小为 ； 设二面角 的大小为 ， ， ， ， 设平面 BDM 的一个法向量 , 则 ,且 , 所以 ,且 , 令 ,则 , 平面 BDM 的一个法向量 ，平面 BDA 的一个法向量 ， 由图可知， 为锐角， 二面角 的余弦值为 ． 【点睛】 本题主要考查空间角的大小，主要应用空间向量求解，属于中档题． M (2,M∴ 1) ( ) ( )1 2,2, 3DM = − ( )4, 4,0BE = − ( )2 4 2 4cos< , 0 4 4 9 16 16 DM BEDM BE DM BE × + × −⋅∴ = => = + + ⋅ +      ∴ 90° ( )2 M BD A− − θ ( )0, 4,4BD = − ( )2, 2,1BM = − ( )4,0,0AE = ( )1 , ,n x y z= 1 0n BD⋅ = 1 0n BM⋅ = 4 4 0y z− + = 2 2 0x y z− + = 1y z= = 1 2x = ∴ 1 1( ,1,1)2n = ( )2 4,0,0n AE= = 1 2 1 2 1 2 1 4 0 0 12| cos< , | 314 1 14 n n cos n n n n θ × + +⋅ ∴ = > = = = + +         θ ∴ M BD A− − 1 3