重庆市西南大学附属中学校2020届高三第四次月考数学（理）试题 含答案

重庆市西南大学附属中学校2020届高三第四次月考数学（理）试题 含答案

西南大学附属中学校高2020级第四次月考 数 学 试 题（理）‎ ‎（总分：150分 考试时间：120分钟）‎ ‎2019年11月 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．‎ ‎2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．‎ ‎3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．‎ ‎4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 1． 已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 2． 已知复数满足，则的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 3． 已知向量，，则是//的（ ）‎ A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 ‎ C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 4． 已知各项均为正数的等比数列的前3项和为，且，则 ‎（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎ C．4 D．8‎ 1． 已知圆与直线，若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 2． 函数的图像大致为（ ）‎ ‎ ‎ A B C D ‎ 3． 在中国足球超级联赛某一季的收官阶段中，广州恒大淘宝、北京中赫国安、上海上港、山东鲁能泰山分别积分59分、58分、56分、50分，四家俱乐部都有机会夺冠．A，B，C三个球迷依据四支球队之前比赛中的表现，结合自已的判断，对本次联赛的冠军进行如下猜测：猜测冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山；猜测冠军一定不是上海上港和山东鲁能泰山；猜测冠军是广州恒大淘宝或北京中赫国安.联赛结束后，发现A，B，C三人中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（ ）‎ A．广州恒大淘宝 B．北京中赫国安 C．上海上港 D．山东鲁能泰山 4． 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 5． 如图，过抛物线的右焦点的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 1． 已知平面四边形的两条对角线互相垂直，，，点在四边形上运动，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 2． 设双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的左、右两支于，．若以为直径的圆经过右焦点，且,则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 3． 已知定义在R上的奇函数满足，且对任意的，都有．又，则关于的不等式在区间上的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．‎ 4． 已知x，y满足约束条件，则的最大值为____________．‎ 5． 曲线在点处的切线与直线垂直，则．‎ 1． 已知数列满足，且．记数列的前项和为，若对一切的，都有恒成立，则实数能取到的最大整数是____________．‎ 2． 在平面四边形中，，，，则的取值范围是___________．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ 3． ‎(12分) 已知函数.‎ (1) 求函数的周期和对称轴方程；‎ (2) 将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，求函数在上的值域.‎ 4． ‎(12分) 已知各项均为正数的数列的前项和为，，.‎ (1) 证明数列为等差数列，并求的通项公式；‎ (2) 设，数列的前项和记为,证明：.‎ 5． ‎(12分) 中，，，为线段上一点，且满足.‎ (1) 求的值；‎ (2) 若，求.‎ 1． ‎(满分12分) 已知椭圆的左右焦点分别为点．为椭圆上的一动点，面积的最大值为．过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，．‎ (1) 求椭圆的方程；‎ (2) 椭圆上任取两点A，B，以，为邻边作平行四边形．若，则是否为定值？若是，求出定值；如不是，请说明理由．‎ 2． ‎(12分) 已知函数．‎ (1) 若，求证：在区间是增函数；‎ (2) 设，若对任意的，恒有，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ 3． ‎【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）‎ 已知曲线，点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.‎ (1) 求曲线与曲线的极坐标方程；‎ (1) 射线与曲线相交于两点，已知定点M（– 2，0），求的面积．‎ 1． ‎【选修4—5：不等式选讲】（10分）‎ 已知函数．‎ (1) 解不等式；‎ (2) 设函数的最小值为t，实数满足，且．‎ 求证：．‎ 西南大学附属中学校高2020级第四次月考 数学试题（理）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分． ‎ ‎ 1—5 DCDBA 6—10 ADDCB 11—12 CC 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．‎ ‎13． 6 14． 15． 16．‎ 三、解答题：共70分． ‎ ‎17．解：（1）‎ ‎；‎ 所以的周期,‎ 令，则.‎ ‎（2）， ‎ 当，，,‎ ‎.‎ ‎18. 解：（1）由已知：①,‎ 得②‎ ‎①－②可得.‎ 因为，所以 检验：由已知，，所以，‎ 那么，也满足式子.所以.‎ 所以为等差数列，首项为，公差为.于是.‎ ‎（2）由，所以.‎ 所以.‎ 则 ‎.‎ ‎19. 解：（1）由题：，所以,‎ 即.‎ 所以.‎ ‎（2）由，所以，‎ 所以，所以，.‎ 设，在中，由.‎ 中，.‎ 又因为,所以，即.‎ 化简可得，即，则或.‎ 又因为为线段上一点，所以且，所以.‎ ‎20. 解：（1）由题意：的最大面积，.‎ 又，联立方程可解得，所以椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设，，由平行四边形法则，所以.‎ 所以.‎ 又因为，即，即.‎ 又因为点A，B在椭圆上，则，，‎ 可得①， ②，‎ ‎①×②可得即，‎ 又，所以,即.‎ 又①＋②可得，可得.‎ 所以.‎ ‎21. 解：（1）当，．则.‎ 当，由函数单调性的性质可知，为上的增函数.‎ 所以，当时，.‎ 所以在区间是增函数.‎ ‎（2）由题，则 令，则为上的增函数.‎ 当；当；‎ 所以必然存在，使得，即.‎ 当，，即，所以为减函数.‎ 当，，即，所以为增函数.‎ 所以，无最大值.‎ 此外，因为，所以.‎ 令，则就有.‎ 又，当，，所以为上的增函数.‎ 因为，且，.所以必然有.‎ 此时，.‎ 又任意的，恒有，‎ 所以，即.‎ ‎22. 解：（1）曲线，化简则有：.‎ 将代入可得曲线.‎ 设，则,‎ 由点在曲线上，则.‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）点到射线的距离.‎ 射线与曲线的交点的坐标为，‎ 射线与曲线的交点的坐标为，‎ 所以,故.‎ ‎23. 解：（1），即.‎ 则不等式等价于或或 可解得或或无解.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，当且仅当取等号，‎ 所以函数的最小值为即.‎ 由柯西不等式：，‎ 所以，即，当且仅当 即时取等号.‎ 又，所以当且仅当时等号成立.‎