山西省晋城市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题 答案

山西省晋城市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题 答案

晋城市2018年高三第一次模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设是虚数单位，若，则（ ）‎ A．-3 B．‎3 C．1 D．-1‎ ‎3.函数，的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（ ）‎ A． B． C． D． 1‎ ‎4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设，则“”是“函数在定义域上为增函数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率．设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为，则满足的关系是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则程序最后输出的结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像关于直线对称，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.在如图所示的三棱柱中，已知，点在底面上的射影是线段的中点，则直线与直线所成角的正切值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为 ．‎ ‎14.若满足约束条件，则的最小值为 ．‎ ‎15.在的展开式中，的系数为 （用数字作答）．‎ ‎16.已知空间直角坐标系中，正四面体的棱长为2，点，，，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知数列中，，其前项和为，满足．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和，并证明．‎ ‎18.如图，在锐角中，，，，点在边上，且，点在边上，且，交于点．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）求及的长．‎ ‎19.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过‎20克的为合格．‎ ‎（Ⅰ）从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；‎ ‎（Ⅲ）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用表示乙车间的零件个数，求的分布列与数学期望．‎ ‎20.如图，在四棱锥中，，且．‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当四棱锥的体积为，且二面角为钝角时，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎21.已知直线是抛物线的准线，直线，且与抛物线没有公共点，动点在抛物线上，点到直线和的距离之和的最小值等于2.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）点在直线上运动，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎22.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDBCA 6-10:BBBCB 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 60 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由，得，‎ 后式减去前式，得，得．‎ 因为，可得，所以，‎ 即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 所以，‎ 因为，所以．‎ ‎18.解：（Ⅰ）在锐角中，，，，‎ 由正弦定理可得，所以．‎ ‎（Ⅱ）由，，可得，，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以，，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理可得，‎ 所以．‎ 由，得，‎ 所以．‎ ‎19.解：（Ⅰ）甲车间合格零件数为4，乙车间合格零件数为2，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）设事件表示“2件合格，2件不合格”；事件表示“3件合格，1件不合格”；事件表示“4件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”．‎ ‎∴，‎ ‎∴．故所求概率为．‎ ‎（Ⅲ）可能取值为0，1，2．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 分布列为 ‎∴．‎ ‎20.（Ⅰ）证明：取的中点，连接，‎ ‎∵为正三角形，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴四边形为矩形，∴，‎ 在中，，，，∴，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）证明：∵，，，‎ 平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面，‎ ‎∴过点作平面，垂足一定落在平面与平面的交线上．‎ ‎∵四棱锥的体积为，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴．‎ 如图，以为坐标原点，以为轴，轴．‎ 在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 由题意可知，，，，，，‎ 设平面的一个法向量为，则，得，‎ 令，则，∴，‎ ‎，设直线与平面所成的角为，‎ 则．‎ 则直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎21.解：（Ⅰ）作分别垂直和，垂足为，抛物线的焦点为，‎ 由抛物线定义知，所以，‎ 显见的最小值即为点到直线的距离，故，‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线的方程为，当点在特殊位置时，显见两个切点关于轴对称，故要使得，点必须在轴上．‎ 故设，，，，‎ 抛物线的方程为，求导得，所以切线的斜率，‎ 直线的方程为，又点在直线上，‎ 所以，整理得，‎ 同理可得，‎ 故和是一元二次方程的根，由韦达定理得，‎ ‎，‎ 可见时，恒成立，‎ 所以存在定点，使得恒成立．‎ ‎22.解：（Ⅰ），‎ ‎①当，即时，时，，时，，‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ ‎②当，即时，和时，，时，，‎ 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；‎ ‎③当，即时，和时，，时，，‎ 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；‎ ‎④当，即时，，所以在定义域上单调递增；‎ 综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；‎ ‎②当时，在定义域上单调递增；‎ ‎③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；‎ ‎④当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ ‎（Ⅱ）令，‎ 原问题等价于在区间上恒成立，可见，‎ 要想在区间上恒成立，首先必须要，‎ 而，‎ 另一方面当时，，由于，可见，‎ 所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减，‎ ‎∴成立，故原不等式成立．‎ 综上，若在区间上恒成立，则实数的取值范围为 ‎