【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第一章第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第一章第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

第 3 讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．简单的逻辑联结词 (1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”． (2)命题 p∧q、p∨q、﹁p 的真假判断 p q p∧q p∨q ﹁p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称命题和特称命题 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ (2)全称命题和特称命题 名称 形式　　 全称命题 特称命题 结构 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 否定 ∃x0∈M，﹁p(x0) ∀x∈M，﹁p(x) 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题 p∧q 为假命题，则命题 p、q 都是假命题．(　　) (2)命题 p 和﹁p 不可能都是真命题．(　　) (3)若命题 p、q 至少有一个是真命题，则 p∨q 是真命题．(　　) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　) (5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 若命题“p 或 q”与命题“非 p”都是真命题，则(　　) A．命题 p 不一定是假命题 B．命题 q 一定是真命题 C．命题 q 不一定是真命题 D．命题 p 与命题 q 同真同假 答案：B 已知命题 p：对任意 x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1 是方程 x＋2＝0 的根．则下列命题 为真命题的是(　　) A．p∧(﹁q)　　　　　 B．(﹁p)∧q C．(﹁p)∧(﹁q) D．p∧q 解析：选 A．因为命题 p 为真命题，q 为假命题，故﹁q 为真命题，所以 p∧(﹁q)为真 命题． (教材习题改编)命题 p：∀x∈N，x2>x3 的否定是(　　) A．∃x0∈N，x20>x30 B．∀x∈N，x2≤x3 C．∃x0∈N，x20≤x30 D．∀x∈N，x20　　　　 B．∀x∈N，x2>0 C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sinπx0 2 ＝1 (2)(2018·长沙模拟)已知函数 f(x)＝x 1 2 ，则(　　) A．∃x0∈R，f(x0)＜0 B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0 C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，f(x1)－f(x2) x1－x2 ＜0 D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)＞f(x2) 【解析】　(1)对于选项 A，由函数 y＝ex 的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项 A 为真命 题；对于选项 B，当 x＝0 时，x2＝0，故选项 B 为假命题；对于选项 C，当 x0＝1 e时，ln1 e＝－ 1<1，故选项 C 为真命题；对于选项 D，当 x0＝1 时，sinπ 2＝1，故选项 D 为真命题．综上知 选 B． (2)幂函数 f(x)＝x 1 2 的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故 A 错误，B 正确，C 错误，D 选项中当 x1＝0 时，结论不成立，选 B． 【答案】　(1)B　(2)B (1)对全称命题与特称命题进行否定的方法 ①改变量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对 量词进行改变． ②否定结论：对原命题的结论进行否定． (2)全称命题与特称命题的真假判断方法 ①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立； 但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合 M 中的一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即可(这 就是通常所说的“举出一个反例”)． ②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，至少能找到一个 x＝x0，使 p(x0) 成立即可，否则，这一特称命题就是假命题． [注意]　因为命题 p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其 真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．　 [通关练习] 1．命题“对任意 x∈R，都有 x2≥ln 2”的否定为(　　) A．对任意 x∈R，都有 x20 恒成立，所以 p 为真命题．对于命题 q， 取 a＝2，b＝－3，22<(－3)2，而 2>－3，所以 q 为假命题，﹁q 为真命题．因此 p∧﹁q 为 真命题．选 B． 【答案】　B “p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题 p、q 的真假； (3)确定“p∧q”“p∨q”“﹁p”等形式命题的真假．　 [通关练习] 1．(2018·贵州适应性考试)已知命题 p：∀x∈R，log 2(x2＋4)≥2，命题 q：y＝x 1 2 是定义 域上的减函数，则下列命题中为真命题的是(　　) A．p∨(﹁q) B．p∧q C．(﹁p)∨q D．(﹁p)∧(﹁q) 解析：选 A．命题 p：函数 y＝log2x 在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以 log2(x2＋ 4)≥log24＝2，即命题 p 是真命题，因此﹁p 为假命题；命题 q：y＝x 1 2 在定义域上是增函数， 故命题 q 是假命题，﹁q 是真命题．因此选项 A 是真命题，选项 B 是假命题，选项 C 是假 命题，选项 D 是假命题，故选 A． 2．已知命题 p：∃x0∈R，使 sin x0＝ 5 2 ；命题 q：∀x∈R，都有 x2＋x＋1>0.给出下列结 论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(﹁q)”是假命题；③命题“(﹁p)∨q”是真命 题；④命题“(﹁p)∨(﹁q)”是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填 上)． 解析：因为对任意实数 x，|sin x|≤1，而 sin x0＝ 5 2 >1，所以 p 为假；因为 x2＋x＋1＝0 的判别式 Δ<0，所以 q 为真．故②③正确． 答案：②③ 由命题的真假确定参数的取值范围 [典例引领] (1)已知 f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝( 1 2)x－m，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 m 的取值范围是(　　) A．[1 4，＋∞)　　　　　　 B．[1 2，＋∞) C．(－∞，1 4] D．(－∞，－1 2] (2)给定命题 p：对任意实数 x 都有 ax2＋ax＋1＞0 成立；q：关于 x 的方程 x2－x＋a＝0 有 实 数 根 ． 如 果 p∨q 为 真 命 题 ， p ∧ q 为 假 命 题 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ______________． 【解析】　(1)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0， 当 x∈[1，2]时， g(x)min＝g(2)＝1 4－m， 由 f(x)min≥g(x)min， 得 0≥1 4－m，所以 m≥1 4，故选 A． (2)当 p 为真命题时，“对任意实数 x 都有 ax2＋ax＋1＞0 成立”⇔a＝0 或{a＞0， Δ＜0， 所以 0≤a＜4. 当 q 为真命题时，“关于 x 的方程 x2－x＋a＝0 有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以 a≤1 4. 因为 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， 所以 p，q 一真一假． 所以若 p 真 q 假，则 0≤a＜4，且 a＞1 4， 所以1 4＜a＜4；若 p 假 q 真，则{a＜0或a ≥ 4， a ≤ 1 4， 即 a＜0. 故实数 a 的取值范围为(－∞，0)∪(1 4，4 ). 【答案】　(1)A　(2)(－∞，0)∪(1 4，4 ) 若将本例(1)中“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数 m 的取值范 围是什么？ 解：当 x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝1 2－m， 由 f(x)min≥g(x)max，得 0≥1 2－m， 所以 m≥1 2， 即 m 的取值范围为[1 2，＋∞)． 根据命题的真假求参数的方法 (1)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解 决． (2)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数 的取值范围，在求解过程中要熟知以下几种等价关系： ①p∨q 真⇔p，q 至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假． ②p∨q 假⇔p，q 均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真． ③p∧q 真⇔p，q 均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假． ④p∧q 假⇔p，q 至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真． ⑤﹁p 真⇔p 假；﹁p 假⇔p 真． [注意] 要注意分类讨论思想的应用，如本例(2)中，由于 p 和 q 一真一假，因此需分 p 真 q 假与 p 假 q 真两种情况讨论求解．　 [通关练习] 1．命题 p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若﹁p 是真命题，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(0，4]　　　　　　　 B．[0，4] C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析：选 D.因为命题 p：∀x∈R，ax 2＋ax＋1≥0，所以命题﹁p：∃x 0∈R，ax20＋ax0＋ 1<0， 则 a<0 或{a > 0， Δ＝a2－4a > 0，解得 a<0 或 a>4. 2．已知命题 p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题 q：“∃x0∈R，x20＋4x0＋a＝0”．若命题 “p∧q”是真命题，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(4，＋∞) B．[1，4] C．[e，4] D．(－∞，－1) 解析：选 C．由题意知 p 与 q 均为真命题，由 p 为真，可知 a≥e，由 q 为真， 知 x2＋4x＋a＝0 有解，则 Δ＝16－4a≥0， 所以 a≤4.综上可知 e≤a≤4. 逻辑联结词与集合的关系 “且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”． 含逻辑联结词命题的真假判断口诀 (1)p∨q→见真即真； (2)p∧q→见假即假； (3)p 与﹁p→真假相反． 命题否定中的 3 个易错点 (1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否 定； (3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”． 常见词语的否定形式 词语 是 都是 ＝ >(<) 至少有一个 至多有一个 且 词语的否定 不是 不都是 ≠ ≤(≥) 一个也没有 至少有两个 或 1．命题“∃x0∈R，ln x0＋2x0≤0”的否定是(　　) A．∀x∈R，ln x＋2x＜0 B．∀x∈R，ln x＋2x＞0 C．∃x0∈R，ln x0＋2x0＞0 D．∀x∈R，ln x＋2x≤0 解析：选 B．命题“∃x0∈R，ln x0＋2x0≤0”的否定是“∀x∈R，ln x＋2 x＞0”，故选 B． 2．(2018·福州质检)已知命题 p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则﹁p 是(　　) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0 D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0 解析：选 C．已知全称命题 p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则﹁p：∃x1，x2∈ R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0，故选 C． 3．(2018·东北三校联考(一))下列命题中是假命题的是　(　　) A．∃x∈R，log2x＝0　　　 B．∃x∈R，cos x＝1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0 解析：选 C．因为 log21＝0，cos 0＝1，所以选项 A、B 均为真命题，02＝0，选项 C 为 假命题，2x＞0，选项 D 为真命题，故选 C． 4．命题 p：甲的数学成绩不低于 100 分，命题 q：乙的数学成绩低于 100 分，则 p∨(﹁ q)表示(　　) A．甲、乙两人的数学成绩都低于 100 分 B．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于 100 分 C．甲、乙两人的数学成绩都不低于 100 分 D．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于 100 分 解析：选 D.由于命题 q：乙的数学成绩低于 100 分，因此﹁q：乙的数学成绩不低于 100 分．所以 p∨(﹁q)：甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于 100 分，故选 D. 5．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数 x，使 x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 x，1 x>2 解析：选 B．A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以 A 是假命题；B 中当 x＝0 时，x2＝ 0，满足 x2≤0，所以 B 既是特称命题又是真命题；C 中因为 2＋(－ 2)＝0 不是无理数，所 以 C 是假命题；D 中对于任意一个负数 x，都有1 x<0，不满足1 x>2，所以 D 是假命题． 6．已知命题 p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则(　　) A．p 是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p 是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p 是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p 是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 解析：选 B．因为 3x>0，所以 3x＋1>1，则 log2(3x＋1)>0，所以 p 是假命题；﹁p：∀x∈ R，log2(3x＋1)>0.故选 B． 7．已知命题 p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题 q：若 a＞b，则 a2＞b2.下列命题为真命题的 是(　　) A．p∧q B．p∧﹁q C．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q 解析：选 B．因为∀x＞0，x＋1＞1，所以 ln(x＋1)＞0，所以命题 p 为真命题；当 b＜a＜ 0 时，a2＜b2，故命题 q 为假命题，由真值表可知 B 正确，故选 B． 8．(2018·安庆模拟)设命题 p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1 x0＞3，命题 q：∀x∈(2，＋∞)，x2 ＞2x，则下列命题为真的是(　　) A．p∧(﹁q) B．(﹁p)∧q C．p∧q D．(﹁p)∨q 解析：选 A．命题 p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1 x0＞3，当 x0＝3 时，x0＋1 x0＝10 3 ＞3，命题 p 为真；命题 q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，当 x＝4 时，42＝24，命题 q 为假．所以 p∧(﹁q)为 真，故选 A． 9．已知命题 p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题 q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则 (　　) A．p∨q 为真 B．p∧q 为真 C．p 真 q 假 D．p∨q 为假 解析：选 D.由 x>3 能够得出 x 2>9，反之不成立，故命题 p 是假命题；由 a 2>b2 可得 |a|>|b|，但 a 不一定大于 b，反之也不一定成立，故命题 q 是假命题．因此选 D. 10．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数 a 的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－1，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：选 D.因为命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是真命题等价于 x20＋(a－1)x0＋1＝ 0 有两个不等的实根，所以 Δ＝(a－1) 2－4>0，即 a2－2a－3>0，解得 a<－1 或 a>3，故选 D. 11．下列结论中错误的是(　　) A．命题“若 p，则 q”与命题“若﹁q，则﹁p”互为逆否命题 B．命题 p：∀x∈[0，1]，ex≥1；命题 q：∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0，则 p∨q 为真 C．“若 am2＞bm2(m∈R)，则 a＞b”的逆命题为真命题 D．若 p∨q 为假命题，则 p，q 均为假命题 解析：选 C．因为命题“若 p，则 q”与命题“若﹁q，则﹁p”互为逆否命题，所以选 项 A 正确；因为命题 p：∀x∈[0，1]，ex≥1 是真命题，命题 q：∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0 是假 命题，则 p∨q 为真命题，所以选项 B 正确；因为当 m＝0 时，am2＝bm2，所以“若 am2＞ bm2(m∈R)，则 a＞b”的逆命题为假命题，所以选项 C 错误；易知 D 正确．故选 C． 12．已知命题 p：∀x∈N*，(1 2)x≥(1 3)x，命题 q：∃x∈N*，2x＋21－x＝2 2，则下列命题中 为真命题的是(　　) A．p∧q B．(﹁p)∧q C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q) 解析：选 C．因为 y＝xn(n 为正整数)在(0，＋∞)上是增函数，又1 2＞1 3，所以∀x∈N*， (1 2)x≥(1 3)x 成立，p 为真命题；因为 2x＞0，21－x＞0，所以 2x＋21－x≥2 2x × 21－x＝2 2，当 且仅当 2x＝21－x，即 x＝1 2时等号成立，因为 x＝1 2∉N*，所以 q 为假命题，所以 p∧(﹁q)为真 命题．故选 C． 13．命题 p 的否定是“对所有正数 x， x＞x＋1”，则命题 p 可写为___________． 解析：因为 p 是﹁p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即 可． 答案：∃x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1 14．若“∀x∈[－π 4，π 4]，m≤tan x＋1”为真命题，则实数 m 的最大值为________． 解析：由“∀x∈[－π 4，π 4]，m≤tan x＋1”为真命题，可得－1≤tan x≤1， 所以 0≤tan x＋1≤2， 所以实数 m 的最大值为 0. 答案：0 15．已知命题“∀x∈R，x 2－5x＋15 2 a＞0”的否定为假命题，则实数 a 的取值范围是 ________． 解析：由“∀x∈R，x2－5x＋15 2 a＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不 等式 x2－5x＋15 2 a＞0 对任意实数 x 恒成立． 设 f(x)＝x2－5x＋15 2 a，则其图象恒在 x 轴的上方． 故 Δ＝25－4×15 2 a＜0， 解得 a＞5 6，即实数 a 的取值范围为(5 6，＋∞). 答案：(5 6，＋∞) 16．下列结论： ①若命题 p：∃x0∈R，tan x0＝2；命题 q：∀x∈R，x2－x＋1 2>0，则命题“p∧(﹁q)”是 假命题； ②已知直线 l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则 l1⊥l2 的充要条件是a b＝－3； ③“设 a，b∈R”，若 ab≥2，则 a2＋b2＞4”的否命题为：“设 a，b∈R，若 ab＜2， 则 a2＋b2≤4”． 其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上) 解析：在①中，命题 p 是真命题，命题 q 也是真命题，故“p∧( ﹁q)”是假命题是正 确的．在②中，由 l1⊥l2，得 a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设 a，b∈R，若 ab≥2， 则 a2＋b2＞4”的否命题为“设 a，b∈R，若 ab＜2，则 a2＋b2≤4”正确． 答案：①③ 1．(2018·兰州诊断考试)下列命题中，真命题为(　　) A．∃x0∈R，ex0 ≤0 B．∀x∈R，2x＞x2 C．已知 a，b 为实数，则“a＋b＝0”的充要条件是“a b＝－1”　 D．已知 a，b 为实数，则“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件 解析：选 D.选项 A 为假命题，理由是对∀x∈R，ex＞0；选项 B 为假命题，不妨取 x＝ 2，则 2x＝x2；选项 C 为假命题，当 b＝0 时，由 a＋b＝0 推不出a b＝－1，但由a b＝－1 可推 出 a＋b＝0，即 a＋b＝0 的充分不必要条件是a b＝－1；选项 D 为真命题，若 a＞1，b＞1， 则 ab＞1，反之不成立，如 a＝3，b＝1 2，故“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件， 故选 D. 2．已知命题 p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题 q：若 mx2－mx＋1>0 恒成立，则 00 恒成立，则 m＝0 或{m > 0， Δ＝m2－4m < 0，则 0≤m<4，所以命题 q 为假，故选 C． 3．(2018·张掖第一次诊断)下列说法正确的是(　　) A．若 a∈R，则“1 a＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B．“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的必要不充分条件 C．若命题 p：“∀x∈R，sin x＋cos x≤ 2”，则﹁p 是真命题 D．命题“∃x0∈R，x20＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0” 解析：选 A．由1 a＜1，得 a＜0 或 a＞1，反之，由 a＞1，得1 a＜1，所以“1 a＜1”是“a＞ 1”的必要不充分条件，故 A 正确；由 p∧q 为真命题，知 p，q 均为真命题，所以 p∨q 为 真命题，反之，由 p∨q 为真命题，得 p，q 至少有一个为真命题，所以 p∧q 不一定为真命 题，所以“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的充分不必要条件，故 B 不正确；因为 sin x＋cos x＝ 2sin(x＋π 4)≤ 2，所以命题 p 为真命题，则﹁p 是假命题，故 C 不正确；命题“∃x0 ∈R，x20＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”，故 D 不正确． 4．已知命题 p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝3 2，则在命题 q1：p1 ∨p2；q2：p1∧p2；q3：(﹁p1)∨p2 和 q4：p1∧(﹁p2)中，真命题是________． 解析：因为 y＝(3 2 )x 在 R 上是增函数，即 y＝(3 2 )x >1 在(0，＋∞)上恒成立，所以 命题 p1 是真命题；sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋π 4)≤ 2，所以命题 p2 是假命题，﹁p2 是真命题， 所以命题 q1：p1∨p2，q4：p1∧(﹁p2)是真命题． 答案：q1，q4 5．设命题 p：函数 y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q：曲线 y＝x2＋(2a－ 3)x＋1 与 x 轴有两个不同的交点．若 p∧﹁q 为真命题，求实数 a 的取值范围． 解：函数 y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减⇔0＜a＜1， 曲线 y＝x2＋(2a－3)x＋1 与 x 轴有两个不同的交点⇔Δ＝(2a－3)2－4＞0⇔a＜1 2或 a＞5 2. 所以若 p 为真命题，则 0＜a＜1；若 q 为真命题，则 a＜1 2或 a＞5 2. 因为 p∧﹁q 为真命题， 所以 p 为真命题，q 为假命题． 由{0＜a＜1 1 2 ≤ a ≤ 5 2 ，解得1 2≤a＜1， 所以实数 a 的取值范围是[1 2，1)． 6．设 p：实数 x 满足 x2－5ax＋4a2＜0(其中 a＞0)，q：实数 x 满足 2＜x≤5. (1)若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围； (2)若﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝1 时，x2－5x＋4＜0，解得 1＜x＜4. 即 p 为真时，实数 x 的取值范围是 1＜x＜4. 若 p∧q 为真，则 p 真且 q 真， 所以实数 x 的取值范围是(2，4)． (2)﹁q 是﹁p 的必要不充分条件， 即 p 是 q 的必要不充分条件， 设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则 BA，由 x2－5ax＋4a2＜0 得(x－4a)(x－a)＜0， 因为 a＞0，所以 A＝(a，4a)， 又 B＝(2，5]，则 a≤2 且 4a＞5，解得5 4＜a≤2. 所以实数 a 的取值范围为(5 4，2 ].