2020学年高一数学上学期期中素质测试试题（含解析）

2020学年高一数学上学期期中素质测试试题（含解析）

‎2019学年度第一学期期中素质测试 数学必修 ① ‎ 考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，满分100分．请在答题卡上答题．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共36分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上用2B铅笔涂黑．‎ ‎1. 已知，，等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，，故选D。‎ ‎2. 已知，则满足条件的集合的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，，所以满足要求的集合有，故选C。‎ ‎3. 下列函数中与函数是同一函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数相等必须满足定义域相同和解析式相同，A、B解析式不同，C定义域不同，故选D。‎ ‎4. 函数，的图象如图所示，则函数的所有单调递减区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】有图可知，在和两个区间单调递减，故选C。‎ - 7 -‎ ‎5. 下列函数为幂函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由幂函数的定义可知，选A。‎ ‎6. 函数的零点是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，解得或，故选C。‎ ‎7. 化简（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A。‎ ‎8. 已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，，所以，故选A。‎ ‎9. 已知，则（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】当，即时，得，故选B。‎ 点睛：函数解析式中特别强调整体思想的应用，在本题中，将条件函数研究对象整体，得，再带入条件函数，就可以解得的值。在函数的解析式相关题型中，整体思想的应用非常广泛，学会灵活应用。‎ - 7 -‎ ‎10. 某商场将彩电的售价先按进价提高，然后“八折优惠”，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设进价为元，得，解得，故选C。‎ ‎11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，恒成立，设，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】是偶函数，得关于对称，‎ 又由题意可知，在上单调递减，‎ 又，则，‎ ‎，故选D。 ‎ 点睛：本题考察函数的对称性和单调性的综合应用，是的对称轴为，则关于对称，再结合单调性，可以把所有点都对称到一边进行大小比较，也可以通过函数草图进行大小比较。‎ ‎12. 设函数，其中，则的零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，‎ 由零点存在性定理可知，的零点所在区间为，故选B。‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共64分）‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请在答题卡上作答．‎ ‎13. 若函数的定义域是，则函数的定义域是_____．‎ - 7 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由的定义域为，可知，得，即定义域为。‎ ‎14. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则时，_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，所以，‎ 又当时，满足函数方程，‎ 当时，。‎ ‎15. 二次函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得在区间有解，因为在区间单调递增，得值域为，所以的取值范围为。‎ ‎16. 函数对任意实数满足，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，得，解得，‎ 当时，得，‎ ‎。‎ 点睛：抽象函数问题，利用赋值法进行求解。本题对任意都满足，结合题意，首先赋值，解得，然后赋值，解得。抽象函数问题，学会根据题目要求，正确的赋值，解答问题。‎ 三、解答题：本大题共5个小题，满分44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡上作答．‎ ‎17. 已知集合，． ‎ ‎（Ⅰ）当时，求； ‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ - 7 -‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，求出，再求出；（2），利用数轴，可知，求出的取值范围。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当时，，，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）若，，即的取值范围是。‎ ‎18. 求下列各式的值：‎ ‎（Ⅰ）； ‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）指数式与根式的综合计算，注意计算技巧；（2）对数计算公式和换底公式在计算中的应用。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）； ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎19. 已知偶函数在区间上是减函数，证明在区间上是增函数.‎ ‎【答案】证明见解析； ‎ ‎【解析】试题分析：利用单调性的定义，任取，转化得到，再利用奇偶性，得，，根据条件在区间上是减函数，得，所以，得证为增函数。‎ 试题解析：‎ 设，则有 因为是偶函数，所以 ‎ ‎ 从而，‎ - 7 -‎ ‎ 又在区间上是减函数 ‎ 所以 即 ‎ 所以在上是增函数.‎ ‎20. 已知，其中．‎ ‎（Ⅰ）若在上是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）且；（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）分段函数单调，则满足分别单调和整体单调，由在上递增，可知在上应是递增的，所以，且，得；（2）在上无零点，可知时， 只有一个零点，又为单调函数，只要，解得答案。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵在上递增，‎ ‎∴在上应是递增的， ‎ ‎∴，且，得，‎ 综上，的取值范围是且．‎ ‎（Ⅱ）∵时，，∴在上无零点，‎ ‎ ∴时， 只有一个零点， ‎ ‎ ∵在递增，且，∴，‎ ‎ 由∴实数的取值范围是 点睛：（1）分段函数的单调性问题，需要满足分别单调和整体单调两个方面，分别单调考察对基本初等函数的性质认识，整体单调从分段点入手；（2）零点个数问题从图像入手，本题中函数为单调函数，则只要即可。‎ ‎21. 某水果店购进某种水果的成本为，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价与时间之间的函数关系式为，销售量与时间的函数关系式为。‎ ‎（Ⅰ）该水果店哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？‎ - 7 -‎ ‎（Ⅱ）为响应政府“精准扶贫”号召，该店决定每销售水果就捐赠元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间的增大而增大，求捐赠额的值。‎ ‎【答案】（Ⅰ）第十天的销售利润最大，最大利润为1250元；（Ⅱ）‎ ‎............‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设利润为，则 ‎ ……2分 ‎ 当时， ‎ ‎ 即第十天的销售利润最大，最大利润为1250元.‎ ‎（Ⅱ）设捐赠后的利润为(元) ‎ 则 ‎ 令，则二次函数的图象开口向下，对称轴，‎ 根据题意得：第一天开始不能亏损，即；‎ 利润上升，即二次函数对称轴应在29.5的右侧，即 ‎ 从而有，解得 注：由利润上升得求解的，扣2分.‎ ‎ ‎ - 7 -‎