数学理卷·2018届海南省海南中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届海南省海南中学高二下学期期中考试（2017-04）

‎2016-2017学年第二学期期中考试 高二理科数学（试题卷）‎ 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 1. 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）‎ A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 2. 已知随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 某人有4个不同的电子邮箱，他要发3封电子邮件，则不同发送方法的种数是（ ）‎ A. 7 B. 12 C. D. ‎ 4. 袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为（ ）‎ A． B． C． D． 5. 已知随机变量的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（ ）‎ A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88‎ 1. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）‎ A． B． C． D． 2. 某食品店为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐3种卡片即可获奖，现购买该食品4袋，能获奖的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 3. 假设你家订了一份牛奶，派送牛奶的人在早上6：00---7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30---7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 4. 甲、乙两名选手进行比赛，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率分别是和，则甲最后获胜的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 5. 抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是，反复这样投掷，数列定义如下：.若，则事件“且”的概率是（ ）‎ A． B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ 6. 已知随机变量服从正态分布，且，则______．‎ 7. 若展开式中各项系数和为,则展开式中的系数是_______．‎ 8. 一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到标有数字1的球的概率为_______．‎ 1. 将函数的图象向左平移3个单位后得到的图象. 设是集合中任意选取的2个不同的元素，记，则随机变量的数学期望_______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ 2. ‎（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线（为参数，）与圆相交于点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）写出直线和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）求的最大值.‎ 3. ‎（本小题满分12分）设有关于的一元二次方程．‎ ‎（1）若是从集合中任取的一个元素，是从集合中任取的一个元素，求方程恰有两个不相等实根的概率；‎ ‎（2）若是从集合中任取的一个元素，是从集合中任取的一个元素，求方程有实根的概率．‎ 4. ‎（本小题满分12分）甲、乙两个射手进行射击训练，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，每人各射击两发子弹为一个“单位射击组”，若甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，则称此组为“单位进步组”.‎ ‎（1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；‎ ‎（2）记完成三个“单位射击组”后出现“单位进步组”的次数，求的分布列与数学期望.‎ 1. ‎（本小题满分12分）已知三棱柱中，平面⊥平面，，为的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ 2. ‎（本小题满分12分）已知椭圆上的点到左、右两焦点的距离之和为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过右焦点的直线交椭圆于两点．‎ ‎①若轴上一点满足，求直线斜率的值；‎ ‎②是否存在这样的直线，使的最大值为（其中为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由．‎ 3. ‎（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间及最值；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）求证:.‎ ‎2016-2017学年第二学期期中考试 高二理科数学（参考答案）‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C A B D D B C D A B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13． 0.3 14． 21 15． 16． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ 1. ‎（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线（为参数，）与圆相交于点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）写出直线和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）求的最大值.‎ 解析：（1）直线的极坐标方程为，…………………………2分 圆的极坐标方程为………………………5分 ‎（2）将代入，‎ 得，‎ 设两点对应的极径分别为，‎ 则，……………………………………………7分 于是，且 ‎，‎ 故的最大值.……………………………………………10分 2. ‎（本小题满分12分）设有关于的一元二次方程．‎ ‎（1）若是从集合中任取的一个元素，是从集合中任取的一个元素，求方程 恰有两个不相等实根的概率；‎ ‎（2）若是从集合中任取的一个元素，是从集合中任取的一个元素，求方程有实根的概率．‎ 解析：（1）由题意知取集合{0，1，2，3}中任一个元素，取集合{0，1，2}中任一个元素，，取值的所有情况有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值，即基本事件总数为12．‎ 记“方程恰有两个不相等的实根”为事件，其等价于．‎ 而当时，，取值的情况有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2），‎ 即包含的基本事件数为6，所以方程恰有两个不相等实根的概率=．‎ ‎（2）设事件为“方程有实根”．‎ 当，时，方程有实根需满足．‎ 试验的全部结束所构成的区域为．‎ 构成事件的区域为（如图所示的阴影部分），‎ 因此所求的概率为＝．‎ 1. ‎（本小题满分12分）甲、乙两个射手进行射击训练，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，每人各射击两发子弹为一个“单位射击组”，若甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，则称此组为“单位进步组”.‎ ‎（1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；‎ ‎（2）记完成三个“单位射击组”后出现“单位进步组”的次数，求的分布列与数学期望.‎ 解析：（1）设甲击中目标2次时为“单位进步组”的概率为，‎ 则 设甲击中目标1次时为“单位进步组”的概率为，则．‎ 故一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率为．……………（6分）‎ ‎（2）由（1）知，一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率不能成为“单位进步组”的概率.可能取值为0，1，2，3.‎ ‎,…………………………（8分）‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴的数学期望．‎ ‎（或﹀……………………………………………（12分）‎ 1. ‎（本小题满分12分）已知三棱柱中，平面⊥平面，，为的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ 试题解析：解法一：‎ ‎（Ⅰ）由于平面平面，，所以面，所以.(2分)‎ 而是菱形，因此，所以平面……………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）设，作于，连接，‎ 由（1）知平面，即平面，所以 又于，因此，‎ 所以为二面角的平面角……………………………………………………（8分）‎ 在中，，，故直角边 又因为中斜边 因此中斜边 所以，所以二面角的余弦值为 因此二面角的正弦值为. ………………………………（12分）‎ 解法二：‎ 如图，取的中点，则 因为，所以，又平面………………………………（2分）‎ 以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，‎ ‎（Ⅰ），，， ‎ 由 知 又，从而平面……………………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（1）知平面的一个法向量为，‎ 再设平面的法向量为，，， ‎ 所以，设，则， ‎ 故 因此二面角的正弦值为. ………………………………（12分）‎ 1. ‎（本小题满分12分）已知椭圆上的点到左、右两焦点的距离之和为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过右焦点的直线交椭圆于两点．‎ ‎①若轴上一点满足，求直线斜率的值；‎ ‎②是否存在这样的直线，使的最大值为（其中为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由．‎ 解析：（Ⅰ），∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴ ‎ 椭圆的标准方程为， …………………………………………(4分）‎ ‎（Ⅱ）（1）已知,设直线的方程为，，‎ 联立直线与椭圆方程，化简得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴的中点坐标为，‎ ‎①当时，，‎ 整理得解得或；……………………………………(7分）‎ ‎②当时，的中垂线方程为，满足题意． ‎ ‎∴斜率的取值为．…………………………………………………………(8分）‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，此时 ‎ 满足题意即方程为．‎ 当直线斜率存在时，由（1）知 ‎ ‎ 而原点到直线的距离 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 综上，‎ 所以满足题意的直线存在，方程为． ………………………………………………(12分）‎ 1. ‎（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间及最值；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）求证:.‎ 解析：(1)的定义域为 ‎,‎ 所以函数的增区间为,减区间为，‎ ‎,无最小值.…………………………………(4分）‎ ‎ (2) ‎ ‎．‎ 令，‎ 则.‎ 当时，显然，‎ 所以在上是减函数，所以当时，，‎ 所以，的取值范围为.………………………………………(8分）‎ ‎（3）由（2）知，当时，，即.‎ 在式中，令，得，即，‎ 依次令，得.‎ 将这个式子左右两边分别相加，得.……(12分）‎