广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

中山市第一中学2019-2020学年度第一学期 高二级第一次段考数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。1-11题是单选题，第12题是多选题）‎ ‎1.已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(　　)‎ A. 76 B. 2‎ C. 27 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由余弦定理，得，故选B.‎ ‎2.下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质和特殊值法来判断各选项中结论的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，若，由，可得，A选项错误；‎ 对于B选项，取，，则满足，但，B选项错误；‎ 对于C选项，若，，由不等式的性质可得，C选项正确；‎ 对于D选项，若，则，D选项错误.故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用不等式的性质来判断不等式的正误，同时也可以利用特殊值法等一些基本方法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎3.等差数列的前项和为，若，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差中项的性质求出的值，再由等差数列的前项和以及等差中项的性质求出的值.‎ ‎【详解】由等差中项的性质得，，‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项的性质，同时也考查了等差数列前项和公式的应用，解题时充分利用等差数列的性质，可简化计算，同时也可以利用首项和公差，利用方程思想求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.数列的前项和，则等于（ ）‎ A. 11 B. 15 C. 17 D. 20‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 故答案选 ‎5.若的三个内角满足，则（ ）‎ A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.‎ ‎【详解】由，可得出，‎ 设，则，，则角为最大角，‎ 由余弦定理得，则角为钝角，‎ 因此，为钝角三角形，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎6.的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．‎ ‎【详解】解：成等比数列，，又，，‎ 则 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7.已知中，则等于（ ）‎ A. 60°或120° B. 30° C. 60° D. 30°或150°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理得 考点：正弦定理 ‎8.设数列满足，且，则数列前项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】，，，因此，数列的前项的和为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用累加法求数列通项，同时也考查了裂项求和法，解题时要注意这两种方法对数列递推公式以及数列通项公式的要求，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角的余弦公式以及求出的值，然后利用余弦定理求出的值.‎ ‎【详解】由于是锐角三角形，则，‎ 由，得，即，‎ 解得，由余弦定理得，整理得，‎ ‎，解得，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角求值以及利用余弦定理解三角形，解题时要根据所给的已知角列余弦定理进行计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10.已知数列前项和为，则的值（ ）‎ A. 13 B. -76 C. 46 D. 76‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得S15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29，S22＝﹣4×11＝﹣44，S31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61，由此能求出S15+S22﹣S31的值．‎ ‎【详解】∵Sn＝1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），‎ ‎∴S15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29，‎ S22＝﹣4×11＝﹣44，‎ S31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61，‎ ‎∴S15+S22﹣S31＝29﹣44﹣61＝﹣76．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意数列的前n项和公式的合理运用．‎ ‎11.已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为，若，则（ 　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由重心可得出关于重心的向量结论，与题目中等式结合，可求出三者之间的关系，‎ 由正弦定理，即可求得三个角的正弦值之比.‎ ‎【详解】由于G为重心，所以：.，‎ 由系数之间的关系可知：，‎ 所以由正弦定理：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查重心相关向量结论以及正弦定理，在三角形中要熟练掌握重心、外心、内心等特殊点的特征及结论，重心要重点掌握其分中线为.‎ ‎12.（多选题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）‎ A. 若是等差数列，则是等方差数列 B. 是等方差数列 C. 若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列 D. 若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；‎ 对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；‎ 对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；‎ 对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，‎ 则，‎ 由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，‎ 则对任意的恒成立，则，得，‎ 此时，数列为常数列，D选项正确.故选：BCD.‎ ‎【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数等于______________‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式列不等式求解即可.‎ ‎【详解】每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，‎ 则有，得，‎ 因为 所以至少等于6，故答案为6.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的定义，等比数列的前项和公式，意在考查对基础知识的掌握情况以及运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.‎ ‎14.已知数列的前项和，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.‎ ‎【详解】当时，；‎ 当时，.‎ 不适合上式，.‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是 ___。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，设三角形的三边分别为a，aq，aq2，利用任意两边之和大于第三边即可求得q的取值范围．‎ 详解：依题意，设三角形的三边分别为a，aq，aq2，‎ 则 ‎ 解①得：④，‎ 解②得：q∈R；⑤‎ 解③得：q＞或q＜-；⑥‎ 由④⑤⑥得：＜q＜．‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查等比数列的性质，考查解不等式组的能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.‎ ‎16.如果a>b，给出下列不等式：‎ ‎①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.‎ 其中一定成立的不等式的序号是________．‎ ‎【答案】②⑥‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.‎ ‎【详解】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.‎ ‎【点睛】本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知a>0，b>0，且a≠b，比较与a＋b的大小．‎ ‎【答案】>a＋b.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：作差法比较大小，，a>0，b>0，且a≠b，所以, >a＋b.‎ 考点：利用不等式比较大小 ‎18.设等差数列满足，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和及的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2），取得最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出等差数列的前项和，再利用二次函数的性质求出的最大值.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，由及，，‎ 得，解得，所以数列通项公式为；‎ ‎（2）由（1）知，.‎ 因为，所以当时，取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列前项和的最值，对于等差数列问题，一般建立首项和公差的方程组，利用这两个量进行求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.在海岸处，发现北偏东方向，距处的处有一艘走私船，在处北偏西的方向，距离处的处的缉私船奉命以的速度追截走私船．此时，走私船正以的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？‎ ‎【答案】沿北偏东的方向能最快追上走私船.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，设缉私船用小时在处追上走私船，在中利用余弦定理计算出，利用正弦定理计算出，并用表示、，然后在中利用正弦定理计算出，即可得出缉私船行驶方向.‎ ‎【详解】设缉私船用小时在处追上走私船．‎ 在中，由余弦定理，得，．‎ 由正弦定理，得，，‎ 与正北方向垂直．．‎ 在中，由正弦定理，得，，‎ ‎，.‎ 故缉私船沿北偏东的方向能最快追上走私船．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查三角形与三角函数基础知识应用，解题时要结合三角形已知元素类型选择正弦、余弦定理进行计算，同时要理解方向角的概念，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.在中，内角的对边分别为，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎（1）利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化已知等式中的解为单角，可求得，从而得；‎ ‎（2）由可得，再由正弦定理可得，从而，利用两角和与差的公式化此式为一个角的三角函数形式，最后利用正弦函数的性质可求得取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得 ‎ 化简得 ∴‎ ‎ 又 ∴故或 ‎ ‎（2）由 ‎ ∴ ‎ ‎ 又∵ ∴‎ ‎ 故 ‎ ∴ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴的取值范围为[）‎ ‎21.已知数列前项和为，，，设.‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）数列满足，设，求.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，由得出，两式相减得出，然后利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列；‎ ‎（2）由（1）得出数列的通项公式，并求出，然后利用裂项求和法求出，代入可计算出.‎ ‎【详解】（1）当时，由①，得．②‎ ‎①②得，所以，‎ 又，所以．‎ 因为，且，所以，所以．‎ 故数列是首项为，公比为的等比数列；‎ ‎（2）由（1）可知，则．‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义证明等比数列，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉裂项求和法对数列通项公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22.已知数列满足.‎ ‎（1）证明数列是等差数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，由得出，两式化简得出，然后利用等差中项法可证明出数列为等差数列；‎ ‎（2）由递推公式求出、的值，可得出等差数列的公差，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）因为，当时，有，‎ 两式相减得：，‎ ‎，数列是等差数列；‎ ‎（2）由得，又，得，，‎ 设数列的前项和为，即，‎ ‎，①‎ 可得，②‎ ‎①②得，，‎ 因此，.‎ 综上可知，数列的前项和为.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的证明，同时也考查了错位相减法，在证明等差数列时，可采用定义法和等差中项法，同时也要熟悉错位相减求和法对数列通项的要求，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎ ‎