数学卷·2019届广西南宁市第三中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）x

数学卷·2019届广西南宁市第三中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）x

广西南宁市第三中学2017-2018学年高二上学期期中考试 数学试题 ‎1. 不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 或 ‎∴ 不等式的解集为，故选D.‎ ‎2. “”是“直线和直线平行”的(　　)‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，直线即3x＋2y＋6＝0，直线，即，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线与直线平行时，能得出或．综上所述，选A．‎ ‎3. 已知命题；命题，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 命题是假命题 B. 命题是真命题 C. 命题是真命题 D. 命题是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】命题中，的最大值为，所以为假命题；命题中，判别式小于，所以为真命题，所以命题是真命题，命题是假命题，命题是真命题，命题是假命题．故选C.‎ ‎4. 在中，内角所对的边分别是，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三角形的性质及正弦定理知，‎ ‎，又∵，∴，故选D.‎ ‎5. 的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为成等比数列，所以有，且，由余弦定理推论得，故正确答案是C.‎ ‎6. 设是等差数列的前n项和，已知，则等于（ ）‎ A. 13 B. 35 C. 49 D. 63‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：依题意有，解得，所以.‎ 考点：等差数列的基本概念.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．‎ ‎7. 在由正数组成的等比数列中，若, 则的值为（ ）‎ A. 3 B. 9 C. 27 D. 81‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等比数列的性质可得，，故选C.‎ ‎8. 下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎9. 已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设圆的半径为，则，‎ ‎∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，故所求的轨迹方程为.故选C.‎ ‎10. 已知数列满足，则的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，∴‎ ‎，∴，当时也符合，∴数列的通项公式为.故选C.‎ ‎11. 在△ABC中，若，则△ABC是( 　)‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析： ,‎ ‎，，‎ ‎．是等腰三角形．故A正确．‎ 考点：1正余弦定理；2两角和差公式．‎ ‎12. 若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，即，且，‎ 在同一坐标系中，画出和的图象，‎ 当函数的图象的左支经过点时，‎ 求得，当函数的图象的右支和 的图象相切时，方程组有唯一的解，即有唯一的解，故，解得，所以实数的取值范围是，故选B．‎ 点睛：本题涉及分段函数，二次函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.‎ ‎13. 若满足约束条件则的最小值为 ‎_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最小值，即．‎ ‎【考点】简单的线性规划问题 ‎14. 已知函数，若对任意的都有，则实数a的取值范围是__________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得，即，解得.故填.‎ ‎15. 在中，角所对的边分别为，且满足，则 的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得因为在三角形中，所以即，=，，所以。填1.‎ ‎16. 已知M是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是_________.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】解：由题意知三角形的面积为1，x＞0，y＞0，且x+y=，∴2x+2y=1，‎ ‎=（）（2x+2y）=10+,又x＞0，y＞0, 10+,当x=取等号，故填写18.‎ ‎ ‎ ‎17. 已知命题p：对任意实数x都有恒成立；命题q：关于x的方程有实数根，如果命题p与命题q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：首先求得命题p,q为真命题时的a的取值范围，由与中有且仅有一个为真命题，分情况讨论两命题的真假得到a的取值范围 试题解析：对任意实数都有恒成立 ‎ ；………………………………………………3分 关于的方程有实数根；……………5分 如果正确，且不正确，有；……………8分 如果正确，且不正确，有．…………11分 所以实数的取值范围为……………………………………12分 考点：三个二次关系及复合命题真假的判定 ‎18. 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足．‎ ‎ （1）求角A的大小；‎ ‎ （2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件使用余弦定理，即可求出；（2）先有正弦定理，得，再有余弦定理即可求出.‎ 试题解析：（1）由余弦定理得：，∵∴.‎ ‎（2）由，得，∵，由余弦定理得 解得，∴.‎ 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.‎ ‎19. 某中学初一年级500名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：（1）用频率代替概率，即从分布直方图中找分数少于70的人数的频率；（2）利用条件求出样本中男女生人数，用样本中男女比例估计总体男女比例.‎ 试题解析：（1）根据频率分布直方图可知，‎ 样本中分数不小于70的频率为，‎ 所以样本中分数小于70的频率为.‎ 所以从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4；‎ ‎（2）样本中分数 不小于70的学生人数为；‎ ‎∵样本中分数不小于70的男生人数为，∴样本中的男生人数为，‎ 女生人数为，男生和女生人数的比例为；‎ ‎ ∴ 根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.‎ ‎20. 已知数列的前n项和．‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）令，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据前n项和与通项的关系，即可求出；（2）根据数列的通项公式特点，采用裂项相消法求和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，；‎ 当时，，也符合，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.‎ ‎21. 如图，和所在平面互相垂直，且，‎ ‎ 分别为AC、DC、AD的中点 ‎（1）求证：平面BCG；‎ ‎（2）求三棱锥D-BCG的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（）根据等腰三角形三线合一的性质，利用中点得垂直，再根据中位线的性质即可证出；（2）作出，交的延长线于O，可证明 平面，又G为AD的中点，故可求出三棱锥的高，底面积根据面积公式求出即可.‎ 试题解析：（1）由已知得，是的中位线，故，‎ 则可转化为证明平面BCG．易证，‎ 则有，则在等腰三角形和等腰三角形中，是中点，‎ 故，．从而平面BCG，进而平面BCG；‎ ‎（2）在平面内，作，交的延长线于O，由平面 平面，‎ 知 平面.又∵ G为AD的中点，因此G到平面BCD的距离 是AO长度的一半；在中，；‎ ‎∴‎ 点睛：本题涉及立体几何中线面平行的关系，面面垂直，线面垂直，线线垂直，属于中档题，处理线面平行时，一般有两类方法，一是找两条线平行，一是找两个面平行；在证明垂直问题时，一般考虑三线合一，菱形的对角线，矩形的邻边等，线面垂直要注意说明两条线是相交直线，证明平面垂直时，一般证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.‎ ‎22. 已知等差数列的前n项和，且，数列满足 ．‎ ‎ （1）求数列，的通项公式；‎ ‎ （2）记为数列的前n项和，，试问是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1），；（2）存在最大值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件解方程即可求出等差数列的通项公式，再由条件构造等比数列求出；（2）采用错位相乘法求出，代入)，利用作差法判断其增减性，即可求出其最值.‎ 试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，‎ 则 由题意得，∴数列是等比数列，且首项和公比都是，.‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 两式相减得：，；‎ ‎；‎ 当时，；当时，；‎ ‎ ∴存在最大值为.‎ 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．‎ ‎ ‎ ‎ ‎