2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（　　）‎ A．y=﹣1 B．x=﹣1 C． D．‎ ‎2．（5分）下列说法正确的是（　　）‎ A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0‎ B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题 C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件 D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0‎ ‎3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（　　）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 ‎4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（　　）‎ A．92 B．576 C．192 D．384‎ ‎8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（　　）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（　　）‎ A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142‎ ‎10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（　　）‎ A．﹣4 B． C．4 D．6‎ ‎12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道 I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道 II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道 I和 II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道 I和 II的长轴长，给出下列式子：‎ ‎①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（　　）‎ A．②③ B．①④ C．①③ D．②④‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为　 　．‎ ‎14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为　 　．‎ ‎15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是　 　．‎ ‎16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．‎ ‎（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：‎ ‎（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；‎ ‎（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；‎ ‎（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[‎ ‎170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．‎ ‎20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：‎ ‎（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计 捐款超过500元 ‎30‎ ‎6‎ 捐款不超过500元 合计 附：临界值表参考公式：．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎21．（12分）已知椭圆T：的离心率为，若椭圆T与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T内的弧长为π．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．‎ ‎①求直线AB的斜率；‎ ‎②求四边形ABCD面积的取值范围．‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．‎ ‎（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（　　）‎ A．y=﹣1 B．x=﹣1 C． D．‎ ‎【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．‎ ‎【解答】解：抛物线x2=2y的准线方程为：y=﹣，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）下列说法正确的是（　　）‎ A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0‎ B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题 C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件 D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0‎ ‎【分析】直接写出命题的否定判断A；由互为逆否命题的两命题共真假判断B；举例说明C错误；先写出原命题的否命题判断D．‎ ‎【解答】解：对于A，命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故A错误；‎ 对于B，命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1的逆否命题为：‎ 已知x，y∈R，若x=2且y=1，则x+y=3，是真命题，则原命题是真命题，故B正确；‎ 对于C，设x∈R，由2+x≥0，得x≥﹣2，当x=4时，不满足﹣1≤x≤‎ ‎3，故C错误；‎ 对于D，∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy≠0，则x≠0，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（　　）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 ‎【分析】先验证点点（﹣2，﹣4）在抛物线y2=﹣8x上，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知点（﹣2，﹣4）在抛物线y2=﹣8x上，‎ 故过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点时只能是：‎ i）过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x相切，‎ ii）过点（﹣2，﹣4）且平行于对称轴．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，双曲线的渐近线方程为ax±by=0．因为一个焦点到一条渐近线的距离为，由点到直线的距离公式建立关于a、b、c的等式，由此即可得出该双曲线的标准离心率．‎ ‎【解答】解：∵双曲线 ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即ax±by=0‎ ‎∵双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为，‎ ‎∴右焦点F（0，c）到渐近线ax±by=0的距离d==，‎ 解之得b=，即，化简得c2=a2‎ 因此，该双曲线的标准离心率为e==‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题给出双曲线的一个焦点到渐近线的距离等于，求双曲线的离心率，着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设事件A表示“其中一枚为5角硬币”，事件B表示“另一枚也是5角硬币”，则P（A）=1﹣=，P（AB）==，由此能求出其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率．‎ ‎【解答】解：20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，‎ 设事件A表示“其中一枚为5角硬币”，事件B表示“另一枚也是5角硬币”，‎ 则P（A）=1﹣=，‎ P（AB）==，‎ ‎∴其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为：‎ P（B|A）===．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法及应用，考查条件概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】小球落入A袋中的概率为P（A）=1﹣P（B），由此利用对立事件概率计算公式能求出小球落入A袋中的概率．‎ ‎【解答】解：∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，‎ 小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，‎ 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，‎ 小球落入A袋中的概率为：‎ P（A）=1﹣P（B）‎ ‎=1﹣（）‎ ‎=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（　　）‎ A．92 B．576 C．192 D．384‎ ‎【分析】（x2+3x+2）6 表示6个因式开式（x2+3x+2）的乘积，其中一个因式取3x，其余的都取2，可得展开式中x的系数．‎ ‎【解答】解：（x2+3x+2）6 表示6个因式开式（x2+3x+2）的乘积，‎ 其中一个因式取3x，其余的都取2，可得展开式中x的系数为•3•25=576，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，幂的意义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；‎ ‎【解答】解：设N（x0，y0），由题意可得M（0，y0），‎ 设P（x，y），由点P满足，‎ 可得（x，y﹣y0）=（x0，0），‎ 可得x=x0，y=y0，‎ 即有x0=2x，y0=y，‎ 代入圆C：x2+y2=8，可得．‎ 即有点P的轨迹方程为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（　　）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（　　）‎ A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142‎ ‎【分析】我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的x，y，z，求x2+y2+z2＜1的概率，计算x2+y2+z2＜1发生的概率为，代入几何概型公式，即可得到答案 ‎【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为π×13×=，‎ 当输出结果为524时，i=1001，m=527，x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，‎ ‎∴=，‎ 即π=3.144，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图和伪代码，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），‎ ‎∵直线l倾斜角为30°，‎ ‎∴直线l的方程为：y﹣0=（x﹣）．‎ 设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ ‎∴|AF|=x1+，|BF|=x2+，‎ 联立方程组，消去y并整理，得4x2﹣28px+p2=0，‎ 解得x1=p，x2=p，或x2=p，x1=p，‎ 当x1=p，x2=p时，‎ ‎∴|AF|=x1+=（4+2）p，|BF|=x2+=（4﹣2）p，‎ ‎∴|AF|：|BF|==7+4，‎ 当x2=p，x1=p时，‎ ‎∴|AF|：|BF|==7﹣4，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（　　）‎ A．﹣4 B． C．4 D．6‎ ‎【分析】利用“点差法”即可求得=2kOD，=2kOE，=2kOF．即可求得答案．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．‎ 由A，B在双曲线，则，相减可得=×=×=×，‎ ‎∴kAB=，即=2kOD．同理可得=2kOE，=2kOF．‎ ‎∴=2（kOD+kOE+kOF）=2×（﹣2）=﹣4．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查“点差法”的应用，考查中点坐标公式及直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道 I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道 II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道 I和 II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道 I和 II的长轴长，给出下列式子：‎ ‎①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（　　）‎ A．②③ B．①④ C．①③ D．②④‎ ‎【分析】根据图象可知a2＞a1、c2＞c1，从而a1+c1＜a2+c2；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2；进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由图可知a2＞a1、c2＞c1，从而a1+c1＜a2+c2；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2∴①正确，②不正确．‎ ‎∴a1+c2=a2+c1，∴（a1+c2）2=（a2+c1）2，‎ 即a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，‎ ‎∴b12+2a1c2=b22+2a2c1，‎ ‎∵b1＜b2，∴c1a2＜a1c2，∴③不正确；‎ 此时④，∴④正确．‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．以及不等式的性质的应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为　91　．‎ ‎【分析】求出样本间隔，结合系统抽样的性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：样本间隔为2000÷100=20，则抽出的号码为11+20（x﹣1），‎ 则第五组号码为11+20×4=91，‎ 故答案为：91．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据定义是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为　　．‎ ‎【分析】求出椭圆的焦点，即有双曲线的c，再由a，b，c的关系和渐近线方程，得到a，b的方程，解得a，b，即可得到双曲线方程．‎ ‎【解答】解：椭圆的焦点为（±5，0），‎ 双曲线的焦点坐标在x轴上．‎ 则双曲线的c=5，即a2+b2=25，‎ 由双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，‎ 则3b=4a，‎ 解得，a=3，b=4．‎ 则双曲线的方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】‎ 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是　　．‎ ‎【分析】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b）、=（﹣c，﹣b），由∠B1PB2为钝角可得﹣ac+b2＞0，把b2=a2﹣c2代入不等式，从而可求椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b）、=（﹣c，﹣b），‎ 由∠B1PB2为钝角知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，‎ 把b2=a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，‎ 即e2+e﹣1＞0，解得，‎ 又0＜e＜1，所以0＜e＜，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是利用与的数量积大于0，建立不等式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=　﹣8　．‎ ‎【分析】存在满足条件的点P（0，m），直线l：y=tx+m，有，消y可得x2+16tx+16m=0设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，化简求解即可 ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 存在满足条件的点P（0，m），直线l：y=tx+m，有，消y可得x2+16tx+16m=0，‎ 由△=162t2﹣4×16m＞0可得4t﹣m＞0‎ ‎∴x1+x2=﹣16t，x1x2=16m，‎ ‎∴|AP|2=x12+（y1﹣m）2=x12+t2x12=（1+t2）x12，‎ ‎|BP|2=x22+（y2﹣m）2=（1+t2）x22，‎ ‎∴=+=•=•‎ 当m=﹣8时，为定值，‎ 故答案为：﹣8．‎ ‎【点评】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．‎ ‎（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出全称命题是真命题，二次函数的性质，然后求解a的范围；‎ ‎（2）求出命题p是真命题时的a的范围；然后利用复合命题推出一真一假，然后求解a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）若q为真命题时：（a+1）（a﹣2）＜0，∴﹣1＜a＜2，∴a∈（﹣1，2）；‎ ‎（2）若p为真命题时：a≤（x2）minx∈[1，2]，∴a≤1，‎ p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，‎ 即或，‎ 解得1＜a＜2或a≤﹣1，∴a的范围为（1，2）∪（﹣∞，﹣1]．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：‎ ‎（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；‎ ‎（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；‎ ‎（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（1）利用中位数求解即可．‎ ‎（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，求解这2名男生至少有1人来自第二组的概率即可；‎ ‎（3）X的可能取值为0，1，2，3求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．‎ ‎【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，‎ 第二组学生身高的中位数为；‎ ‎（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，，‎ ‎∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；‎ ‎（3）X的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，分布列以及期望的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）转化命题为动点M到（4，0）的距离与它到直线x=﹣4的距离相等，利用抛物线的定义求解抛物线方程即可．‎ ‎（2）法一：直线AB的斜率显然不能为0，设直线AB的方程为x=ty+m（m≠0）A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立方程，消去x，利用△＞0以及韦达定理，通过向量的数量积，转化求解即可．‎ 法二：假设存在定点，设定点P（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）（y1y2≠0），通过，得到x1x2+y1y2=0，利用平方差法转化求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知动点M到（4，0）的距离比它到直线l：x=﹣6的距离小2，‎ 即动点M到（4，0）的距离与它到直线x=﹣4的距离相等，‎ 由抛物线定义可知动点M的轨迹为以（4，0）为焦点的抛物线，‎ 则点M的轨迹方程为y2=16x；‎ ‎（2）法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，‎ 设直线AB的方程为x=ty+m（m≠0）A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立方程，消去x，可得y2﹣16ty﹣16m=0，‎ ‎△＞0即4t2+m＞0，y1+y2=16t，y1y2=﹣16m，，‎ 由题意知OA⊥OB，即，则x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴m2﹣16m=0，∵m≠0，∴m=16，‎ ‎∴直线AB的方程为x=ty+16，‎ ‎∴直线AB过定点，且定点坐标为（16，0）；‎ 法二：假设存在定点，设定点P（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）（y1y2≠0），‎ ‎∵OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2=0，‎ 又∵A、B在抛物线上，即代入上式，可得，∴‎ y1y2=﹣256，‎ 又∵A、B、P三点共线，∴，∴，‎ ‎∴假设成立，直线AB经过x轴的定点，坐标为（16，0）．‎ ‎【点评】本题考查曲线的轨迹方程的求法，直线恒过得到问题的成立方法，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：‎ ‎（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ 合计 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 捐款超过500元 ‎30‎ 捐款不超过500元 ‎6‎ 合计 附：临界值表参考公式：．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【分析】（1）ξ的可能取值为2000，4000，6000，8000，10000，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（2）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）由题意可知P（x=1000）=0.3，P（x=3000）=0.5，P（x=5000）=0.2，‎ ξ的所有可能取值为2000，4000，6000，8000，10000，，‎ P（ξ=10000）=0.22=0.04，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎2000‎ ‎4000‎ ‎6000‎ ‎8000‎ ‎10000‎ P ‎0.09‎ ‎0.30‎ ‎0.37‎ ‎0.20‎ ‎0.04‎ E（ξ）=2000×0.09+4000×0.30+6000×0.37+8000×0.20+10000×0.04=5600元 ‎（2）‎ 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计 捐款超过500元 ‎30‎ ‎4‎ ‎34‎ 捐款不超过500元 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 合计 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查求ξ的分布列和数学期望，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆T：的离心率为，若椭圆T与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T内的弧长为π．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．‎ ‎①求直线AB的斜率；‎ ‎②求四边形ABCD面积的取值范围．‎ ‎【分析】（1）推导出M（﹣1，），N（﹣1，﹣），由此利用待定系数法能求出a=2，b=1．‎ ‎（2）①由（Ⅰ）得椭圆方程为为，设直线AB方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出k．‎ ‎②利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，由此能求出四边形ABCD面积的最范围．‎ ‎【解答】解：（1）由圆P在椭圆T内的弧长为，则该弧所对的圆心角为，‎ M、N的坐标分别为，‎ 设c2=a2+b2，由可得，‎ ‎∴a2=4b2，‎ 则椭圆方程可记为+=1，‎ 将点（﹣1，）代入得，‎ ‎∴b2=1，a2=4，‎ ‎∵a＞b＞0，‎ ‎∴a=2，b=1；‎ ‎（2）①由（1）知椭圆方程可记为，‎ 由题意知直线AB的斜率显然存在，设直线AB的方程为：y=kx+m，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ 由△＞0，即16（1+4k2﹣m2）＞0，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即x1x2=4y1y2，‎ ‎∴4k2=1，‎ ‎∴k=±；‎ ‎②，‎ O到直线AB的距离，‎ 四边形ABCD面积，‎ ‎∵m2∈（0，1）∪（1，2），‎ ‎∴四边形ABCD面积S∈（0，4）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线和椭圆的位置关系，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用，属于难题 ‎　‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．‎ ‎（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．‎ ‎【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．‎ ‎（2）利用极坐标方程和点到直线的距离公式求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）设点P的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0），点M的极坐标（ρ1，θ）（ρ1＞0），‎ 由题意可知，‎ 由|OP||OM|=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ＞0），‎ ‎∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1（y≠0）；‎ ‎（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l过原点且倾角为α，‎ 则直线l极坐标方程为θ=α，联立，‎ ‎∴A（2sinα，α），‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或，‎ ‎∴直线l得斜率为或；‎ 法二：由题意 分析可知直线l的斜率一定存在，且由直线l的参数方程可得，‎ 直线l过原点，设直线l的普通方程为y=kx，‎ ‎∴C2到l的距离，‎ 可得，‎ ‎∴直线l得斜率为或．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．‎ ‎　‎