数学卷·2019届宁夏银川九中高二上学期第一次月考数学试题（解析版）x

数学卷·2019届宁夏银川九中高二上学期第一次月考数学试题（解析版）x

银川九中2017-2018学年度第一学期月考试卷 高二年级数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题只有一项是符合题目要求的，每小题5分 ‎1. 函数的定义域是( )‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的定义域应满足 ，解得 或 ‎ 故选A ‎2. 设，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，则不成立，故答案A错误；若，则不成立，故答案B错误；因为，所以，则由不等式的性质对不等式两边同乘以可得 ，即，故答案C 正确；若，则答案D不正确，应选答案C。‎ ‎3. 在等比数列中，若，则的前项和等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知等比数列中，若， 设公比为 ，解得 则此数列的前5项的和 ‎ 故选C ‎4. 若实数满足，则的最大值为 ( )‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出约束条件所表示的可行域，如图所示，‎ 解方程组，解得，‎ 由题意可知点到原点的距离的平方最大，所以,‎ 所以的最大值为，故选D.‎ ‎5. 数列前项的和为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】数列前项的和故选B．‎ ‎6. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 为等比数列，则 也成等比数列 由 ，令 则 ‎ 则 则 ‎ 则 ‎ 则 ‎ 故选C ‎7. 不等式 的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式 解得或 故选D ‎8. 在平面直角坐标系中，已知第一象限的点在直线上，则 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵第一象限的点在直线上， ∴，且，即，‎ ‎∴.‎ 当且仅当，即时，的最小值为，故选B.‎ 点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎9. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎10. 已知数列的通项，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由已知条件可推导出数列｛｝的通项公式，由此能求出的值 故选D 考点：1.数列求和；2.分类讨论思想。‎ ‎11. 若关于的不等式的解集为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎12. 定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意得的前项和 ‎，,故选C.‎ 考点：与的关系；裂项相消数列求和.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了的关系；裂项相消数列求和等知识.用裂项相消法求和应注意的问题:利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．本题难度中等.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分）‎ ‎13. 设是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是_____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设等差数列的公差为 ‎ ‎∵前三项的积为48即 解得 ‎ ‎∵数列 是单调递增的等差数列， ‎ 故答案为2‎ ‎14. 设, 若是与的等比中项，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知, 是与的等比中项，则 ‎ 则 ‎ ，当且仅当时等号成立 故答案为2‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．‎ ‎15. 将全体正整数排成一个三角形数阵： ‎ ‎ ‎ 按照以上的排列规律，第行第个数是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数.由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了个数．所以第n行从左向右的第2个数为．‎ 所以n=20时，第20行从左向右的第2个数为192．‎ 故答案为：192．‎ 考点：归纳推理；等差数列的前n项和.‎ ‎16. 若实数满足不等式组，且的最小值等于，则实数的值等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：三直线交点为，因此直线过点B时取最小值，即，选A.‎ 考点：线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分）‎ ‎17. （1）若不等式的解集为,求的值；‎ ‎（2）若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三个二次关系建立a的方程，解之即可；（2）讨论二次项系数，抓住抛物线的开口及判别式，问题迎刃而解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题可知 ，所以； ‎ ‎（2）当时显然成立。 ‎ 当时，则有. ‎ 综上有，。 ‎ ‎18. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.‎ ‎（1）若，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2） 或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为 ‎，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得 ，，即可得到所求通项公式； （2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．‎ 试题解析：（1）设的公差为d，的公比为q，则,.由得 d+q=3.①‎ ‎（1）由得②‎ 联立①和②解得（舍去），‎ 因此的通项公式 ‎（2）由得.‎ 解得 当时，由①得，则.‎ 当时，由①得，则.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简整理的运算能力，其中求出公差和公比是解题的关键，．‎ ‎19. 已知等比数列的前项和为．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析;由已知，根据等比数列的前项和公式，列出关于的方程，求解，则的通项公式可求；‎ ‎（2）由（1），所以．，则利用等差数列的前项和公式 可求数列的前项和 试题解析：(1)，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 化简得：，．‎ 所以数列的通项公式为：．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以．‎ 所以数列的前项和．‎ ‎20. 某货轮匀速行驶在相距海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为），其他费用为每小时元，且该货轮的最大航行速度为海里/小时．‎ ‎（1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；‎ ‎（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）运输成本由燃料费用和其他费用组成．每小时的燃料费用为 ‎, 其他费用为每小时800元，一共花费小时，注意列定义域，（2）根据基本不等式求最值，注意等于号取法.‎ 试题解析：解：（1）由题意，每小时的燃料费用为，从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本，‎ 故所求的函数为 ．‎ ‎（2）由（1）得 ，‎ 当且仅当，即时取等号．‎ 故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．‎ ‎21. 已知数列满足，数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：1）由已知数列满足，，则数列是首项为1，公差为2 的等差数列，由等差数列的通项公式易得数列的通项；对于数列。令 ，‎ 代入．，求得 当时利用 ，可得即数列是首项为1，公差为 的等比数列，由等必数列的通项公式易得数列的通项.‎ 试题解析：（1）由已知数列满足，，则数列是首项为1，公差为2 的等差数列，则其通项公式 ；‎ 对于数列。令，代入．，求得，当时，由 ，两式相减，可得；即数列是首项为1，公差为 的等比数列，则其通项公式 ；‎ ‎（2） ‎ ‎ ．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．‎ ‎22. 数列中，.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）若 ，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由等比数列的定义可证得数列为等比数列，首项为，公比为，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是公比为2的等比数列.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ 由错位相减法计算可知.‎ 考点：1、等比数列定义；2、数列求和．‎ ‎【方法点晴】证明或判断等比数列的常用方法有：定义法、等比中项法、通项公式法、前项和法.本题用的是定义法.数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、分组转化法、裂项相消法、乘公比错位相减法、合并项求和法.本题主要考查等比数列的判断以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．‎