高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题检测（三）

高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题检测（三）

专题检测（三）‎ ‎[时间120分钟，满分150分]‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是 A．15　　　　 B．30‎ C．31　　　　 D．64‎ 解析　由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12，‎ 因为a7＋a9＝16，a4＝1，‎ 所以a12＝15.故选A.‎ 答案　A ‎2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝11，S12＝186，则a8＝‎ A．18 B．20‎ C．21 D．22‎ 解析　记数列{an}的公差为d，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 则a8＝a1＋7d＝－1＋21＝20.‎ 答案　B ‎3．(2012·皖北四市联考)已知数列{an}为等比数列，且a1＝4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn＋2}也是等比数列，则q＝‎ A．2 B．－2‎ C．3 D．－3‎ 解析　因为数列{Sn＋2}是等比数列，‎ 所以(S1＋2)(S3＋2)＝(S2＋2)2，‎ 即6(6＋4q＋4q2)＝(6＋4q)2，‎ 即q(q－3)＝0，‎ ‎∵q≠0，∴q＝3.‎ 答案　C ‎4．(2012·临川模拟)已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6＋a7＋a8等于 A．18 B．12‎ C．9 D．6‎ 解析　S13＝13a7＝39，∴a7＝3，‎ ‎∴a6＋a7＋a8＝3a7＝9.‎ 答案　C ‎5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为 A．4 B．5‎ C. D. 解析　∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，‎ a3＝S3－S2＝4t，‎ 由{an}是等比数列，知2＝×4t，‎ 显然t≠0，解得t＝5.‎ 答案　B ‎6．观察下图：‎ ‎1‎ ‎2　3　4‎ ‎3　4　5　6　7‎ ‎4　5　6　7　8　9　10‎ ‎…………‎ 则第(　　)行的各数之和等于2 0092.‎ A. 2 010 B．2 009‎ C．1 006 D．1 005‎ 解析　由题设图知，第一行各数和为1；‎ 第二行各数和为9＝32；‎ 第三行各数和为25＝52；‎ 第四行各数和为49＝72；…，‎ ‎∴第n行各数和为(2n－1)2，令2n－1＝2 009，解得n＝1 005.‎ 答案　D ‎7．(2012·济南模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和，‎8a2＋a5＝0，则＝‎ A．11 B．5‎ C．－8 D．－11‎ 解析　8a2＋a5＝a1(8q＋q4)＝a1q(8＋q3)＝0.‎ ‎∵a1q≠0，∴8＋q3＝0，‎ 即q＝－2，∴＝＝－11.‎ 答案　D ‎8．(2012·枣庄八中高三模拟)已知等比数列{an}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为 A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 解析　由题意得a1＋a3＋…＝85，a2＋a4＋…＝170，‎ 所以数列{an}的公比q＝2，‎ 由数列{an}的前n项和Sn＝，‎ 得85＋170＝，解得n＝8.‎ 答案　C ‎9．(2012·宝鸡中学月考)已知正项等比数列{an}满足：a2 012＝a2 011＋‎2a2 010，且＝‎4a1，则6的最小值为 A. B．2‎ C．4 D．6‎ 解析　记数列{an}的公比为q，‎ 由题意知a2 010q2＝a2 010q＋2a2 010，‎ 化简得q2－q－2＝0，所以q＝－1(舍去)或q＝2，‎ 又由已知条件＝4a1，‎ 可得aqm＋n－2＝16a，‎ 所以2m＋n－2＝24，‎ 故m＋n＝6，所以6＝(m＋n)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即m＝n＝3时取“＝”．‎ 答案　C ‎10．(2012·海淀二模)若f(n)为n2＋1(n∈N＋)的各位数字之和，如：142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f(14)＝17；记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N＋，则f2 012(8)＝‎ A．1 B．3‎ C．5 D．7‎ 解析　由题意知f1(8)＝11，f2(8)＝5，f3(8)＝8，‎ f4(8)＝11，f5(8)＝5，f6(8)＝8，…，‎ ‎∴f2 012(8)＝f2(8)＝5.‎ 答案　C ‎11．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是 A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)‎ 解析　∵等比数列{an}中，a2＝1，‎ ‎∴S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.‎ 当公比q＞0时，S3＝1＋q＋≥1＋2 ＝3，‎ 当公比q＜0时，S3＝1－ ‎≤1－2 ＝－1，‎ ‎∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．‎ 答案　D ‎12．(2012·大庆模拟)已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N＋.下列命题中为真命题的是 A．若∀n∈N＋，总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列 B．若∀n∈N总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列 C．若∀n∈N＋总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列 D．若∀n∈N＋总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列 解析　若cn∥bn，则＝，‎ ‎∴an＝··…··a1＝···…··a1＝na1，‎ ‎∴数列{an}是等差数列．‎ 若cn⊥bn，则cn·bn＝nan＋(n＋1)an＋1＝0，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴an＝··…··a1‎ ‎＝··…···a1‎ ‎＝a1，‎ ‎∴数列{an}不是等比数列，故选A.‎ 答案　A 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．(2012·石景山一模)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a4＋ak＝0，则k＝________.‎ 解析　∵S9＝S4，∴9a1＋×9×8×d＝4a1＋×4×3×d，‎ 即a1＝－6d，a4＋ak＝2a1＋(k＋2)d ‎＝－12d＋(k＋2)d＝0.‎ ‎∵d≠0，∴k＝10.‎ 答案　10‎ ‎14．(2012·廊坊模拟)已知cos ＝；‎ cos cos ＝；‎ cos cos cos ＝，‎ ‎…‎ 根据以上等式，可猜想出一般结论是________．‎ 解析　cos ＝cos ＝；‎ cos cos ＝cos cos ＝；‎ cos cos cos ‎＝cos cos cos ＝；‎ ‎…‎ ‎∴cos cos …cos ＝，n∈N＋.‎ 答案　cos cos …cos ＝，n∈N＋‎ ‎15．某钢厂的年产量由2000年的75万吨增加到2010年的90万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2020年的年产量将达到________万吨．‎ 解析　设年增长率为x，则由条件可知，各年产量成等比数列，记为{an}，‎ 设2001年产量为a1＝75(1＋x)，‎ 则a10＝75·(1＋x)10＝90，‎ ‎∴(1＋x)10＝，‎ 则2020年的年产量为a20＝a10(1＋x)10‎ ‎＝90(1＋x)10＝108(万吨)．‎ 答案　108‎ ‎16．(2012·盐城模拟)已知a＝(m，n)，b＝(p，q)，定义a⊗b＝mn－pq，下列等式中：①a⊗a＝0；②a⊗b＝b⊗a；③(a＋b)⊗a＝a⊗a＋b⊗a；④(a⊗b)2＋(a·b)2＝(m2＋q2)(n2＋p2)．一定成立的是________(填上所有正确等式的序号)．‎ 解析　①a⊗a＝mn－mn＝0，故成立；‎ ‎②a⊗b＝mn－pq，b⊗a＝pq－mn，不一定成立；‎ ‎③(a＋b)⊗a＝(m＋p)(n＋p)－mn＝(m＋n)p＋p2，‎ a⊗a＋b⊗a＝0＋pq－mn＝pq－mn，故③不一定成立；‎ ‎④(a⊗b)2＋(a，b)2＝(mn－pq)2＋(mp＋nq)2‎ ‎＝m2n2＋p2q＋m2p2＋n2q2‎ ‎＝(m2＋q2)(n2＋p2)，④成立．‎ 答案　①④‎ 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(12分)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项；‎ ‎(2)求数列{2an}的前n项和Sn.‎ 解析　(1)由题设知公差d≠0，‎ 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，‎ 解得d＝1，d＝0(舍去)，‎ 故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.‎ ‎(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列的前n项和公式得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.‎ ‎18．(12分)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由于a3＝7，a5＋a7＝26，‎ 所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，‎ 解得a1＝3，d＝2.‎ 由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，‎ 所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．‎ ‎(2)因为an＝2n＋1，‎ 所以a－1＝4n(n＋1)，‎ 因此bn＝＝.‎ 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝＝，‎ 所以数列{bn}的前n项和Tn＝.‎ ‎19．(12分)(2012·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝(x≠－2，x∈R)，数列{an}满足a1＝t(t≠－2，t∈R)，an＋1＝f(an)(n∈N)．‎ ‎(1)若数列{an}是常数列，求t的值；‎ ‎(2)当a1＝2时，记bn＝(n∈N＋)，证明：数列{bn}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．‎ 解析　(1)∵数列{an}是常数列，∴an＋1＝an＝t，‎ 即t＝，解得t＝－1，或t＝1.‎ ‎∴所求实数t的值是1或－1.‎ ‎(2)证明　∵a1＝2，bn＝，‎ ‎∴b1＝3，bn＋1＝＝＝3，‎ 即bn＋1＝3bn(n∈N＋)．‎ ‎∴数列{bn}是以b1＝3为首项，公比为q＝3的等比数列，于是bn＝3×3n－1＝3n(n∈N＋)．‎ 由bn＝(n∈N＋)，即＝3n，解得an＝.‎ ‎∴所求的通项公式an＝(n∈N＋)．‎ ‎20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn＝4－(n∈N＋)，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1，a2(b2－b1)＝a1.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)∵数列{an}的前n项和为Sn＝4－，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝4－－4＋＝(n≥2)，‎ 又a1＝S1＝4－1＝3(n＝1)，也适合上式，‎ ‎∴an＝(n∈N＋)，b1＝a1＝3，‎ a2(b2－b1)＝a1⇒(b2－b1)＝3，‎ ‎∴b2－b1＝4，数列{bn}为等差数列，‎ ‎∴bn＝b1＋(n－1)4＝4n－1.‎ ‎(2)设cn＝anbn＝，‎ ‎∴Tn＝＋＋…＋＋，①‎ ‎4Tn＝4·＋＋＋…＋＋，②‎ ‎②－①，得 ‎3Tn＝4×9＋3×4－，‎ ‎∴Tn＝－.‎ ‎21．(12分)(2012·益阳模拟)已知某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，且每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．‎ ‎(1)到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？‎ ‎(2)到哪一年底，该年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?‎ ‎(参考数据：1.083≈1.26,1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)‎ 解析　(1)设中低价房面积形成数列{an}，‎ 由题意可知，{an}是等差数列，‎ 其中a1＝250，d＝50，‎ 则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n，‎ 令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，‎ 而n是正整数，∴n≥10.‎ 到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．‎ ‎(2)设新建住房面积形成数列{bn}，‎ 由题意可知{bn}是等比数列，‎ 其中b1＝400，q＝1.08，‎ 则bn＝400·(1.08)n－1.‎ 由题意可知an＞0.85bn，‎ 有250＋(n－1)·50＞400·(1.08)n－1·0.85，‎ 即20＋5n＞34(1.08)n－1，‎ 即4＋n＞6.8(1.08)n－1‎ 经检验，满足上述不等式的最小正整数n＝6.‎ 到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.‎ ‎22．(14分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－.‎ ‎(1)设c＝，bn＝，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．‎ 解析　(1)an＋1－2＝－－2＝，‎ ＝＝＋2，‎ 即bn＋1＝4bn＋2.‎ bn＋1＋＝4，‎ 又a1＝1，故b1＝＝－1，‎ 所以是首项为－，‎ 公比为4的等比数列，‎ bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.‎ ‎(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1得c＞2.‎ 用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.‎ ‎(i)当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；‎ ‎(ii)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，ak＜ak＋1，‎ 则当n＝k＋1时，ak＋2＝c－＞c－＝ak＋1.‎ 故由(i)(ii)知当c＞2时，an＜an＋1.‎ 当c＞2时，令α＝，‎ 由an＋＜an＋1＋＝c得an＜α.‎ 当2＜c≤时，an＜α≤3.‎ 当c＞时，α＞3，且1≤an＜α，‎ 于是α－an＋1＝(α－an)≤(α－an)，‎ α－an＋1≤(α－1)．‎ 当n＞log3时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3.‎ 因此c＞不符合要求．‎ 所以c的取值范围是.‎