2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校（师大附中分校）高二上学期开学考试数学（理）试题 Word版
2017-2018 学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校（师
大附中分校）高二上学期开学考试数学试题（理）
说明：满分：150 分 时间：120 分钟
一、选择题：（每小题 5 分，满分 60 分）
1．不等式(x＋3)2＜1 的解集是( )
A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4} C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}
2．在等差数列{an}中，若 a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则 3a9－a13 的值为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
3. 过点 2,3A 且垂直于直线 2 5 0x y 的直线方程为（ ）
A． 2 4 0x y B． 2 7 0x y C． 2 3 0x y D． 2 5 0x y
4.下列不等式中成立的是( )
A.若 a>b，则 ac2>bc2 B.若 a>b，则 a2>b2
C.若 a>b，c>d，则 a-c>b-d D.若 a
5.已知 a =（3，4），b =（5，12）， a 与b 则夹角的余弦为（ ）
A．
65
63 B． 65 C．
5
13 D． 13
6.若 ,x y 是正数，且 1 9 1x y
，则 xy 有 （ ）
A．最大值36 B．最小值 1
36
C．最小值36 D．最大值 1
36
7．已知{an}是首项为 1 的等比数列，Sn 是{an}的前 n 项和，且 9S3＝S6，则数列{1
an
}的前 5 项和
为( )
A.15
8
或 5 B.31
16
或 5 C. 15
8
D. 31
16
8. 已知点 ),( yxP 在不等式组
022
,01
,02
yx
y
x
表示的平面区域上运动，则 yxz 的取值范
围是（ ）
A． ]1,2[ B． ]1,2[ C． ]2,1[ D． ]2,1[
9. 若直线 2 0x y a 与圆 2 21 1x y 有公共点，则实数 a 的取值范围（ ）
A． 2 5 2 5a B． 2 5 2 5a
C． 5 5a D． 5 5a
10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A. 1
6
B. 1
3
C. 1
2
D.1
11．等边 ABC 的边长为 1,设 CACbBCaAB ,, ,则 accbba （ ）
A．
2
3 B．
2
1 C．
2
3 D．
2
1
12.在封闭的直三棱柱 1 1 1ABC A B C 内有一个体积为V的球，若 AB BC ， 6AB ， 8BC ，
1 3AA ，则 V 的最大值是（ ）
A.4π B. 9
2
C.6π D. 32
3
二、填空题：（每小题 5 分，满分 20 分）
13. 以正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB、AD、AA1 所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且
正方体的棱长为一个单位长度，则棱 CC1 中点坐标为 .
14.四面体 S-ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直
线 EF 与 SA 所成的角等于 .
15．数列{an}满足 a1＝1，且对任意的 m，n∈N*都有 am＋n＝am＋an＋mn，则 1
a1
＋ 1
a2
＋ 1
a3
＋…＋ 1
a2 012
＝________.
16. , 是两个平面， ,m n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果 , , / /m n m n ，那么 .
（2）如果 , / /m n ，那么 m n .
（3）如果 / / ,m ，那么 / /m .
（4）如果 / / , / /m n ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.
其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号）
三、解答题：（共 6 道题，17 题 10 分，其余均 12 分）
17.（10 分）若不等式 x2－2x＋k2－1≥0 对一切实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围．
18．（12 分）已知平面上三个向量 cba ,, ，其中 )2,1(a ，
（1）若 52c ，且 a ∥ c ，求 c 的坐标；
（2）若
2
5b ，且 )2()2( baba ，求 a 与 b 夹角的余弦值.
19.（12 分）数列{an}满足 a1＝1， 1
2an＋1
＝ 1
2an
＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列
1
an 是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．
20．（12 分）已知以点 A(－1，2)为圆心的圆与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切，过点 B(－2，0)
的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点．
(1)求圆 A 的方程；
(2)当|MN|＝2 19时，求直线 l 的方程．
21. （12 分） 如图所示，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，DB＝BC，DB⊥AC，点 M 是棱 BB1 上的
一点．
(1) 求证：B1D1 // 平面 A1BD；
(2) 求证：MD⊥AC；
(3) 试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.
22.（12 分）设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
2017-2018 年度高二上学期开学考试
数学试题（理）答案
一、CCADA CDDBA BB
二、13. （1，1， 1
2
） 14. 45° 15. 4 024
2 013 16. ②③④
三、
17. （10 分）解：若 x2－2x＋k2－1≥0 对一切实数 x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(k2－1)≤0⇒k2
≥2⇒k≥ 2或 k≤－ 2.即实数 k 的取值范围是(－∞，－ 2]∪[ 2，＋∞)．
18. （12 分）解：（1）设 ),( yxc ，由条件有
xy
yx
2
2022
，解得：
4
2
y
x ，或
4
2
y
x ，
所以： )4,2(c ，或 )4,2( c 。
（ 2 ） 设 ba, 的 夹 角 为 ， 由 )2()2( baba ， 知 0)2()2( baba ， 即 ：
0232
22
bbaa ，所以：
6
5)(3
2 22
abba ，
15
5
2
55
6
5
cos
ba
ba
19. （12 分）解：(1)证明：由 1
2an＋1
＝ 1
2an
＋1，可得 1
an＋1
－1
an
＝2，
∴数列
1
an 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列．
(2)由(1)知1
an
＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝ 1
2n－1
.
20. （12 分）解：(1)设圆 A 的半径为 r，因为圆 A 与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切，
所以 r＝|－1＋4＋7|
5
＝2 5，所以圆 A 的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，则直线 l 的方程 x＝－2，
此时有|MN|＝2 19即，即 x＝－2 符合题意．
当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的斜率为 k，
则直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＝0，
因为 Q 是 MN 的中点，所以 AQ⊥MN，所以|AQ|2＋
1
2
|MN| 2
＝r2，
又因为|MN|＝2 19，r＝2 5，所以|AQ|＝ 20－19＝1，
解方程|AQ|＝|k－2|
k2＋1
＝1，得 k＝3
4
，所以此时直线 l 的方程为 y－0＝3
4
(x＋2)，
即 3x－4y＋6＝0.
21. （12 分）
(1) 证明：由几何体 ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱，得 BB1∥DD1，BB1＝DD1，
∴四边形 BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD.
而 BD 平面 A1BD，B1D1 平面 A1BD，∴B1D1∥平面 A1BD.
(2) 证明：连接 B1D,∵BB1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵BD⊥AC，且 BD∩BB1 ＝B，∴AC⊥平面 BB1D.而 MD 平面 BB1D，
∴MD⊥AC.
(3) 解：当点 M 为棱 BB1 的中点时，
平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.取 DC 的中点 N，D1C1 的中点 N1，连接 NN1 交 DC1 于
O，连接 OM，BN，B1N1,如答图 4 所示．∵N 是 DC 的中点，BD＝BC，
∴BN⊥DC.又∵DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线，
易知平面 ABCD⊥平面 DCC1D1，∴BN⊥平面 DCC1D1.
又可证得 O 是 NN1 的中点，且四边形 BB1N1N 是平行四边形，
∴BM∥ON 且 BM＝ON，∴四边形 BMON 是平行四边形，
∴BN∥OM，∴OM⊥平面 CC1D1D.
∵OM 平面 DMC1，∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.
22. （12 分）解 (1)由已知，得当 n≥1 时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而 a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
(2)由 bn＝nan＝n·22n－1 知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.
①
从而 22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即 Sn＝1
9[(3n－1)22n＋1＋2]．
