河南省项城市第三高级中学2019-2020学年高二上学期考试数学试题

河南省项城市第三高级中学2019-2020学年高二上学期考试数学试题

项城市第三高级中学2019-2020学年上学期第二次考试高二数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 在△ABC中，下列等式中一定成立的等式是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A. 15 B. ‎30 ‎C. 31 D. 64‎ 3. 若不等式x2+mx+1＞0的解集为R，则m的取值范围是（　　）‎ A. R B. C. D. ‎ 4. 在平面直角坐标系中，满足不等式x2-y2≥0的点（x，y）组成的图形（用阴影部分来表示）是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 若正数a，b，c成公差不为零的等差数列，则（　　）‎ A. lga,lgb,lgc成等差数列 B. lga,lgb,lgc成等比数列 C. ,,成等差数列 D. ,,成等比数列 6. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，且满足acosB+bcosA=csinC，向量=（），=（cosA，sinA），若，则角B为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，+=6cosC，则+=（　　）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 5 D. 6‎ 8. 在实数等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( )‎ A. 8 B. C. D. 以上都不对 9. 已知x＞0，y＞0，x+3y=1，则的最小值是（　　）‎ A. B. ‎2 ‎C. 4 D. ‎ 10. 定义在区间[-3，3]上的函数y=f（x）是奇函数且单调递减，若实数a，b满足f（‎2a-1）+f（b-2）≤0，则点（a，b）所在区域的面积为（　　）‎ A. 6 B. ‎9 ‎C. 12 D. 15‎ 11. 已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A. 21 B. ‎20 ‎C. 19 D. 18‎ 12. 在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上一点，CD=2，△BCD的面积为4，则边AC的长为（　　）‎ A. 或3 B. 或‎3 ‎C. 或4 D. 或4‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB= ______ ．‎ 1. 等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的前4项和为______．‎ 2. 已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为______．‎ 3. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为_________________‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 4. 已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0． （1）求{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前n项和公式． ‎ 5. 设{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3=a2+4． （1）求{an}的通项公式； （2）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn． ‎ 6. 已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为（-，），求a+c的值． ‎ 7. 已知x＞0，y＞0，若+＞a2+‎2a恒成立，求实数a的取值范围． ‎ 8. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC= （Ⅰ）求△ABC的周长； （Ⅱ）求cos（A-C）的值． ‎ 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若23cos‎2A+cos‎2A=0，且△ABC为锐角三角形，a=7，c=6，求b的值； （2）若a=，A=，求b+c的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由正弦定理，得asinB=bsinA． 故选：B． 由正弦定理求出即可． 考查正弦定理，基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：方法一：设公差等于d，由a7+a9=16可得‎2a1+14d=16，即a1+7d=8． 再由a4=1=a1+3d，可得a1=-，d=． 故a12 =a1+11d=-+=15， 方法二：∵数列{an}是等差数列， ∴ap+aq=am+an， 即p+q=m+n ∵a7+a9=a4+a12 ∴a12=15 故选：A． 由a7+a9=16可得‎2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，或根据等差中项的定义，ap+aq=am+an，从而求得a12的值． 本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵不等式x2+mx+1＞0的解集为R，∴△=m2-4＜0，解得-2＜m＜2． ∴m的取值范围是（-2，2）． 故选：B． 利用一元二次不等式的解法即可得出． 熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由x2-y2≥0，得（x+y）（x-y）≥0， 即或， 画出图形如图所示． 故选：B． 由x2-y2≥0得出或，画出图形即可得出答案． 本题考查了一元二次不等式组表示平面区域的问题，是基础题． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 由正数a，b，c成公差不为零的等差数列得到b-a=c-b=d，只要判断2b÷‎2a=‎2c÷2b即可．本题考查了等差数列和等比数列的性质；如果三个a，b，c数成等差数列，则2b=a+c；如果三个数啊a，b，c成等比数列，则b2=ac． 【解答】 解：因为正数a，b，c成公差不为零的等差数列，设公差为d，则b-a=c-b=d， 则2b÷‎2a=2b-a=2d，‎2c÷2b=‎2c-b=2d ‎， 所以2b-a=‎2c-b， 所以‎2a，2b，‎2c成等比数列． 故选D． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵根据题意， ∴cosA-sinA=0， ∴A=， ∵acosB+bcosA=csinC， ∴由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC， 又由sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC， ∴化简可得，sinC=sin‎2C，由sinC＞0，解得sinC=1， ∴C=， ∴B=． 故选：C． 由向量数量积的意义，由，可得cosA-sinA=0，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC=sin‎2C，可得C，由A、C的大小，可得B的值． 本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，以及两角和正弦函数的应用，解题时，注意向量的正确表示方法． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，余弦定理的综合应用，属于中档题． 由条件利用余弦定理可得a2+b2=c2，利用同角三角函数的基本关系，余弦定理化简+=，从而求得结果． 【解答】 解：在锐角三角形ABC中，由+=6cosC，利用余弦定理可得+=6cosC=6•，∴a2+b2=c2． 则+ =+ =（+） =•= ​​​​​​​== ==4， 故答案为：4． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出． 【解答】 解：等比数列{an}中，a2，a6是方程x2-34x+64=0的两根， ∴a2+a6=34＞0，a2•a6=64=，又偶数项的符号相同， ∴a4＞0，则a4=8． 故选A． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵x+3y=1， ∴=（）（x+3y）=2+ 当且仅当即时等号成立， ∴的最小值是4 故选：C． 先对+的乘以1结果保持不变，将x+3y=1看为一个整体代入得（+）×1=（+）×（x+3y），再运用基本不等式可求得最小值． 本题考查基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．在运用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”的要求． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，奇函数y=f（x）在区间[-3，3]上单调递减， 因此不等式f（‎2a-1）+f（b-2）≤0，即f（‎2a-1）≤-f（b-2）=f（2-b），等价于-3≤2-b≤‎2a-1≤3， 即， 在坐标平面aOb中画出不等式组表示的平面区域， 结合图形可知，该三角形区域的三个顶点的坐标分别是（-1，5），（2，-1），（2，5）， 因此该平面区域的面积等于， 故选：B． 根据题意，得出实数a，b的线性约束关系，即，再运用线性规划知识求解即可． 本题把函数的性质与线性规划结合起来考查，同时也考查了数形结合能力，是一道好题． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，① a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，② 由①②联立得a1=39，d=-2， ∴Sn=39n+×（-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400， 故当n=20时，Sn达到最大值400． 故选：B． 写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件． 求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：如图，设∠BCD=θ，由S，得， 所以cosθ=， 由余弦定理，BD2=CD2+CB2-2CD•CBcosθ， 解得BD=或者4， 当BD=时，得sinB=， 又由，得AC=， 当BD=4时，同理得AC=4， 故选：C． 先求出cosθ=，再利用余弦定理求出BD，分类讨论，得出AC． 考查余弦定理，正弦定理的应用，基础题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由正弦定理可得 =，∴sinB=，再由b＜a，可得B为锐角， ∴cosB==， 故答案为：． 由正弦定理可求得sinB=，再由b＜a，可得B为锐角，cosB=，运算求得结果． 本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinB=，以及B为锐角，是解题的关键． 14.【答案】120 ‎ ‎【解析】解：q3==27 ∴q=3 ∴a1==3 ∴S4==120 故答案为120 根据a2=9，a5=243求得a1和q，最后利用等比数列的求和公式求得前4项的和． 本题主要考查了等比数列的性质和求和问题．要熟练掌握等比数列中通项公式、求和公式、等比中项等基本知识． 15.【答案】3 ‎ ‎【解析】解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x=，y=2时取等号）， 于是，，xy≤3． 故答案为：3 本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解． 本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题． 16.【答案】或 ‎ ‎【解析】解：∵，∴cosB×tanB=sinB= ∴B=或 故选B． 先根据余弦定理进行化简，进而得到sinB的值，再由正弦函数的性质可得到最后答案． 本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力． 17.【答案】解：（1）在等差数列{an}中，由a3=-6，a6=0，得 ‎ d=， ∴an=a6+（n-6）d=2n-12； （2）在等比数列{bn}中，b1=-8，b2=a1+a2+a3=-10+（-8）+（-6）=-24， ∴q=， ∴{bn}的前n项和公式． ‎ ‎【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题． （1）由已知利用等差数列的通项公式求得公差，进一步求得{an}的通项公式； （2）由（1）求得b2，进一步求得公比，代入等比数列的前n项和公式得答案． 18.【答案】解：（1）设q为等比数列{an}的公比， 则由a1=2，a3=a2+4得2q2=2q+4， 即q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）， 因此q=2， ∴{an}的通项为； （2）由已知可得bn=1+2（n-1）=2n-1， ∴an+bn=2n+（2n-1）， ∴Sn=+=2n+1+n2-2． ‎ ‎【解析】（1）设q为等比数列{an}的公比，由已知可得关于q的一元二次方程，求解可得q值，则数列{an}的通项可求； （2）由已知可得bn=1+2（n-1）=2n-1，然后分组，再由等差数列与等比数列的前n项和公式求解． 本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列前n项和的求法，是中档题． 19.【答案】解：（1）由ax2+2x+c＞0的解集为（-，）知a＜0，且-，为方程ax2+2x+c=0的两个根， 由根与系数的关系得-+=-，-×=， 解得a=-12，c=2， ∴a+c=-10． ‎ ‎【解析】根据不等式的解集和一元二次方程根的关系即可求解a+c的值． 本题主要考查一元二次不等式的应用，根与系数的关系．属于基础题． 20.【答案】解：∵x＞0，y＞0， ∴，当且仅当y=2x时取等号． ∵+＞a2+‎2a恒成立， ∴a2+‎2a＜8，解得-4＜a＜2． ‎ ‎【解析】利用均值不等式求出左边式子的最小值，再解一元二次不等式即可． 考查不等式恒成立问题，用了基本不等式，和一元二次不等式求解，基础题． 21.【答案】解：（I）∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4， ∴c=2， ∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5． （II）∵cosC=，∴sinC===． ∴sinA===． ∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==， ∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=． ‎ ‎【解析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长； （II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值． 本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题． 22.【答案】解：（1）∵23cos‎2A+cos‎2A=23cos‎2A+2cos‎2A-1=0， ∴，又∵A为锐角，， 而a2=b2+c2-2bccosA，即， 解得b=5（舍负），∴b=5； （2）方法一：（正弦定理） 由正弦定理可得， ∵，∴＜B+＜， ∴， ∴． 方法二：（余弦定理） 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得b2+c2-3=bc， 即， ∴，又由两边之和大于第三边可得， ∴． ‎ ‎【解析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得cosA，再由余弦定理，解方程可得b； （2）方法一：运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围； 方法二：运用余弦定理和基本不等式，以及三角形的三边关系，即可得到所求范围． 本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查基本不等式和三角形的三边关系，以及运算能力，属于中档题． ‎