数学文卷·2018届广东省广州市执信中学、广雅、二中、六中高二上学期期末四校联考（2017-01）

数学文卷·2018届广东省广州市执信中学、广雅、二中、六中高二上学期期末四校联考（2017-01）

‎2018届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考试卷 文科数学 命题学校：广雅中学 命题人：黄淑珍 本试卷分第I卷（选择题共60分）和第II卷（非选择题共90分）两部分。考试时间为120分钟，满分为150分。‎ 注意事项：‎ 1． 答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁。‎ 参考公式：锥体的体积公式其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高.‎ ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，且,则 （ ）‎ ‎（A）（B） （C）（D）‎ ‎2.设命题，则为（ ）‎ ‎（A）（B） ‎ ‎（C）（D）‎ ‎3.已知，是单位向量，且与的夹角为60°，则等于（ ）．‎ ‎（A）3 （B）2－（C）1 （D）4－‎ ‎4.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）‎ ‎（A）（B） （C）（D）‎ ‎5.已知，为圆上关于点对称的两点，则直线的方程为（ ）‎ ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6．如图1，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为（ ） ‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎7. 设的内角的对边分别为，若,，，则（ ）‎ ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎8. 已知两条不同直线，两个不同平面，给出下面四个命题：‎ ‎ ① ②‎ ‎ ③ ④‎ 其中正确命题的序号是 （ ）‎ ‎（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③‎ ‎9．执行如图2所示的程序框图，若输出的结果为，则可输入的实数值的个数为（ ）‎ ‎ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 ‎ ‎10.在边长为4的正方形内任取一个点，则的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11.已知双曲线，右焦点到渐近线的距离为， ‎ 到原点的距离为，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎12.对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ‎ ‎① ，② ，③ ，④ ．‎ 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ）‎ ‎（A）①② （B）②③ （C） ①③ （D） ②④ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.直线过抛物线的焦点交抛物线于两点，若，则 ‎ ‎．‎ ‎14.若，则=. ‎ ‎15.设变量满足则的最大值为．‎ ‎16.函数，对，使，‎ ‎ 则的取值范围是． ‎ ‎ ‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表 并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的单调递增区间.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知等比数列的各项均为正数，，公比为；等差数列中，，且的 前项和为，.‎ ‎（Ⅰ）求与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎2017年元旦假期期间，调查公司在高速公路某服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：后得到如图3的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）该调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？‎ ‎（Ⅱ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎ (Ⅲ)若从车速在的车辆中任意抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率.‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分） ‎ 如图4，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点分别为棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎ (Ⅲ) 求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）试讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式；‎ ‎ ‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：（）的长轴长、短轴长、焦距分别为、、,‎ 且是与的等差中项.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线的方程为，过椭圆 左顶点的直线与 曲线相切，求直线被椭圆截得的线段长的最小值.‎ ‎2018届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考参考答案 文 科 数 学 一、 选择题 ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A D C A B C C B D A ‎ ‎ 二、 填空题 ‎ 13． ； 14．； 15．； 16．． ‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分10分）‎ 解：(Ⅰ)根据表中已知数据，解得：，数据补全如下表：‎ ‎0‎ ‎[‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎0‎ 函数的表达式为：……………………6分 ‎（注：每个空格1分，表达式2分）‎ ‎（Ⅱ）函数图像向左平移个单位后对应的函数是………………8分 由，解得 的单调递增区间是…………………10分 ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ)设数列的公差为 ， ‎ ‎ ，…………………2分 ‎ …………………4分 ‎， ，…………………6分 ‎（Ⅱ）由题意得： ，…………………8分 ‎ …………………10分 ‎ …………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）系统抽样 ……………………2分 ‎ （Ⅱ）众数的估计值为最高的矩形的中点，‎ ‎ 即众数的估计值等于 ………4分 设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：‎ ‎，‎ ‎ 解得即中位数的估计值为 …………………6分 ‎(Ⅲ) 从图中可知，车速在的车辆数为：（辆）…………………7分 ‎ 车速在的车辆数为：（辆）…………………8分 ‎ 设“车速在的车辆至少有一辆”为事件A,这是一个古典概型，记车速在 的车 ‎ ‎ 辆设为，车速在的车辆为，则所有基本事件有： ‎ 共15种 …………………10分 其中两辆车的车速均不在的事件仅有一种，即车速在的车辆至少有一辆 ‎ 的共14种，所以车速在的车辆至少有一辆的概率为 ‎ 答：从车速在的车辆中任意抽取2辆，车速在的车辆至少有一辆的概率为 .……………12分 ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分） ‎ ‎（Ⅰ）证明: 取的中点，连结 ‎∴为的中位线 ∴……1分 ‎∵四边形为正方形，为的中点 ‎∴ ∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ………………2分 ‎∴ ………3分 又平面，平面 ‎ ‎∴平面 ……………………………………4分 ‎ （2）∵ ‎ ‎∴，，又，∴‎ 又 ∴ …………………………………………………… 6分 直角三角形中，‎ ‎∴为等腰直角三角形 ∴ ∵是的中点 ‎∴，又 ‎∴ …………………………………… 8分 ‎∵∴ ‎ 又 ，平面平面 …………………………9分 ‎(Ⅲ) 三棱锥即为三棱锥 ‎ 是三棱锥的高，中，，，∴三棱锥的体积 ‎……………………… 12分 ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ) 当时，函数在上为减函数；…………………………1分 当时，抛物线开口向上，对称轴为 ‎∴函数在上为减函数，在上为增函数……………………… 3分 当，抛物线开口向下，对称轴为 ‎∴函数在上为增函数，在上为减函数.……………………………5分 ‎（Ⅱ）∵‎ ‎ 由得 ∴.…………………………… 6分 ‎ 当，即时，,故；………… 8‎ 分 ‎ 当，即时，，故……………10分 ‎ ∴…………………………… 12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ)由题意得：，，， ‎ 又，…………………………… 2分 解得，，故椭圆的方程为.…………………………… 4分 ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，可取椭圆的左顶点为，若直线斜率不存在，则方程为 由直线与曲线相切得，解得或不合题意.………………5分 设直线的方程为.‎ 由直线与曲线相切得，……………………………6分 整理得：，……………………………7分 又，所以，解得……………………………8分 由 消去，整理得.…………………9分 直线被椭圆解得的线段一端点为，设另一端点为,解方程可得点的坐标为，所以 ‎，…………………………10分 另，则.由函数的性质知在区间上是增函数，所以当时，取得最大值，从而.……………………………12分 注：设直线方程为相应给分.‎