高三数学同步辅导教材(第18讲)
高三数学总复习教程（第 18 讲）
一、本讲内容
不等式的解法
本讲进度
整式不等式、分式不等式，无理不等式，指数不等式，对数不等式，简单的三角不等式，绝对值不等式
的解法
二、学习指导
“≥”是不等“＞”与方程“=”的联合体，故相应解集是不等式解集与方程解集的并集．．。
（1）对 ax>b 形式的不等式，当 a>0 时解集为
,a
b 当 a<0 时解集为。当 a=0 且 b<0 时解集为 R 当 a=0
且 b≥0 时，解集为 ；
因未限制 a 的符号，故 ax
-b 不必另行列出。
（2）一元二次不等式我们总可化为 x2+bx+c>0 和 x2+bx+c+<0 两形式之一，记△=b2-4c。
x2+bx+c>0 x2+bx+c+<0
△<0 R
△=0 {x|xR 且 x
2
b }
△>0 )xx)(,x(x, 2121 )xx(x,x 2121
（3）高次不等式，先分解因式，用序根法求出，要特别注意重根的情况的处理。
（4）分式不等式，一般先移项，使一边为零，另一边通分后分解因式，类似高次不等式，用序根法求出。
（5）无理不等式，要注意两条：一是有意义的范围（偶次方根下设开方数非负）二是式子两边偶次方的
前提是两边非负。不能保证两边非负，就要进行讨论。
（6）指数、对数不等式，要注意有意义的取值范围（有大于零且不等于 1，对数式中真数大于零），还
要特别注意底是大于 1 还是在（0，1）中，它们决定了不等号是否变向。
（3）三角不等式，要注意三角函数的单调区间。
关于绝对值不等式，应首先理解绝对值（此处是指实数的绝对值）的意义：当 a>0 时| a|=a；当 a=0
时；当 a<0 时|a|=-a。
对|x|0 时，-aa，当 a>0 时，x>a 或 x<-a；当 a=0 时,x≠0；
当 a<0 时，x R
熟悉下面的绝对值不等式，并注意等号成立的条件： babababa
ab
；
三、典型例题讲解
例 1：解不等式： 2xxx2
4xx3
2
2
按照解分式不等式的程序去解：先移项通分： 0xx2
xx
2
3
分解因式： 0)1x)(x2(
)1x(x2
，出现了相同因式；x2 怎么办？先单独考虑它：当 x=0 时，左边为
0，满足原式；当 x≠0 时，x2>0，原式同解于 0)1x)(x2(
1x
。此时采用序根法式时，要注意两
点：（1）由于有等号，故分子相应的根标实点，分母相应的根用空圈，（2）当 x 此最大根 2 大时，左为
负值，草图应从右下开始（也可改写为
0)1x)(2x(
1x
，则从右上开始）。
O
O
-1 1 2
得到 )2,1[)1,(x
}0{)2,1[)1,( 原不等式解集
例 2：解关于 x 的不等式 axx2a 22
首先应考虑有意义：a2-2x2≥0，知分界点为 0，当 a=0 时，原不等式即 xx2 2 ，解集为 。
当 a≠0 时，
2
a.
2
ax 时左边有意义，而右边是否需要平方要看 x≥-a 是否成立，讨论应围绕-a
与
2
a 间的大小关系进行。
1、当 a>0 时，只要 ，必有 x+a>0，原不等式同解于 a2-2x2>x2+2ax+a2， )0,a3
2(x
∴ )0,a3
2(x 。
2、当 a<)时，只要
2
a,
2
ax ，右边却为负值，原不等式就成立。
x2-x-6>0
例 3：若不等式组 的整数解只有-3，求 k 的取值范围。
2x2+(2k+7)x+7k<0
整 数 解 问 题 是 我 们 不 熟 悉 的 ， 我 们 按 题 中 条 件 进 行 了 试 探 ： -3 满 足 第 二 个 不 等 式 ， 故
18-3(2k-7)+7k<0，知 k<3 又由不等式（1）知 ),,3()2,(x 不等式（2）的解集为（k,
2
7 ）,故
要满足题设， 3k4
3,4k
例 4：解不等式： 1
x321
1x2
首先考虑有意义的 x 取值范围：
0x321
0x3
01x
解得
3,4
11
4
11,1x 在边两个区间，
分别为负值和正值。
据此，在前一个区间，左负右正，原不等式成立。在后一个区间，原不等式即 x3211x2 ，
亦即右为负值无解。
∴原不等式解集为
4
11,1
例 5： 0a0a 且 ，解关于 x 的不等式：
23a1a x2x
要去掉绝对值符号应围绕 ax 与 1 与 3 的大小进行讨论，而这又与 )1,0(a1a 或 有关系，我们
可以令 t=ax>0，先讨论 t 与 1， 的大小关系，解出 t 的范围，再根据 两种情况分别
求出 x 的范围。
例 6：求证：
a1
b
b1
a
b1
b
a1
a
ba1
ba
前 一 个 不 等 式 ， 我 们 可 以 先 证 明 )0x(x1
x)x(f 是 单 调 递 增 的 ， 又 |a+b| ≤ |a|+|b| ，
|b|1
|b|
|a|1
|a|
|b||a|1
|b||a||)b||a(|f)ba(fba1
ba
，也可用分离常数使分子变
为常数，再进行放缩（详见附录）。
后一个不等式只要用比差法即可证明。
例 7：已 知 x2+y2=1，求 证 axa1ya1ax 22 首先 ，把 不等式 组按 基特点 改写 ，
2a1|axy| ，亦即 22 a1)axy( ，使证明两个不等式变成了证明一个不等式，对条件x2+y2=1
的利用，可有不同思路。
一是三角代换：令
siny
cosx ，则左 2)cosa(sin
= 222 a1))sin(a1( 左
一是用恒等变形：原式 a2(1-x2)+2axy+1-y2≥0 a2y2+2axy+x2≥0 (ay+x) 2≥0，此式当然成立。
例 8：已知 a2x+a2y=2(ax+ay)，求 P=ax+ay 的取值范围。
由已知（ax-1）2+(ay-1) 2=2，容易想到三角代换：
sin21a
cos21a
y
x
于是 P=ax+ay=2+ 4,04cos22sin2cos2
但这个结果是错误的，错得很明显；ax、ay 故为正数。P 必为正，不可能取到 0。于是有人便据此修
改为（0，4），但不能消除人们的疑问：会不会还有别的值取不到？上述解法出了什么毛病？
事实上 01sin2a,01cos2a yx 故 取 值 是 受 限 制 的 ：
)Zk(,4
3k2,4k2
，因而 ]4,2(P]1,0(4cos
从而 。
上述结果用图象也可看出
m=ax>0
令 则（m-1）2+(n-1)2=2 在 m-0-n 平面内的图象为圆在第一象限内的圆弧，
n=ay>0]
而 P=m+n 为解平为-1，在 n 轴上截距为 P 的直线，P 的取值范围为（2，4），（见右图）
我 们 也 可 用 ， 消 元 法：a2x+(p-ax)2=2(ax+p-ax) ， 整 理 得
2a2x-2p.ax+p2-2p=0。
记 t=ax>0，则上方程中 2t2-2pt+p2-2p=0。由已知条件的“对称性”
t’=ay>0 也应满足上与性，故此方程有两正根。
]4,2(p
0p2p
0p
0)p2p(8p4
2
22
四、巩固练习
1、 已知三正数 a,b,c 构成等数列，求证 a2+b2+c2>(a-b+c) 2
2、 解不等式： 1x1x
x2
3、 解关于 x 的不等式： )0a(x1aax2 2
4、 已知 a>0，解关于 x 的不等式： x1ax
1x)1a( 2
5、 关于 x 的不等式
2
)1a(
2
)1a(x
22 的解集为 A，关于 x 的不等式 x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 的解
集为 B，求使 A B 的 a 的取值范围。
6，设 a,bk,集合
3x2
1xBA,0baxxxB,0
2x3x
1x2xA 2
2 求 a,b 的取
值范围。
7、若不等式 1sin1xx
3)5(cosxcos)1x(
2
2
对 x 取一切实数值都成立，求 的取值范围。
8、解不等式： 2|x1x2|
9、解不等式：|x-2|-|2x+5|>2x
10、已知函数 f(x)=x2-x+13,a 为给定的实数，若|x-a|<1，则|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。
11、函数 )x3)(2x(y 的定义域为 A，函数 y=lg(kx2+4x+k+s)的定义域为 B，若 A B，求 k 的
取值范围。
12、若对满足|m|≤2 的一切实数 m，都有 2x-1>m(x2-1)。求 x 的取值范围。
参考答案
1、 即证 2b(a+b)>2ac
∵ ac2ca 故只要证 2b> ac
∵a,b,c 成等比，a,b,c R ∴ acb
∴2b= acac2 ∴原不等式成立
2、当 x≤-1 时，原不等式当然成立
当 x>-1 时， 1x1x
x2
或 1x1x
x2
即 01x
1x2x2
或 01x
1x2x2
)21,()21,1(x 或 )1,12()21,(
∴ 21,1)21,1()1,12(x
∴原不等式解集为 )21,1()1,12()21,(
3、
2
ax,0aax2 2
1°当 a>2 时， 12
a ∴x>1 右边为负原不等式成立
2°当 a≤2 时 12
a
故当 x>1 时，原不等式右边为负，当然成立
当
1,2
ax 时，原不等式同解于 2ax-a2>1-2x+x2
)a2a1,a2a1(x 而 0)2
a1(2
aa2a1 2
∴ )1,a2a1(x
∴ ),a2a1(x
4、 01ax
1xx2
当
2
15a 时，原不等式即
2
51x
)2
51x)(2
51x(
>0 即
2
15x ；当时，
),2
15()a
1,2
51(x ，当
2
15a 时， ),2
15()2
51,a
1(x
、 ],1a3,2[B,3
1a,BA,9
10,3
2A,2B,3
1a
时当不满足时当 A 中 x 满足 4a≤x≤
a2+1，要使 A B，应有 1a
21a
2a2
2
1a
综上： }1{]3,1[a
6、A=（-2，-1）
,2
1 ，又
3,2
1BA ∴B=（m，3）
其中
2
1,1m
由韦达定理
2
3,3b
2,2
7a
Rm0m12)m3(
2
3,3m3b
2
7,2m3a
2
7、∵x2-x+1 恒取正值，故原不等式即
（cos +1-sin ）x2+(4+sin -cos )x+cos -sin +4>0
当 cos -sin +1=0 时为 5x+3>0 不可能恒成立
cos +1-sin >0
∴
△=(4+sin -cos )2-4(cos -sin +1)(cos-sin +4)<0
t>-1
≠
≠
记 cos -sin =t 则即 t>0
3t2+28t>0
即 cos -sin >0 )Zk(4k2,4
3k2
8、
1x2x2
1x2x22x1x22
有意义即可
即
,1x2
31x21,
051x221x2
031x221x2
2
2
5,2
1x
9、当 x≥时，原不等式即(x-2)-(2x+5)>2x，x
3
7 x 。当
2,2
5x 时，原不等式即（2-x）
-(2x+5)>2x，
5
3x ,
5
3,2
5x
当
2
5x 时，原不等式即(2-x)+(2x+5)>2x x<7
5
3,x
10、|f(x)-f(a)|=|cx2-x+13-(a2-a+13)|=|x-a||x+a-1|
≤|x+a-1|=|(x-a)+2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1)
11、令（x+2）(3-x)≥0,知 A=[-2，3]
令 kx2+△x+k+3>0,当 k=0 时，
,4
3B ，必不满是 BA ；当 K>0 时，无论
△<0 时 RB ，或△=0 时
k
2xxB 还是△<0， ),x()x,(B 21 都不可能满足 ，
∴k<0。
12 、 解 法 一 ， 设 f(m)=(x2-1)m+1-2x ，在[-2 ， 2] 上 恒 负 ， 等 价 于
01x2x2
03x2x2
0x21)1x(2)2(f
0x21)1x(2)2(f
2
2
2
2
即
即
,2
71
2
71,x
2
31,2
31x
2
13,2
17x
解法二：
1、 当|x|>1 时，原不等式即
1x
1x2m 2
要对[-2，2]中 m 恒成立，设 21x
1x2
2
，2x2-2x-1<0，
2
31,1x,2
31,2
31x 。
2、 当|x|<1 时，原不等式即 要对[-2，2]中 m 恒成立，设 21x
1x2
2
，2x2+2x-3>0
1,2
17x
,2
71
2
71,x
3、 x=1 时，原不等式即或>0，恒成立 mR。
4、 x=-1 时，原不等式即-3>0，恒不成立 m 。
2
13,2
17x 。
六、附录
例 1： 0x,0)1x)(x2(
)1x(x,02xxxx
4xx3 2
2
2
时，左右。
2,11,x,0)2x)(1x(
1x,0x
时
∴原不等式解集为 }0{2,11,
例 2：1、当 a=0 时，原不等式即 x,xx2 2 。
2、当 a>0 时，
2
a,
2
ax,0x2a 22 ，此时 x+a>0，原不等式同解于 222 )ax(x2a ，即
3x2+2ax<0，
0,a3
2x,0,a3
2x 。
3、 a<0 时，
2
a,
2
ax,0x2a 22 ，此时 x+a 恒负，原不等式成立。
∴
2
a,
2
ax
例 3：由 x2+x-b>0 解集为 ,32, 。
-3 满足不等式（2）。∴（-3）2-3（2k+7）+7k<0,k<3∴不等式（2）之解集为
2
7,k 。由题设-4≤
k<-3。
例 4 ： 解 不 等 式 ： 1
x321
1x2
， 时 应 首 先 考 虑 在 有 意 义 的 前 提 下 分 母 的 正 负 ：
3,4
11
4
11,1x
0x321
0x3
01x
当 ,0,4
11,1x
左时 则不等式成立。
当
3,4
11x 时，1-2 0x3
∴原不等式可改变为
1x31x2,x3211x2
1x31x244 ,不可能成立.
∴原不等式解集为
4
11,1 。
例 5：记 t=ax>0，则原不等式 IP|t-1|+|t2-3|>2，若 3t ，则上式 IP t2-t-6>0 ,t>2 或<-3.。
,2t
若 3,1t ，则有 t2-t<0 t(0,1) t
若 1,t ，则有 t2+t-2<0 t (-2,1) )1,2(t
综上 ),2()1,2(t
故当 a>1 时， ),a(log0,x 2 。
当 ),0()alog,(x,)1,0(a 2 时
例 6、
|b||a|1
|b||a|
|b||a|1
11
|ba|1
11
|ba|1
|ba|
0|b|1|a|1
|b||a|
|b|1
|b||a|
|a|1
|b||a|
|b|1
|a|
|a|1
|b|
|b|1
|b|
|a|1
|a|
|b|1
|b|
|a|1
|a|
|b||a|1
|b|
|b||a|1
|a|
2
又
∴原不等式组成立。
例 7 、 原 不 等 式 等 价 于 1yx,a1axy 222 ，故可设
siny
cosx ，则
22 a1)sin(a1cosasinaxy 右
∴原不等式成立。
例 8 、 由 已 知 a2x+(p-ax)2=2p , 2a2x-2p.ax+p2-2p=0 同样 2a2y-2p.ay+p2-2p=0 故 ax,ay 为方程
2t2-2pt+p2-2p=0 之两正根。
.4,2p
0p2p
0p
0)p2p(8p4
2
22
解得
