2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第二次大考数学（文）试题 Word版

2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第二次大考数学（文）试题 Word版

南康中学2017～2018学年度第二学期高二第二次大考 数学（文）试卷 ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则= (　　) ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2. 设，其中为虚数单位，则（ ）‎ A． -2 B．-1 C．1 D．2‎ ‎3.命题：“若，则”的逆否命题是 ‎ A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 ‎ ‎4．“”是“方程表示椭圆”的 （ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. ①已知，求证，用反证法证明时，可假设；②设为实数，，求证与中至少有一个小于，用反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）‎ A．①与②的假设都错误 B ①的假设错误，②的假设正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D．①与②的假设都正确 ‎ ‎6. 参数方程， (为参数)表示的曲线是(　 　)‎ A.直线 B.圆 C.线段 D.射线 ‎7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎8．圆的圆心的极坐标是(　 　)‎ A．(－5，－ ) B．(－5，) ‎ C．(5，) D．(－5，)‎ ‎9. 南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率的值在与之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的颗豆子中，落在圆内的有颗，则估算圆周率的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 函数的大致图象是（　 　）‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎11. 已知某简单几何体的三视图如图所示，若主视图 的面积为1，则该几何体最长的棱的长度 为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎12．若是常数，，则,当且仅当＝时取等号．类比以上结论，可以得到函数的最小值为(　 )‎ A. 5 B. 15 C. 20 D. 25‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.抛物线的焦点到准线的距离为 ． ‎ ‎14.已知向量=（2,4）, =（1, 1）,若向量，则实数的是 ‎ ‎15.若存在实数，使成立，则实数的取值范围是 ‎ ‎16.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是 ．‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分10分)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为，斜率为的直线交轴于点．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程，直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线C交于A，B两点，求的值．‎ ‎18. (本小题满分12分) 已知等差数列满足,前7项和为.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，求的前项和.‎ ‎19. (本小题满分12分)某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:‎ 打算观看 不打算观看 女生 ‎20‎ b 男生 c ‎25‎ ‎（1）求出表中数据b，c;‎ ‎（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关;‎ ‎（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. ‎ 附： ‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ K0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎20．(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为正方形，为的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）若，，平面平面，四棱锥的体积为，求点到平面的距离．‎ ‎21. (本小题满分12分)已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，‎ 且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若在椭圆上有相异的两点，（，，三点不共线），为坐标原点，且直线，直线，直线的斜率满足.‎ 求证：是定值；‎ ‎22.(本小题满分12分)已知函数（为常数）．‎ ‎（1）若是函数的一个极值点，求的值；‎ ‎（2）当时，试判断的单调性；‎ ‎（3）若对任意的 ，使不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 南康中学2017～2018学年度第二学期高二第二次大考 数学（文）参考答案 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1—5：CADCB 6—10：CAADB 11—12：CD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13、 14、-3 15、 16、‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 解：（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ 直线的参数方程为（t为参数，t∈R）．……………………5分 ‎（II）将代入曲线C方程得（）2+（）2=2，‎ 即t2﹣t﹣1=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=﹣1．‎ ‎ .……………………10分 ‎18.解：（Ⅰ）由，得 因为所以 ‎……………………6分 ‎（Ⅱ）‎ ‎……………（12分）‎ ‎19. 解：（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b=50-20=30(人)，‎ ‎ c=75-25=50(人) ………………………………………………………………2分 ‎（2）因为，所以有99%的把握认为观 看2018年足球世界杯比赛与性别有关.…………………………………………7分 ‎(说明：数值代入公式1分，计算结果3分，判断1分)‎ ‎（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a} {C,b}{D,E}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}{a,b}，共21种，……………………………………9分 其中恰为一男一女的包括，{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b},‎ 共10种.……………………………………………………………………………………10分 因此所求概率为……………………………………………………………………12分 ‎20.解：（）连接，设，连接．‎ 因为为正方形，所以为的中点．‎ 因为为的中点，‎ 所以．‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面．……………………6分 ‎（）设，则．‎ 因为，，‎ 所以．‎ 作于，‎ 则．‎ 因为平面平面，‎ 所以平面．‎ 所以，‎ 解得．‎ 因为为正方形，‎ 所以．‎ 因为平面平面，‎ 所以平面．‎ 因为平面，‎ 所以．‎ 因为，，‎ 所以平面．‎ 所以点到平面的距离为．……………………12分 ‎21.解：⑴由题可知：，可设椭圆方程为，又因椭圆过点，‎ ‎ 则，解得，所以椭圆方程为 ………………4分 ‎ ⑵设直线AB方程为：‎ ‎ ‎ ‎ ，化简得：‎ ‎ A、O、B三点不共线 ‎ ，则 ①‎ ‎ 由，可得：‎ ‎ 由韦达定理可得 ② 且 ③‎ ‎ 将②代入①式得：，解得 …………8分 ‎ ④‎ 将④代入得 ………………12分 ‎22.解：依题意，，‎ ‎（1）由已知得：，∴，∴，经检验符合题意……………2分 ‎ ‎（2）当时，，‎ 因为，所以，而，即， ‎ 故在上是增函数．……………………………7分 ‎ ‎（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，‎ 故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．即恒成立 记，（），则，‎ 令，则 所以,‎ 故，所以在上单调递减，所以 即实数的取值范围为．………………………12分