广东省执信中学2011-2012学年度第一学期高三级数学理科期末考试

广东省执信中学2011-2012学年度第一学期高三级数学理科期末考试

广东省执信中学2011-2012学年度第一学期高三级数学理科期末考试 一、选择题 ‎1、如果一个几何体的三视图如图所示，‎ 其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，‎ 俯视图为正六边形，‎ 则该三视图中侧视图的面积为 ． ‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎2、与函数的图象相同的函数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3、设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时,‎ 等于（ ）‎ A．9 B．‎8 ‎ C．7 D．6‎ ‎4、设、表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎5、已知，，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 　 　　　　 　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要条件 ‎6、若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）‎ A．24 B．‎30 C．36 D．42 ‎ ‎8、如果，那么 ．‎ ‎9、垂直于直线且与曲线相切的直线方程是 ．‎ ‎10、设集合，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11、规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即，则函数的值域是 ．‎ ‎12、复数=（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13、观察下列等式:‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ 由以上等式推测:‎ ‎ 对于,若,则 .‎ ‎14、将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ． ‎ ‎15、如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，，则的长为 ． ‎ 三、解答题 ‎16、‎ ‎2010年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员 的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前 训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：‎ 甲系列：‎ 动作 K D 得分 ‎100‎ ‎80‎ ‎40‎ ‎10‎ 概率 乙系列：‎ 动作 K D 得分 ‎90‎ ‎50‎ ‎20‎ ‎0‎ 概率 ‎ 现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分。‎ ‎（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；‎ ‎（2）若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望EX．‎ ‎17、‎ 如图一，平面四边形关于直线对称，．‎ 把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：‎ ‎（1）求两点间的距离； ‎ ‎（2）证明：平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值．‎ C B D A 图1‎ B C D A 图2‎ ‎18、‎ 已知函数R, ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根， 求的值．‎ ‎19、‎ 已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．‎ ‎（1）求椭圆S的方程；‎ ‎（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．‎ ‎①若直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎②对任意，求证：．‎ P A B C x y O M N ‎20、‎ 设数列满足：，‎ ‎（1）求，； （Ⅱ）令，求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知，求证：．‎ ‎21、‎ 已知向量与共线，其中A是的内角。‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若BC=2，求面积S的最大值． ‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、； ‎ ‎2、A ‎3、D ‎ ‎4、 D ‎5、A ‎6、C ‎7、C ‎8、； ‎ ‎9、； ‎ ‎10、B ‎11、； ‎ ‎12、C 二、填空题 ‎13、 ‎ ‎14、； ‎ ‎15、‎ 三、解答题 ‎16、‎ ‎（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列 ‎ 理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140＞118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110＜118，不可能获得第一名． ‎ ‎ 记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40分”为事件B，则P （A）＝，P （B）＝． ‎ ‎ 记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得 ‎ P （C）＝P （AB）＋＝＝．‎ ‎ 该运动员获得第一名的概率为．‎ ‎ （II）若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50，70，90，110， ‎ ‎ 则P （X＝50）＝＝，‎ ‎ P （X＝70）＝＝，P （X＝90）＝＝，‎ ‎ P （X＝110）＝＝． ‎ ‎ X的分布列为：‎ X ‎50‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎110‎ P ‎ ∴＝50×＋70×＋90×＋110×＝104． ‎ ‎17、解：（Ⅰ）取的中点，连接，‎ 由，得：‎ ‎ ‎ 就是二面角的平面角，‎ ‎ ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由，‎ · ‎ · ， ‎ 又 平面． 　‎ ‎（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面 平面 ‎∴平面平面 　　　　　　　　　　　　‎ 平面平面，‎ 作交于，则平面，‎ 就是与平面所成的角， 　‎ ‎ ． ‎ 方法二：设点到平面的距离为，‎ ‎∵ 　　　　　　 ‎ ‎ 　　　　　‎ 于是与平面所成角的正弦为 ‎． 　　　　　‎ 方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则 ‎．‎ 设平面的法向量为n，则 n， n，‎ 取，则n， ‎ 于是与平面所成角的正弦即 ‎． 　　　　 ‎ C B D A E y F z x ‎18、解: 函数的定义域为.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ① 当, 即时, 得,则.‎ ‎ ∴函数在上单调递增. ‎ ‎② 当, 即时, 令 得,‎ 解得. ‎ ‎(ⅰ) 若, 则. ‎ ‎∵, ∴, ∴函数在上单调递增. ‎ ‎ (ⅱ)若,则时, ;‎ ‎ 时, ,‎ ‎∴函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增.‎ ‎ ‎ 综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为; ‎ 当时, 函数的单调递减区间为, 单调递增区间为. ‎ ‎(2) 解: 令, 则.令, 得.‎ 当时, ; 当时, .‎ ‎∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.‎ ‎∴当时, 函数取得最大值, 其值为. ‎ 而函数,‎ 当时, 函数取得最小值, 其值为. ‎ ‎∴ 当, 即时, 方程只有一个根. ‎ ‎19、解：（1）在直线中令得；令得 ‎， ‎ 则椭圆方程为 ‎（2）①,,M、N的中点坐标为(，)，所以 ‎（3）法一：将直线PA方程代入，解得，记，则 ‎，，于是，故直线AB方程为 代入椭圆方程得，由，因此 ‎，‎ ‎ ‎ 法二：由题意设，‎ A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，‎ ‎，两式相减得：‎ ‎ ‎ ‎20、‎ 法二：同理由 法三：可以先用数学归纳法证明加强不等式：‎ ‎ ‎ ‎21、解：‎ ‎ ‎