数学卷·2018届云南省昭通市云天化中学高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届云南省昭通市云天化中学高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年云南省昭通市云天化中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）‎ ‎1．高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（　　）‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎2．设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+a3+a4=3，则S5=（　　）‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎4．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（　　）‎ A．22 B．46 C．94 D．190‎ ‎6．如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为（　　）‎ A． B． C．14 D．‎ ‎7．已知F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（　　）‎ A．3 B．6 C．3 D．2‎ ‎8．直线x﹣y+3=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎9．已知变量x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，0] C．[0，] D．[﹣2，]‎ ‎10．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（　　）‎ A．4 B．4 C．4 D．8‎ ‎11．在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：x+y+‎ a=0与点A（0，2），若直线l上存在点M满足|MA|2+|MO|2=10（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣﹣1，﹣1） B．[﹣﹣1，﹣1] C．（﹣2﹣1，2﹣1） D．[﹣2﹣1，2﹣1]‎ ‎12．若以F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点的双曲线与直线y=x﹣1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，4小题共20分）‎ ‎13．在△ABC中，A=75°，C=60°，c=1，则边b的长为　　．‎ ‎14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点为，则双曲线的方程为　　．‎ ‎15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是　　．‎ ‎16．椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．‎ ‎（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎18．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标 ‎（x，y，z）‎ ‎（1，1，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，2）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（1，2，1）‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标 ‎（x，y，z）‎ ‎（1，2，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，1）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（2，1，2）‎ ‎（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．‎ ‎（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎①用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．‎ ‎19．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求|AB|．‎ ‎20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．‎ ‎（1）求a1的值，并用an﹣1表示an；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设Tn=+++…+，求证：Tn＜．‎ ‎22．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年云南省昭通市云天化中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）‎ ‎1．高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（　　）‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样原理求出抽样间隔，由第一组抽出的学号得出每组抽出的学号是什么．‎ ‎【解答】解：根据系统抽样原理得，抽样间隔是=14，‎ 且第一组抽出的学号为4，‎ 那么每组抽出的学号为4+14（n﹣1），其中n=1、2、3、4；‎ 所以第二组抽取的学号为4+14×2=32．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若x≥1且y≥1，则x2≥1，y2≥1，所以x2+y2≥2，故充分性成立，‎ 若x2+y2≥2，不妨设x=﹣3，y=0．满足x2+y2≥2，但x≥1且y≥1不成立．‎ 所以“x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的充分不必要条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+a3+a4=3，则S5=（　　）‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意和等差数列的性质可得a3，再由求和公式和等差数列的性质可得S5=5a3，代值计算可得．‎ ‎【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a3+a4=3，‎ ‎∴3a3=a2+a3+a4=3，即a3=1，‎ ‎∴S5===5a3=5，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，数形结合可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，‎ 事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，‎ 它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，‎ 故所求概率P==，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（　　）‎ A．22 B．46 C．94 D．190‎ ‎【考点】循环结构；设计程序框图解决实际问题．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S值．‎ ‎【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：‎ i S 是否继续循环 循环前 1 1/‎ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 10 是 第三圈 4 22 是 第四圈 5 46 是 第五圈 6 94 否 故输入的S值为94‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为（　　）‎ A． B． C．14 D．‎ ‎【考点】茎叶图；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设每天增加的数量为x尺，利用等差数列的通项公式与前n项公式列出方程求出x的值．‎ ‎【解答】解：设每天增加的数量为x尺，则 一个月织布尺数依次构成等差数列如下：‎ ‎5，5+x，5+2x…，5+29x，‎ 由等差数列前n项公式得 ‎，‎ 解得．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞‎ ‎0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（　　）‎ A．3 B．6 C．3 D．2‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意画出图形，利用⊥及△PF1F2的面积为9列式求得|PF1||PF2|=18．再由勾股定理及椭圆定义即可求得b．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，‎ 又△PF1F2的面积为9，∴，得|PF1||PF2|=18．‎ 在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，‎ ‎∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，‎ 得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．直线x﹣y+3=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长．‎ ‎【解答】解：圆的方程化为（x+2）2+（y﹣2）2=2，‎ ‎∴圆心（﹣2，2），半径r=，‎ ‎∵圆心到直线x﹣y+3=0的距离d==，‎ ‎∴直线被圆截得的弦长为2=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．已知变量x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，0] C．[0，] D．[﹣2，]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：‎ 由z=x﹣y得y=x﹣z，‎ 平移直线y=x﹣z由图象可知当直线y=x﹣z经过点A时，‎ 直线y=x﹣z的截距最大，由，解得A（1，3）‎ 此时z最小为z=1﹣3=﹣2，‎ 当直线y=x﹣z，z经过点B时，z取得最大值，由，可得A（，），‎ 直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大为： =，‎ z的范围为：[﹣2，]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（　　）‎ A．4 B．4 C．4 D．8‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出．‎ ‎【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然S△PCD＞S△ABC．‎ 由三视图特征可知PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=4，DB=2，‎ ‎∴BC=4，∴S△ABC==8，S△PAC==8，S△BCD==4．S梯形PABD==12．‎ ‎∴△BCD的面积最小．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：x+y+a=0与点A（0，2），若直线l上存在点M满足|MA|2+|MO|2=10（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣﹣1，﹣1） B．[﹣﹣1，﹣1] C．（﹣2﹣1，2﹣1） D．[﹣2﹣1，2﹣1]‎ ‎【考点】两点间距离公式的应用．‎ ‎【分析】设M（x，﹣x﹣a），由已知条件利用两点间距离公式得x2+（﹣x﹣a）2+x2+（﹣x﹣a﹣2）2=10，由此利用根的判别式能求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：设M（x，﹣x﹣a），‎ ‎∵直线l：x+y+a=0，点A（0，2），直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，‎ ‎∴x2+（x+a）2+x2+（﹣x﹣a﹣2）2=10，‎ 整理，得4x2+2（2a+2）x+a2+（a+2）2﹣10=0①，‎ ‎∵直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，‎ ‎∴方程①有解，‎ ‎∴△=4（2a+2）2﹣16[a2+（a+2）2﹣10]≥0，‎ 解得：﹣2﹣1≤a≤2﹣1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．若以F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点的双曲线与直线y=x﹣1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据e=，可得a越大e越小，而双曲线与直线相切时，a最大，将直线方程与双曲线方程联立，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，c=3，‎ ‎∴e=，‎ ‎∴a越大e越小，而双曲线与直线相切时，a最大 设双曲线为=1，把直线y=x﹣1代入，化简整理可得（9﹣2m）x2+2mx﹣10m+m2=0‎ 由△=0，解得：m=5，‎ 于是a=，e==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，4小题共20分）‎ ‎13．在△ABC中，A=75°，C=60°，c=1，则边b的长为　　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由已知及三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理可求b的值．‎ ‎【解答】解：∵A=75°，C=60°，c=1，‎ ‎∴B=180°﹣A﹣C=45°，‎ ‎∴由正弦定理可得：b===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点为，则双曲线的方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的渐近线结果的点，可得a，b关系式，利用焦点坐标求出c，然后求解a，b即可得到双曲线方程．‎ ‎【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点，‎ 可得2b=，双曲线的一个焦点为，可得c=，即a2+b2=7，‎ 解得a=2，b=，‎ 所求的椭圆方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是　30　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】由频率分布直方图得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果．‎ ‎【解答】解：由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．‎ 则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人； ‎ 故答案为：30．‎ ‎　‎ ‎16．椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设椭圆的右焦点E．如图：‎ 由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；‎ ‎∵AE+BE≥AB；‎ ‎∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；‎ ‎∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；‎ ‎∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；‎ ‎∴e===．‎ 故答案：．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．‎ ‎（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）求出命题p，q成立时的x的范围，利用充分条件列出不等式求解即可．‎ ‎（2）利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）对于p：A=[﹣1，5]，对于q：B=[1﹣m，1+m]，p是q的充分条件，‎ 可得A⊆B，∴，∴m∈[4，+∞）．‎ ‎（2）m=5，如果p真：A=[﹣1，5]，如果q真：B=[﹣4，6]，p∨q为真命题，p∧q为假命题，‎ 可得p，q一阵一假，‎ ‎①若p真q假，则无解；‎ ‎②若p假q真，则∴x∈[﹣4，﹣1）∪（5，6]．‎ ‎　‎ ‎18．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+‎ z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标 ‎（x，y，z）‎ ‎（1，1，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，2）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（1，2，1）‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标 ‎（x，y，z）‎ ‎（1，2，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，1）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（2，1，2）‎ ‎（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．‎ ‎（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎①用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；‎ ‎（2）①直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；‎ ‎②列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）计算10件产品的综合指标S，如下表 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ S ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，‎ 故该样本的一等品率P=0.6，‎ 从而可估计该批产品的一等品率约为0.6．‎ ‎（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：‎ ‎（A1，A2），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A7），（A1，A9），‎ ‎（A2，A4），（A2，A5），（A2，A7），（A2，A9），（A4，A5），‎ ‎（A4，A7），（A4，A9），（A5，A7），（A5，A9），（A7，A9），共15种．‎ ‎②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，‎ 则事件B发生的所有可能结果为：‎ ‎（A1，A2），（A1，A5），（A1，A7），（A2，A5），（A2，A7），（A5，A7），共6种．‎ 所以P（B）==．‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求|AB|．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆长轴长设出椭圆方程，利用点在椭圆上，求出b，即可得到椭圆方程．‎ ‎（2）设出P，直线l的方程，联立直线与椭圆方程，设出AB坐标，求出线段的长度即可．‎ ‎【解答】解：（1）因为C的焦点在x轴上且长轴长为4，‎ 故可设椭圆C的方程为： +=1（2＞b＞0），‎ 因为点（1，）在椭圆C上，所以+=1，‎ 解得b2=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）由题意直线l的斜率是1，过（，0），‎ 故直线l的方程是：y=x﹣，‎ 由，得：5x2﹣8x+8=0，‎ 故x1+x2=，x1x2=，‎ 故|AB|=|x1﹣x2|=．‎ ‎　‎ ‎20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，‎ 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，‎ ‎∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC ‎∴cosC=，‎ 又0＜C＜π，‎ ‎∴C=；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，‎ ‎∴（a+b）2﹣3ab=7，‎ ‎∵S=absinC=ab=，‎ ‎∴ab=6，‎ ‎∴（a+b）2﹣18=7，‎ ‎∴a+b=5，‎ ‎∴△ABC的周长为5+．‎ ‎　‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．‎ ‎（1）求a1的值，并用an﹣1表示an；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设Tn=+++…+，求证：Tn＜．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）首先利用赋值法求出数列的首项，进一步建立数列an﹣1和an间的联系；‎ ‎（2）利用叠乘法求出数列的通项公式．‎ ‎（3）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．‎ 令n=1时，2S1=3a1﹣1，‎ 解得：a1=1‎ 由于：2Sn=（n+2）an﹣1①‎ 所以：2Sn+1=（n+3）an+1﹣1②‎ ‎②﹣①得：2an+1=（n+3）an+1﹣（n+2）an，‎ 整理得：，‎ 则：，‎ 即：．‎ ‎（2）由于：，‎ 则：，…，，‎ 利用叠乘法把上面的（n﹣1）个式子相乘得：，‎ 即：‎ 当n=1时，a1=1符合上式，‎ 所以数列的通项公式是：．‎ ‎（3）证明：由于：，‎ 所以：，‎ 则： =2（），‎ 所以：…+‎ ‎=+++…++）‎ ‎=2（）=．‎ ‎　‎ ‎22．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）运用向量的加减运算，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m2==1+，再由不等式的性质，可得所求范围．‎ ‎【解答】解：（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），‎ 由题意可得e==，4=4，‎ a2﹣b2=c2，‎ 解得a=2，b=1，c=，‎ 即有椭圆的方程为+x2=1；‎ ‎（Ⅱ）=λ，可得﹣=λ（﹣），‎ ‎+λ=（1+λ），‎ 由+λ=4，可得λ=3，‎ 由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由=3，可得﹣x1=3x2，①‎ 由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，‎ 可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，‎ 即有x1+x2=﹣，x1x2=，②‎ 由①②可得m2==1+，‎ 由1+k2≥1，可得0＜≤3，‎ 即有1＜m2≤4，由于m∈（﹣2，2），‎ 当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立．‎ 可得m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}．‎