数学理卷·2018届江苏省徐州市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届江苏省徐州市高二上学期期末考试（2017-01）

‎2016～2017学年度第一学期期末抽测 高二年级数学试题(理)‎ 参考公式：柱体的体积公式：,其中是柱体的底面面积,是高.‎ 锥体的体积公式：,其中是锥体的底面面积,是高.‎ 圆柱的侧面积公式：,其中是圆柱的底面周长,是母线长.‎ 球体的表面积公式：，其中为球体的半径．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1．命题：，的否定是 ．‎ ‎2．准线方程为的抛物线的标准方程为 ．‎ ‎3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为 ．‎ ‎4．双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为 ．‎ ‎5．若直线与互相垂直，则的值为 ．‎ ‎6．函数的单调减区间是 ．‎ ‎7．在正方体中，与异面且垂直的棱共有 条．‎ ‎8．已知函数，则的值为 ．‎ ‎9．“”是“”成立的 条件．(填“充分不必要”、“必 要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)‎ ‎10．若圆与圆外切，则实 数的值为 ．‎ ‎11．如图，直线是曲线在点处的 切线，则的值等于 ．‎ ‎12．椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在点，‎ 满足，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．‎ ‎13．已知，，是椭圆上的一点，则的最大值 为 ．‎ ‎14．已知函数，，当时 恒成立，则整数最大值为 ．‎ 二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15．(本小题满分14分)在三棱锥中，，平面平面，‎ ‎，分别为的中点．‎ ‎ (1) 求证：∥平面；‎ ‎(2) 求证：．‎ ‎16.(本小题满分14分)已知圆的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分 别为，.(1)求圆的方程； (2)若直线被圆截得 的弦长为，求的值．‎ ‎17．(本小题满分14分)在直三棱柱中，，，‎ ‎ ，点是的中点．‎ ‎(1)求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎ (2)求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎18．(本小题满分16分)某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按 照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容 积为．设圆柱体的底面半径为，圆柱体的高为，瓶体的表面积为.‎ ‎(1)写出关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎(2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度)，‎ 可以使表面积最小，并求出最小值.‎ ‎19.(本小题满分16分)已知二次函数，其导函数 的图象如图所示，函数．(1)求的值； (2)若函数 在区间上是单调增函数，求实数的取 值范围； (3)若对任意，，不等 式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎20.(本小题满分16分)把半椭圆与圆弧 合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点.如图，‎ 分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面 积为. (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于 两点，试将的周长表示为的函数；‎ ‎(3)在(2)的条件下，当的周长取得 最大值时，试探究的面积是否为定值？‎ 若是，请求出该定值；若不是，请求出面积 的取值范围. ‎ ‎2016~2017学年度第一学期期末抽测 高二数学（理）参考答案与评分标准 一、填空题 ‎1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．‎ ‎8． 9．充分不必要 10． 11． 12． 13． 14．‎ 二、解答题 ‎15．（1）因为分别为的中点，所以，…………………………2分 又平面，平面，故平面．……………5分 ‎（2）因为，所以， ………………………………7分 因为平面平面，平面平面，‎ 又，平面，所以平面，…………………10分 因为平面，所以，……………………………………11分 又，，平面，故平面，………13分 因为平面，所以．……………………………………14分 ‎16．（1）由已知可知为圆的直径，故圆心的坐标为，…………………2分 圆的半径，…………………………………………………4分 所以圆的方程是：．………………………………6分 ‎（2）设圆心到直线的距离是，…………9分 据题意得：，…………………………………………………12分 D ‎(第17题图)‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ y x z 即，解之得，或．……14分 ‎17．（1）以为正交基底，建立空间直角坐标 系，则，，，‎ ‎，所以，，…3分 ‎，‎ 所以异面直线所成角的余弦值为．…7分 ‎（2）由（1）可知，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则可得，即，………9分 取，可得，，‎ 故是平面的一个法向量，…………………………………11分 而，设直线与平面所成的角为，‎ ‎，……………………………………13分 所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………14分 ‎18．（1）据题意，可知，得，………………………………………2分 ‎ 　　 ………………………6分 ‎（注：未写出定义域的扣1分）‎ ‎（2），…………………………………………………………………8分 令，得，舍负…………………………………………………10分 ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 极大值 当时，取得极小值，且是最小值……………………………………15分 答： 当圆柱的底面半径为时，可使表面积取得最小值．…………16分 F M P x y Q A2‎ B2‎ A1‎ B1‎ O F ‎(第19题图)‎ ‎19．（1）据题意，扇形的半径即为，所以，‎ 解得，．…2分 ‎（2）不妨取在轴上方，当时，取 的中点，连结，为 椭圆的左焦点，‎ ‎，……………4分 当时，，………………6分 当时，‎ ‎，………………………………………8分 所以………………………………………9分 ‎（3）的面积不是定值．‎ 由（2）可知，当且仅当时，取得最大值，‎ 此时均在半椭圆上，‎ 设的方程为，，‎ 联立，消去并整理得，，………11分 ‎，，‎ ‎ ，………………………………………13分 令，则，记，‎ ‎，所以在上单调增且恒正，‎ 故时，取得最大值，所以，‎ 当时，取得最小值，所以，‎ 故．…………………………………16分 ‎20．（1），由，‎ 解得．……………………………………………………………2分 ‎（2），则，‎ 令，得或，列表如下：…………………………………3分 ‎0‎ ‎0‎ ‎……………………………………………………………………………………5分 因在区间是单调增函数，‎ 所以或，……………………………6分 所以或，‎ 所以实数的取值范围为．…………………………………8分 ‎（3）由在恒成立，‎ 整理得对任意恒成立，‎ 所以应有恒成立，‎ 即对恒成立．………………………………10分 设，‎ 则，‎ 令，得或，列表如下：‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 ‎…………………………………………………………………………………12分 ‎，‎ 所以在的最小值为，又，‎ ‎，‎ 所以实数的取值范围是．…………………………………16分