高考数学专题复习（精选精讲）练习2-函数习题精选精讲
八个《函数》问题
函数是高中数学中重要内容，学习函数时如果概念不清，性质理解不深刻，就会造成许多后遗症，影响后续知识的掌握。下面提出有关的若干疑难问题进行剖析。
一、表达式相同的两个函数是否相同?
很多学生容易把具有相同表达式的两个函数看作同一个函数。其实，由函数的表达式相，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题，例如，f(x)=3x+1与g(x)=3x+1(x∈Z),尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数．
二、定义域和值域分别相同的两个函数是否是同一函数？
有些同学认为，两个函数定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等．其实不然，例如f(x)=x, x∈{0,1},g(x)=(x-1)2, x∈{0,1},这两个函数定义域和值域分别相同，但由于f(0)≠g(0), f(1)≠g(1),即当自变量x取相同值x 0时，f(x 0)≠g(x 0),故f(x)≠g(x)．
事实上，两个函数相等的意义也可叙述成：如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D，且对于任一x 0∈D,都有f(x 0)=g(x 0),那么f(x)=g(x)．
三、两个表达式不同的函数某些同变量函数值是否一定不相等？
两个表达式不同的函数某些同变量函数值不相等，这是一种比较常见的错误看法．例如，f(x)=x, x∈{0,1},g(x)=x2, x∈{0,1},尽管两个函数的表达式不同，但f(0)= g(0)=0, f(1)=g(1)=1．
四、复合函数y =f [g(x)]的定义域与y =f(x)的定义域一致吗？
复合函数的定义域受原函数的定义域制约．
已知函数y=f(x)的定义域为[a,b]，求函数y=f [g(x)]的定义域，是指求满足a≤g(x)≤b的x的取值域范围；而已知y=f [g(x)]的定义域是[a,b]，指的是x∈[a,b]．
五、函数的定义域可以是空集吗？
教材中指出：“设A、B是非空的数集，…”．由此，不存在定义域为空集的函数．当函数存在（给定）时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在．
六．用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变量有何限制？函数定义域如何得到？
可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，否则可能出现一个自变量的值求出两个函数值与函数定义矛盾．这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集．
七．为什么说，函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应被确定？
因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函数解析式就是确定函数关系即定义域到值域的对应法则，在这个法则下，每一个x都有唯一的y与之对应，因此可由定义域确定值域．
八．表示函数的常用方法有几种？各有什么优点？
(1)表示函数的记号是y=f(x)，常用方法是解析法、列表法、图象法．
（2）把函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫做这个函数的解析表达式，简称解析式，用解析法表示函数的优点是①函数关系清楚，②给自变量一个值，可求它的函数值，③便于研究函数的性质．
(3)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系．其优点是不必计算，查表可得到自变量与函数的对应值．
(4)图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系，其优点是直观形象地表示出函数值随自变量的变化规律．
函数解析式
在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知或，求或，或已知或，求或等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。这类题在现行的高中数学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如《目标测试》等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下：
一、定义法：
例1：设，求.
解： =
例2：设，求.
解：设
例3：设，求.
解：
又
故
例4：设.
解：.
二、待定系数法：
例5：已知，求.
解：显然，是一个一元二次函数。设
则
又比较系数得： 解得：
三、换元（或代换）法：
例6：已知求.
解：设则则
例7：设，求.
解：令又
例8：若 （1）
在（1）式中以代替得
即 （2）
又以代替（1）式中的得： （3）
例9：设，求。
解： （1）用来代替，得 （2）
由
四、反函数法：
例10：已知，求.
解：设，则 即
代入已知等式中，得：
五、特殊值法：
例11：设是定义在N上的函数，满足，对于任意正整数，均有，求.
解：由，设得：
即：在上式中，分别用代替，然后各式相加
可得：
六、累差法：
例12：若，且当，求.
解：递推得：
……………………………………
以上个等式两边分别相加，得：
七、归纳法：
例13：已知，求.
解：
………………………………，依此类推，得
再用数学归纳法证明之。
八、微积分法：
例14：设，求.
解：
因此
解析式未给定函数
涉及未给定解析表达式的函数的相关问题通常较难，对同学的基本数学素质要求较高，除了要掌握函数的基本性质之外，还要掌握一定的代数变形方法。本文精选几例给同学们阅读，以期提高同学们的阅读、概括能力，掌握这类问题的解决方法。
【例1】函数对任意、R，都有，并且当时，。
（1）求证：是R上的增函数（2）若，解不等式。
解：设、∈R，且，则，∴。
。
即，∴是R上的增函数。
（2），∴。不等式即为，
∵是R上的增函数，于是，解之得。
【例3】已知定义在R上的函数对任意、R都有
成立，且方程有最小正根c存在。
求证：（1），且是偶函数；（2），且是周期函数；
（3），即是有界函数。
证明：（1）在条件式中令，得解得或。
若，在条件式中令，得，∴，
∴方程的解是任意实数，与“有最小正根”矛盾，∴。
在条件式中令，可得，∴。∴是偶函数。
（2）∵，
∴又∵，而，∴是周期函数。
（3）假设存在R，有成立，则
∴………（*）
但是，∴，与（*）式矛盾.。
∴对任意R，，即是有界函数。
【例4】函数的定义域为R，且对任意，R，有，且当时，。
（1）证明：是奇函数；（2）证明：在R上是减函数；（3）求在区间上的最大值和最小值。
（1）证明：由，得，
∴。又，∴，从而有，
∴，∴是奇函数。
（2）证明：任取，R，且，
则，
∵，∴，∴，∴，即，从而在R上是减函数。
（3）解：由于在R上是减函数，故在上的最大值是，最小值是。
由于，∴
，。从而最大值是6，最小值是。
【例5】设函数定义在R上，对任意实数，，恒有，且当时，。
（1）求证：，且当时，；（2）求证：在R上递减；
（3）设集合，，若，求的取值范围。
（1）证明：在中，令，，得，
∵，∴。设，则，令，，代入条件式有，
而，∴。
（2）证明：设，则，∴。令，，则代入条件式，
得，即，∴，∴在R上单调递减。
（3）解：由，
又由（2）知为R上的递减，∴点集表示圆的内部。
由得点集表示直线。
∵，∴直线与圆相离或相切。于是。
函数值域
求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法．
一、用非负数的性质
例１ 求下列函数的值域：（1）y=-3x2+2;（2）y=5+2(x≥-1).
解：（1）∵x2≥0，∴函数（1）的值域为{y|y≤2}.(2)∵≥0,∴函数（2）的值域为{y|y≥5}.
二、 分离常数法
对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．
例２ 求下列函数的值域：（1）y=（2）y=.
解（1）y=1+,∵0,∴y1,y∈(-∞,1)∪(1,+∞).(2) y==1-.∵x2+1≥1,∴1-≥1-2=-1,且1-＜1，∴y∈[-1,1).
三、利用函数单调性
已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法．
例３ 求函数y=3x-的值域.
解：设g(x)=3x,h(x)= -(x≤),则g(x)，h(x)在公共定义域x∈(-∞, ]上都是增函数，∴f(x)= g(x)+ h(x)在区间(-∞, ]上也是增函数．∵x≤，∴y≤3-=．∴函数y的值域为{y|y≤}．
四、利用判别式
特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用． 例4 求函数y =的最值．
解：由y =，得yx2-3x+4y=0,当y=0时，x=0． 当y0时，由=（-3）2-44y2≥0,得-，∵函数的定义域为R，∴ymin=-,ymax=．
五、利用数形结合
数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外．
例5 若（x+）(y-)=0,求x-y的最大、最小值．
分析：凡需用数形结合的方法来解决的问题，一般题目中都隐藏着形（几何意义）的信息．例如，所给条件无法表示成函数的解析式或不好表示，从题目的叙述中就已表露出曲线与方程的含义等等．
解：∵（x+）(y-)=0，∴（x+）=0或(y-)=0
x
y
即x2+y2=1(x≤0)或 x2+y2=1(y≥0)，令x-y=k,则y=x-k,-k是y=x-k在y轴上的截距，由图易知-1≤-k≤，∴-≤k≤1，∴x-y的最大值为1、最小值为-．
六、利用换元法求值域
有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑．
例6 求函数y=2x-5+的值域．
解：令t=,则t≥0,x=(15-t2),∴y=-t2+t+=-(t-1)2+3.
当t=1,即=1，x=时,ymax=3，故函数的值域为（-∞，3]．
七、利用反函数求值域
因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f-1(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域．
例7 求函数y=(x＞0)的值域．
解：由y=得x=ln(y+),函数y=(x＞0)的反函数为y=ln(x+),其定义域为x＞1，∴原函数的值域为{y|y＞1}.
八、利用已知函数的有界性．
例8 求函数y=的值域.
解：令t=2x2-4x+3=2(x-1)2+1≥1,∴0＜≤1,∴0＜y≤5,即函数y的值域为y∈(0,5].
闭区间上二次函数的最值问题
二次函数问题是近几年高考的热点，很受命题者的青睐，二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数的重要题型之一。本文系统归纳这种问题的常见类型及解题策略。
一、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定
例1. （2002年上海）已知函数，当时，求函数f(x)的最大值与最小值。
解析：时，
所以时，时，
2. 轴定区间动
例2. （2002年全国）设a为实数，函数，求f(x)的最小值。
解析：（1）当时，
①若，则；②若，则
（2）当时，
①若，则；②若，则
综上所述，当时，；当时，；当时，。
3. 轴动区间定
例3. 求函数在区间上的最小值。
解析：
（1）当，即时，；
（2）当，即时，；
（3）当，即时，。综上，
评注：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。
4. 轴变区间变
例4. 已知，求的最小值。
解析：将代入u中，得
①，即时，
②，即时，
所以
二、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。
例5. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。
解析：
（1）若，不合题意。（2）若，则由，得
（3）若时，则由，得综上知或
例6. 已知函数在区间上的值域是，求m，n的值。
解析1：讨论对称轴中1与的位置关系。
①若，则
解得
②若，则，无解③若，则，无解
④若，则，无解综上，
解析2：由，知，则，f(x)在上递增。
所以解得
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
例7. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。
解：（1）令，得
此时抛物线开口向下，对称轴为，且故不合题意；
（2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意；
（3）若，得，经检验，符合题意。综上，或
评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。
函数对称性、周期性
函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
1、 对称性定义（略），请用图形来理解。
2、 对称性：
我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的
探讨：（1）函数关于对称
也可以写成 或
简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。
若写成：，函数关于直线 对称
（2）函数关于点对称
或
简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。
若写成：，函数关于点 对称
（3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。
3、 周期性：
（1）函数满足如下关系系，则
A、 B、
C、或（等式右边加负号亦成立）
D、其他情形
（2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）
如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）
（4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。
一、 两个函数的图象对称性
1、 与关于X轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
2、 与关于Y轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
3、 与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
1、 与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
2、 关于点(a,b)对称。
换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。
3、 与关于直线对称。
简述如何使用函数对称性解题
用函数自身的对称性解题
定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）
推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
一、 用不同函数的对称性解题
定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。
同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
二、 用三角函数图像的对称性解题
函 数
对称中心坐标
对称轴方程
y = sin x
( kπ, 0 )
x = kπ+π/2
y = cos x
( kπ+π/2 ,0 )
x = kπ
y = tan x
(kπ/2 ,0 )
无
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。
一、 举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题）
(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)
例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。
（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选（C）
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
f (x) = －x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =
解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k+
∴x = －,显然取k = 1时的对称轴方程是x = － 故选(A)
例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
函数单调性
单调性是函数的一个基本性质，因为它简单，人们以为这个性质在解题中很少应用，其实该性质仍有广泛的应用，主要用于如下几个方面.
一、 比较两个数的大小
例1 比较的大小.
简析：从题设的两个对数，便联想起在（0，+∞）上是单调函数，因此只要比较两个真数的大小，原题就可获解.
解：由解得x＞–1.当x＞–1时，有.
因函数在（0，+∞）上单调递增，故。
一、 证明与自然数有关的命题
例2 已知x＞-1，且x≠0，，求证：
简析：欲证，需证，可令，通过计算，易知f（n）是单调函数.由此，原命题便迎刃而解.
证明：
构造函数.
是单调递减函数，又，即（1+.
二、 解方程
例3 解方程.
简析：令。显然，在公共定义域里，f（x）是增函数，
g（x）为减函数.直接验证知f（1）= g（1）.以此为基础，用函数f（x）、g（x）的单调性即可求出原方程的解.
解：设.在它们共同的定义域里，f（x）为单调递增函数，g（x）为单调递减函数.
显然f（1）=g（1）且时，有f（x）＞f（1）= g（1）＞g（x）;–2＜x＜1时，有f（x）＜f（1）= g（1）＜g（x）
即原方程f（x）= g（x）仅有一解 x=1 故x=1是原方程的解.
三、 证明不等式
例4 已知 a、b、c，求证：
简析：观察题中的的外表特征，自然会考虑函数f（x）=.显然，此函数在0≤x＜+∞上是增函数.由得出后，原题的证明即能实现.
证明：构造函数，由此可知f（x）在上是单调递增函数.
四、 求参数的取值范围
例5 已知f（x）是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数且0＜θ＜时,
,求t的取值范围.
简析:因已知函数f（x）是奇函数,将已知不等式移项后可得.然后,根据f（x）是减函数又可得.最后，根据它的外形特征可构造函数.易证，它在（0，1）上是减函数.利用此函数的单调性，t的取值范围即可求得.
解：由题设知.
∵f（x）是奇函数，故有∴
∵f（x）在R上是减函数，故有，整理得.
构造函数，它在（0，1）上是减函数，值域为
综上所述 ，用函数单调性解题的关键是，通过观察、分析、联想，构造一个适当的函数，若构造的这个函数的单调性不明显，则需证明它具有单调性（如例2），然后根据函数的单调性去求解或证明. 一．求函数的单调区间及判定函数的单调性
求函数的单调区间，常用以下四种方法。
1.定义法
例1.求函数f(x)=x+的单调区间。
分析：显然x≠0。由于函数f(x)为奇函数，因此先求f(x)在x>0时的单调区间，再由奇函数的对称性求出在整个定义域范围内的单调区间。当0
0，则f(x)为增函数；如果<0，则f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有=0，则f(x)为常数；运用此性质求函数的导函数后再求增减区间，比定义法加方便有效。
4.求复合函数的单调区间
例4.已知y=f(x)是偶数，且在[0,+∞）上是减函数，求f(1-x2)单调增区间。
分析：因为f(x)是偶函数，且在[0,+∞）上是减函数，由偶函数的图象关于Y轴对称的性质，则f(x)在（-∞
，0）上是增函数。令u=1-x2，令u≥0，即1-x2≥0，得0≤x2≤1，已知当x∈[-1,0]时u是增函数，在x∈[0,1]时u是减函数，又知f(u)是减函数。当x[-1,0]时f(1-x2)是减函数在x∈[0,1]上是增函数。
点评：复合函数的单调性遵循“同增异减”原则。即构成复合函数的两个函数中，若两个均为增或减函数，则复合函数为增函数；若两个函数中一个为增另一个为减，则复合函数为减函数。
二．利用函数的单调性解不等式
例5.设f(x)在R上是偶函数，在区间（-∞,0）上递增，且有f(2a2+a+1)0，3a2-2a+1=>0，且f(2a2+a+1)3a2-2a+1,解之，00对一切正实数t成立，求实数k的取值范围。
分析：由已知f(klog2t)+f(log2t-lo-2)>0，由于f(x)为奇函数，则f(klog2t) >-f(log2t-lo-2)，又由于函数f(x)是R上的单调函数，分两种情况：（1）若递增，则klog2t>log2t-lo-2，即lo-(k+1) log2t+2<0，此式不可能对一切正实数t成立，舍去；（2）若递减，则klog2t0，对一切正实数t成立，则Δ<0，解得。
点评：本题与题型二中例五比较，实际上是已知不等式的解集逆求不等式中参数的取值范围；去掉函数符号的过程与例5类似。
高考题中复合函数的单调性问题
函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .为了帮助考生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合高考题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，供考生在复习中参考.
一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：
例1 (95·全国·理)已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+∞)
解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，
∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，
∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，
令g(x)= 2-ax，由{ ，解得a<2，∴10知函数的定义域为x≠0，
因y= log0.5u在u∈(0,+∞)上是减函数，而u= x2+4x+4在x∈(-∞，-2)上是减函数，
在(-2，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，
函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x∈(-∞，-2)上是增函数.
三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：
例3 (96·全国·理)在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )
(A).[，π] (B).[0，] (C).[-π，0] (D). [，]
解：令y=sinu，u=x+，∵y=sinu在u ∈[2kπ- ，2kπ+ ](k∈Z)上单调递增，
在u ∈[2kπ+ ，2kπ+ ](k∈Z)上单调递增，而u=x+在R上是增函数，
根据函数单调性的复合规律，由2kπ- ≤x+≤2kπ+ 得
2kπ- ≤x≤2kπ+，当k=0时，- ≤x≤，而[0，]∈[- ，]
故选(B) .
四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：
例3 (89·全国·理)已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ( )
(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；
(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.
解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则
(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈(-∞，1]上是增函数，与u=2-x2具有相同的增减性，
由2-x2≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈(-∞，-1]上是增函数，u在x∈[1,+∞)上是减函数，
∴g(x)在区间(-∞，-1]上是增函数, 在区间[1，+∞)上是减函数.
(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈[1,+∞)上是减函数，与u=2-x2具有相反的增减性，由2-x2≥1得 -1≤x≤1，而u=2-x2在x∈ [-1,0] 上是增函数，在x∈(0， 1)上是减函数，∴g(x) =-(u-1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1)上是增函数.故选(A).
函数奇偶性
判断函数奇偶性，是近年来高考和高中数学竞赛命题的一个重要内容.本文介绍几种判断函数奇偶性的常用方法.
一、 定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
例1 判断函数的奇偶性.
解：函数的定义域关于原点不对称，∴函数为非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
例2 若函数，则
A．f(x)是偶函数，而g(x)是奇函数；B．f(x)是奇函数，而g(x)是偶函数；C．f(x)和g(x)都是奇函数；D．f(x)和g(x)都是偶函数.
解：
三、 利用
在函数f(x)的定义域关于原点对称的前提下，若f(x)+ f(-x)=0，则f(x) 为奇函数；若f(x)- f(-x)=0，则f(x)为偶函数.
例3 判断函数的奇偶性.
解：为奇函数.
一、 利用
在函数f(x)的定义域关于原点对称的前提下，若，则f(x)为偶函数；若，则f(x)为奇函数.
例4 判断函数f(x)= 的奇偶性.
解：当时，
·
=即
当时，为奇函数.
函数奇偶性
函数的奇偶性是函数的重要性质，也是高中数学教学中的重要内容．如何让学生理解函数的奇偶性并能灵活应用，使每位数学教师不断探讨的问题．本文就几个方面谈几点看法．
1 判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．
例1：判断函数f(x)=的奇偶性．
解：函数f(x)的定义域为R∵f(x)+ f(-x)= +==0
∴f(-x) = －f(x)∴函数f(x)=的奇函数．
2 对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．
即 f(x)=[F(x)+G(x)] 其中F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)－f(-x)
利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．
例2 定义在R上的函数f(x)=，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)．
解：∵f(x)= ∴g(x)= f(x)+ f(-x)= +=
h(x)= f(x)－f(-x)= －=
3 由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；
（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．
例3 若函数f(x)= g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性．
解：设h(x)= ，则h(-x)= =－h(x) ∴h(x)= 是奇函数
∵f(x)= g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零， ∴g(x)为奇偶性．
4 利用函数奇偶性可求函数解析式．
例4 已知偶函数f(x)的定义域为R，当x≥0时，f(x)=，求f(x)的解析式．
解：设x＜0，则－x＞0 ∴f(－x)==
∵f(x)为偶函数 ∴f(x)= f(－x) ∴f(－x)= f(x)= 既f(x)= （x＜0) ∴f(x)=．
奇偶性解题
函数奇偶性是函数的重要特征之一，它充分地体现了变量间的辩证统一关系.从数、形上揭示了函数的对称性.在解题教学中，深挖题目隐含条件，依据奇偶函数的性质，使一些问题独辟蹊径，解法简单化，有柳暗花明又一村之感.
一、 利用函数奇偶性求函数值
例1 已知f（x）求f(x).
评注：挖掘f(x)隐含条件，构造奇函数g(x)，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.
二、 利用函数奇偶性证明整除问题
例2 试证
是整数.
上例可推广为：设m、n为自然数，证明是整数.
证明：令，故f(x)是x的奇次幂的整系数多项式，那么是整数.
评注：本证明构造奇函数f(x)，利用奇函数性质得出证明，比利用二项式定理证明简捷.
三、 利用函数奇偶性，解有关方程问题.
例3 当实数k取何值时，方程组有惟一实数解.
解：观察方程组中每个方程特点，以-x代替x，方程组不变，若也一定是它的解，而方程组有唯一解，必有x0=0，即唯一解的形式应为（0，y0）代入方程组得：解得
评注：用函数的观点来研究方程，应用函数的奇偶性，找出解决问题的突破口.
一、 利用函数奇偶性证明不等式.
例4 设a是正数，而是XOY平面内的点集，则的一个充分必要条件是（1986年上海中学生竞赛题）.
证明：考查，以–x替换x ，–y替换y, A、B不变.从而知A、B关于x轴，y轴对称.故只研究第一象限中A、B关系即可.
即：.
函数问题常见错误透析及对策
一、求定义域和用定义域中的问题
许多同学在学习函数这一内容时，只注意记住函数的解析式，会运用函数的一些性质，对函数的三要素(定义、值域、解析式)，只抓住一个要素，因此，在解题中错误百出。特别是定义域 ，在任何时侯都不要忘记，否则，将出许多错误。
例1如图，用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的一边长为2,求此框架围成的封闭图形的面积与的函数关系。
错解：由题意得
ｙ＝ ＋
=
=
原因分析：本题写的是函数关系，因此，还要写出它的定义域 ，由得。补上定义域就对了。
对策：在解函数题 时一定要注意定义域 ，特别在解应用题时，定义域还与实际问题有关。有的同学只考虑解析式有意义的范围，这是不对的。
二、在求值域中的错误
例2 求函数的值域
错解：令则
， （1）
关于t的方程（1）应有实数解，得，即
原因分析：应用 只保证方程(1)在实数范围 内有解，而本题要求方程(1)是在[-1,1]内有解。上面解法忽略了。
正解:令则[-1，1]，
当时[-1，1]；
当时，=0 (2)
设若在[-1,1]内有一解，则且若(2)在[-1，1]有两解，则得综上所述为求值域
对策：在初中经常说错的话是“某方程无解”正确的说法是“方程无实数解”，在高中方程的解的情况常与范围有关，特别是隐含的范围，求值域若用判别式法，要考虑方程在什么范围内有解。
例3 求函数的值域
错解：由 得
(*)
，当 时， 不满足原方程 ,取不到.
原因分析：(1)判别式大于或等于零只能使(*)有实数解，而原方程 要求有大于1的实数解。
(2)对进行平方时产生了增根。与不同解。
正确解法：令 则
时
对策：求值域一般跟据函数的类型，选用不同的求法，判别式法常用在如的类型 。含有根号的函数一般用换元法。
三 判定函数奇偶性中的错误
例4 ：判断函数的奇偶性
错解：而是奇函数，是奇函数。
原因分析：一个函数是奇函数还是偶函数的必要条件是定义域关于原点对称。若不对称，则为非奇非偶函数。上题错解是因为：一是不考虑定义域 ，二是原函数与不是同一函数。
正确解法：由得的定义域 为｛∣或｝它不是关于原点对称的区间，所以为非奇非偶函数
防错对策：函数的奇偶性是在整个定义域内的性质，判断函数的奇偶性必先看定义域是否关于原点对称，小心 错误，如 是一个奇函数。
四 学习函数单调性中的错误
(1) 认识概念的误区：误认为单调性一定在整个定义域内考虑，实际上单调性是指定义域中某个区间内的性质，这个区间可能是定义域 ，也可能不是。
例5：求函数的单调区间
错解 ：设，且，则 (*)
因为不能确定它的符号，所以，无单调区间。
原因分析：在整个定义域内不能定它的符号，但是在较小的区间内可以定它的符号。
正确解法：(*)式的符号由确定，当［-1，1］时函数递增，和都递减。
对策：判定或证明单调性要注意步骤，也要注意区间，有时要分成小区间讨论。同时上式也不能写成在上递减。
(2)复合函数单调性的判定
例6 求函数㏒的单调区间
错解：令㏒，因为㏒在上是减函数，
在上是减函数，在是增函数。
所以 函数㏒在上是减函数，在上是增函数原因分析：未注意
正确解法：由已知得 且在上是减函数，在上是增函数，所以，函数㏒在上是增函数，在是减函数。
对策：求函数的单调性，方法这里不讲，特别注意函数的定义域 M与函数的值域 D之间的关系是DM
(3)“组合函数”中的问题
从函数与的单调性，不能完全确定+, /, 不要想当然地用某些未证明的结
例如在R上都是增函数，但是，+=在R是增函数，=在R 是减函数，=与/=在R 上不能确定。因此，这问题必须具体问题具体分析。
五 求函数周期性中的问题
1 学习定义的误区：一方面是对定义的理解不透，二方面是误认为只有三角函数才是周期函数
例7 设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有
（1）设求 (2) 证明是周期函数
错解：有的学生认为没有哪个三角函数满足，不会证明。这些学生认为只有三角函数才是周期函，因为在三角函数部分才讲周期性。
有的学生错解：因为函数图象关于对称，且是偶函数，得 ，所以函数是周期函数T=2。
原因分析：周期定义中的，是定义域中的任意一个数，这里取持殊值 。
正确解法：因为函数的图象关于直线对称，所以 又 所以是R 上的周期函数，且2是它的一个周期。
对策：一定要彻底理解周期的定义，对周期性与对称性的关系参看相关文章的论述。
2 、求最小正周期的误区
例8 求函数 的最小正周期
错解：因为函数与函数的最小正周期都是p ，因此，函数的最小正周期是p 。
原因分析：乱用一些没证明的结论。
正确解法：因为 所以 它的最小正期为。
对策：按大纲要求，只要“了解周期函数和最小正周期的意义，会求函数的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期”就可以了。不要乱用没证明的结论
函数应用题归类分析
我们已经学过一次函数、二次函数及分段函数，应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题，现归类如下。
一 能解决利润最大或效益最高问题
例1、某售货点，从批发部批发某一种商品的进价是每份0.35元，卖不掉的商品还要以每份0.08元的价格退回批发部，卖出的商品的价格是每份0.5元，在一个月（30天）中，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，假设每天从批发部买进的商品的数量相同，则每天从批发部进货多少才能使每月所获得利润最大？最大利润是多少？
分析：每月的利润=月总收入—月总成本，而月总收入有三部分：可每天卖出400份共20天的收入；可每天卖出250份的共10天的收入；没有卖出而退回批发部的商品的收入。
解、设每天从批发部买进的数量为份，易知
设每月的纯收入为元，则由题意，得
因为一次函数在区间上为增函数，所以当时，函数取得最大值： （元）
答；当每天从批发部进货400分时，每月所获得利润最大，最大利润是1170元。
点评：本题是一次函数模型的应用，对于利用一次函数来求最值，主要是利用其单调性来解决。
例2、旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？
解、设旅游团的人数为人，飞机票为元，依题意，
得当时，；当时，；
所以所求函数为
设利润为，则
当时，，
当时，，
所以当时， ，
答：当旅游团人数为人时，旅行社可获得最大利润元。
点评：本题是由一段一次函数、一段二次函数构成的分段函数的最值问题，对于分段函数的最值，应先在各自的定义域上求出各段的最值，然后加以比较，最后确定出最值。
二 能帮助选择最佳方案
例3、某企业买劳保工作服和手套，市场价每套工作服53元，手套3元一副，该企业联系了两家商店，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：
商店一：买一赠一，买一套工作服赠一副手套。商店二：打折，按总价的95℅收款。
该企业需要工作服75套，手套若干（不少于75副）。若你是企业的老板，你选择哪一家商店省钱。
分析：解决此问题的方法是先建立优惠条件的函数关系式，然后比较，当取相同值时，哪种函数值小，则哪种优惠条件最省钱，就选哪一家商店。
解、设需要手套副，付款数为元，
商店一的优惠条件：
商店二的优惠条件：℅=
令，即，解得
即购买了175副手套时，两商店的优惠相同，令
当 时 ，即，应选择商店一省钱。当时，即，应选择商店二省钱。
综上可知：当麦175套手套适量商店的优惠相同，当买的手套数多于75而少于175时，选商店一省钱，当买的手套数多175时，选商店二省钱。
点评：给出几种方案，通过计算比较，确定出最佳方案是这类问题的特点。
三 涉及几何问题中的最值
例4、某单位计划用围墙围出一块矩形场地。现有材料可筑墙的总长度为。如果要使围墙围出一块矩形场地的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？
分析：若设矩形的长为，则宽为，从而矩形的面积为，是关于的二次函数。
解、设矩形的长为，则宽为，从而矩形的面积为
（）
由此可得，函数在时取得最大值，且，这是矩形的宽为
即当这个矩形的边长为时，所围成的面积最大为，此时矩形为正方形。
点评：对于求几何最值问题，应先建立函数关系式，然后再对函数求最值，还要回扣几何问题，特别应注意的是不要忽略定义域。
四 解决图表问题
例5、如图所示是一次舞会的盈利额同收票数之间的关系图（其中保险部门规定：人数超过150人的时候，须交纳公安保险费50元），请你写出它的函数表达式，并对图像加以解释。
P(n)
·200
·100
·50
· · n
100 150 200
-100·
-200 ·
解、从途中观察的：
当时，图像通过和两点，则此时表达式为
当时，图像右端点通过 左端点趋于点，则此时表达式为
综上所述，得
从不同角度剖析图像，可以得到不同地解释。
（1）当售票为零时舞场正常开放，要交付水电费、器材费等200元；（2）当时，可达到不赔不赚，当时，要赔本；
（3）当时，利润与售票数呈直线上升，时，达到最大值100元；
（4）当时，利润没有时多，即人数超过166人时，利润才能超过100元；（5）人数达到200人时，利润可达到最大值200元。
点评：据图像建立关系式，再根据定义域与函数的单调性，将数学语言转化为实际问题中的个中情况进行解决。
反函数问题
函数与其反函数是一对对立而又统一的事物。对函数的反函数的研究，不仅丰富了函数的内容本身，而且对于更好的理解事物的对立统一也具有哲学意义。在高考中，对反函数的考察是作为对函数知识考察的一个十分重要的内容，常以下列题型出现：
一． 求函数的反函数
1.求一般函数的反函数的基本步骤
例1.求函数的反函数。
分析：由知y2=1-x2(-1≤y≤0)，则x2=1-y2，由于-1≤x≤0，所以x(-1≤y≤0)，所以反函数为。
点评：由反函数的定义，求反函数的定义，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y)；（2）交换x=Ф
(y)中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）。
2.求分段函数的反函数
例2.求函数的反函数。
分析：由y=x2，得x= -，即y=x2(x<0)的反函数为y= -(x>0)；由y=（x≥0）的反函数为y= -2x（x≤0）。因此原函数的反函数为y=
点评：分段函数要分段求，最后再用分段函数形式表示出来。
一． 利用反函数的概念求函数值
例3.若f(2x-1)=x+1，则= 。分析：令x+1=2，则x=1，则2x-1=1即f(1)=2，因此=1.
点评：此题是否不必有求反函数的解析式呢？由上解答看出是不必要的。充分利用反函数的性质：f(a)=b即可解决此类问题。
二． 求原函数与其反函数的交点
例4.若f(x)=与都过（1，2）点，则f(x)与图象交点的个数为 个。
分析：解方程组解得a=-3,b=7，则f(x)=。由f(x)与的图象关于直线y=x对称知f(x)与均过（2，1）点，又因为2条曲线与y=x交点也是同一点，故共有3个交点。
点评：函数f(x)与的交点若为（a,b），则点（b,a）也为它们的交点；
三． 利用函数与其反函数的图象的对称性
例5.函数f(x)=，的单调减区间是 。
分析：（1）设u=4-x2，=，令u>0，4- x2>0，得-20，即f(x)在正实数集上是增函数，则f(x)有反函数，且x>0时，，即的定义域为R，则y=解得，，所以=（x∈R）；（2）过程略。经过点（0，1）；无交点（3）解集为空集。
点评：函数有反函数的一个充要条件是函数严格单调。因此判断函数有无反函数，只需证明函数在定义域内是严格单调增或严格单调减即可。
练习：
1.求函数y=x -2(x<0)的反函数。2.若f(x)=lnx，求。
3.函数y=-f(x)与y=-的图象关于 对称。答案：1. 2. 3.y=-x
谈谈函数与方程的思想方法
函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。
下面就结合2005年的高考试题，说明如何运用函数与方程的思想方法去分析和解决问题。
例1. 设不等式对满足的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围。
解析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度以m为主元，记，则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在区间[－2，2]内恒负时参数x应该满足的条件。
要使，只要使 即
从而解得。
评注：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征（一条线段），解法易懂易做。如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。
例2. 设，且，，求a＋b的值。
解析：由已知两式结构的相似性，联想到相应函数
令，则是奇函数，且是增函数。这样，已知是，
， 得， 则有
从而，所以。
评注：本例由已知式构造函数，再巧用奇偶性和单调性，解法奇妙。选取变元，构造函数关系来解决数学问题，这是运用函数思想解题的较高层次，只有平时多加训练并注意积累，才能做到运用自如。
，其中，如果当时，f(x)有意义，求a的取值范围。
解析：二次函数及图象、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的，许多问题都可以利用它们来解决，只要进行合理的转化就可以了。
可知， 即当时恒成立。
而都是减函数，则在上是增函数。
故当x＝1时，g(x)取得最大值是， 从而得a的取值范围是。
评注：本例采用分离参数法，再构造函数，使不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，方向明确，解法简捷。在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，利用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种适当的解题途径。这充分体现了方程思想和函数思想的实用性和重要性。
例4. 如果函数的最大值是4，最小值是－1，求实数a、b的值。
解析：由y的最大值是4，知存在实数x使＝4，即方程有实根，故有
又由y的最大值是4，知对任意实数x恒有， 即恒成立，
故 从而有 同样由y的最小值是－1，可得
由，可解得。
评注：本例解法中，对题设中给出的最值，一方面认为是方程的实数解，另一方面又认为是不等式的恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻，所以构思新颖，证法严谨。
例5. △ABC的三边a，b，c满足b＝8－c，，试确定△ABC的形状。
解析：因为b＋c＝8，， 所以b，c是方程的两实根，
即，所以a＝6。从而得b＝c＝4，因此△ABC是等腰三角形。
评注：构建一元二次方程的模型解决数学问题，是一种行之有效的手段，其独特功能在于充分运用构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题，从而使问题获得圆满解决。
例6. 设函数，其中。
（1）若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值； （2）若f(x)在上为增函数，求a的取值范围。
解析：（1）
因f(x)在x＝3时取得极值， 所以 解得a＝3
经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点。
（2）令＝ 得
当a＜1时，若，则（x）＞0，所以f(x)在（）和（1，＋）上为增函数，故当时，在（，0）上为增函数。
当时，若，则，所以在（－，1）和（a，＋）上为增函数，从而f(x)在（－，0]上也为增函数。
综上所述，当时，f(x)在（－，0）上为增函数。
评注：三次函数在求导之后，导函数成为二次函数，而二次函数、二次不等式、二次方程三者之间是相互依存的，利用它们可以将问题进行转化，使二次方程的解与函数的极值相关，二次不等式的解与函数的单调性相关。
总之，函数与方程涉及的知识点多、面广，函数与方程的思想方法是中学数学中十分重要的一种思想和方法，也是高考中考查的重点。因此，我们要重视和学会运用这一方法去分析问题、转化问题和解决问题，强化函数与方程的思想方法的应用意识和基本训练，以适应高考新的变化和要求。
例析二次函数图象性质的运用
与二次函数相关的题目是高考的热点题型，充分利用二次函数图象的性质，从形象直观到理性思考，能找到较为简捷的解题思路。下面从不同侧面入手，介绍几种常见类型的解题思路。
一、图象的位置
根据题意考察结合条件的二次函数图象的位置，以形助数列出不等式易求解。
例1. 若二次函数在区间内至少存在一点c，使，求实数p的取值范围。
分析1：依题意有或
即或解得或所以
分析2：（补集法）问题的反面即抛物线在内位于x轴下方（含与x轴的交点）。
令且，得且求得或求其补集得符合题意的解是
二、图象的对称轴
二次函数图象的对称轴是二次函数的重要几何特征，除轴对称的关系外，还有图象顶点的横坐标这一几何量。灵活运用这些知识来解题，效果甚好。
例2. 已知a>0，函数（I）当b>0时，若对任意，都有，证明。
（II）当b>1时，证明对任意，的充要条件是；（III）当时，讨论对任意的充要条件。
解：（I）因为对恒成立，且
所以
又f(x)图象过原点且对称轴，故时，恒成立的充要条件为
或
（II）当时，因，故<1>的解集为空集，而<2>的解等价于
（III）当时，由<1>得，因，且，由<2>得，故时，的充要条件是。
三、与x轴的交点
当二次函数的图象与x轴相交时，利用交点所在位置，根据范围列式，可获简解。
例3. 关于x的实系数二次方程的两实根为，证明：
（1）如果，那么且；
（2）如果且，那么。
分析：所证两个小题，即证且的充要条件是且。若令，则问题转化为求证抛物线与x轴的两个交点落在区间内的充要条件是且，故。
由<1><2>，从而，且
四、在x轴上截得的弦
二次函数的图象抛物线截x轴所得的弦长为
运用此公式是解决有关弦长问题的重要手段。
例4. 已知二次函数，其中且。
（1）求证此函数的图象与x轴交于相异两点；
（2）设函数图象截x轴所得的线段的长为L，求L的取值范围。
略解：（1）因为且，则，所以，故，即函数图象与x轴交于相异两点。
（2）设函数图象与x轴两交点为，则
又且故，则有
而在上是单调减函数，则故
五、函数图象的顶点位置
二次函数图象的顶点即二次函数的最大值或最小值点，而在闭区间上的最值问题必须根据顶点的位置变化来讨论解决。
例5. 已知函数，当时，恒成立，求a的取值范围。
分析：若恒成立，即有f(x)在上的最小值。
收于下面按对称轴与定义域的位置关系分类求解。
（1）当，即时，，解得，则。
（2）当即时，，得，则。
（3）当，即时，，得，与矛盾，舍去。综上所述，得。
六、函数单调性
二次函数的单调性是比较简单的，根据其单调区间的判定，可获得函数取最值的情况，从而可列式来判断参数的取值。
例6. 已知且
（1）设，求的表达式；
（2）设，试问：是否存在实数，使在上是减函数并且在上是增函数。
分析：（1）由得即
则
若设，则
要使在上是减函数并且在上是增函数，即要使h(t)在上单调递减，
在上单调递增根据二次函数单调性，知是对称轴，故有得
即存在实数满足题意。
