数学（理）卷·2018届内蒙古赤峰二中高二上学期期末考试（2017-01）

数学（理）卷·2018届内蒙古赤峰二中高二上学期期末考试（2017-01）

赤峰二中（2015级）2016-2017学年度上学期期末考试 数学(理科)试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（ ）‎ ‎2 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）.‎ ‎ A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于 C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于 ‎3已知复数z1＝的实部为a，复数z2＝i(2＋i)的虚部为b，复数z＝b＋ai的共轭复数在复平面内的对应点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4下列说法中正确的是( )‎ ‎ A．若pq为真命题，则p，q均为真命题 ‎ B．“a≥5”是“恒成立“的充要条件 ‎ C．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的必要不充分条件 ‎ D．命题“”的否定是“”‎ ‎5若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程式为,则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．或 B．或3 C. D．‎ ‎6参数方程 表示（ ）‎ A．抛物线的一部分，这部分过 B. 抛物线的一部分，这部分过 C.双曲线的一支，这支过点 ‎ ‎ D. 双曲线的一支，这支过点 ‎ ‎7已知复数，　　则的最大值是　　( )‎ A.　 　 B. 　 C.＋２　 　D.‎ ‎8两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（ ）‎ A.48，49 B.62，63 C.75，76 D.84，85‎ ‎9用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C． D． ‎10曲线y=的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为 焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A B C D ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）‎ ‎13计算　＋＝____________.‎ ‎14在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，圆的极坐标方程是 .‎ ‎15设为正整数，，计算得，，，，观察上述结果，按照上面规律，可以推测 ．‎ ‎16已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=_______________.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，其中17题10分，其它每小题12分；）‎ ‎17（本小题满分10分）[来 源:在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求和的极坐标方程；‎ ‎(2)已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点，与交于两点，求取最大值时点的极坐标.‎ ‎18（本小题满分12分）[来 源:在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为． ‎ ‎（1）求的普通方程和的倾斜角；‎ ‎（2）设点，和交于两点，求 ‎19（本小题满分12分）[‎ 数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N)．‎ ‎(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．‎ ‎20（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，侧面底面,,为中点，底面是直角梯形，,，,．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）设为棱上一点，,试确定的值使得二面角为．‎ ‎21（本小题满分12分）[来 源:已知椭圆C：的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程;‎ ‎（2）已知点A,B为动直线与椭圆C的两个交点,问:在轴上是否存在定点E,使得为定值?若存在,试求出点的坐标和定值;若不存在,请说明理由.‎ ‎22（本小题满分12分）[‎ 已知函数 (为自然对数的底）, (,),‎ ‎ ⑴ 若 ，.求在上的最大值的表达式；‎ ‎ ⑵ 若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；‎ ‎ ⑶ 若，,求使得图像恒在图像上方的最大正整数.‎ 赤峰二中2015级2016-2017学年上学期期末考试理科数学参考答案 一、选择题： 1.B 2. B 3.D 4. D 5.A 6.A ‎ 7.C 8.D 9.B 10.A 11C 12.C 二、填空题：13. -1; 14. ; 15. 6 ; 16..‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（1）曲线的直角坐标方程为，所以极坐标方程为 曲线的直角坐标方程为，所以极坐标方程为 4分 ‎（2）设点极坐标为，即 点极坐标为 即 则=‎ ‎ 8分 ‎，，‎ 当即时取最大值，此时极坐标．10分 ‎18解：（1）由消参可得，根据极坐标与普通方程的互化，，代入化简得：，；点在直线上，可设代入椭圆方程化简得：，则，，又故．‎ ‎19[证明]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；‎ 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；‎ 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.‎ 由此猜想an＝(n∈N)‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，‎ ‎②假设n＝k(k≥1，且k∈N)时结论成立，‎ 即ak＝，‎ 当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak ‎∴ak＋1＝＝，‎ ‎∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N，an＝成立 ‎20试题解析：‎ ‎ （1）令中点为，连接，AF ‎ 点分别是的中点， ,.‎ 四边形为平行四边形. ‎ ‎,平面, 平面 ‎ ‎ ‎（2）在梯形中,过点作于,‎ 在中，,.‎ 又在中，,,‎ ‎,‎ ‎. ‎ 面面,面面,,面, ‎ 面, ‎ ‎, ‎ ‎,平面,平面 平面, ‎ 平面, ‎ 平面平面 ‎ ‎（3）作于R，作于S，连结QS 由于QR∥PD，∴ ‎ ‎∴∠QSR就是二面角的平面角 ‎∵面面，且二面角为 ‎∴∠QSR= ∴ ‎ ‎∵QR∥PD ∴‎ ‎∴ ‎ ‎21.解答.(1)由得,即 ① ………1分 又以原点O为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆为 且与直线相切,‎ 所以代入①得c=2, ………2分 所以.所以椭圆C的标准方程为 ………4分 ‎(2)由得 ………6分 设A(x1,y1)、B(x2,y2),所以 ………8分 根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),‎ 使得为定值.‎ 则 ‎ ………9分 ‎=要使上式为定值,即与k无关,, ………10分 得. .………11分 此时, ,所以在x轴上存在定点E(,0) 使得为定值,且定值为. ……12分 ‎22. (1)时，,‎ ‎;‎ ‎①当时，，在上为增函数，此时，‎ ‎②当时，，在上为增函数，‎ 故在上为增函数，此时…………………………………2分 ‎③当时，，在上为增函数，在上为减函数，‎ 若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，‎ 此时………………………………4分 若，即时，在上为增函数，则此时，‎ 综上所述： ………………………………5分，‎ ‎（2），，‎ 在上单调递减，在上单调递增，…………… 6分 在上恰有两个相异实根，‎ ‎，‎ 实数的取值范围是，…………………………………8分 ‎（3）由题设：,，（）‎ ‎，故在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎（），‎ 设，则，‎ 在上单调递增，在上单调递减，…………………………10分 而，‎ 且，‎ 故存在，使，‎ 且时，，时，，‎ 又，，‎ 时，使的图像恒在图像的上方的最大整数………………12分.‎