2020全国新高考培优高考仿真模拟（一）文科数学（解析版）
2020 高考仿真模拟(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 U 为实数集 R，已知集合 M＝{x|x2－4>0}，N＝{x|x2－4x＋3<0}，则图中阴影
部分所表示的集合为( )
A．{x|x<－2} B．{x|x>3}
C．{x|1≤x≤2} D．{x|x≥3 或 x<－2}
答案 D
解析 由题可得 M＝{x|x2－4>0}＝{x|x>2 或 x<－2}，N＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1
f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2)
C．f(e)>f(2)>f(3) D．f(e)>f(3)>f(2)
答案 D
解析 f(x)＝ln x
x
，f′(x)＝1－ln x
x2
，令 f′(x)＝0，解得 x＝e，当 x∈(0，e)时，f′(x)>0，
函数 f(x)单调递增，当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减，故 f(x)在 x＝e 处取得最
大值 f(e)，f(2)－f(3)＝ln 2
2
－ln 3
3
＝3ln 2－2ln 3
6
＝ln 8－ln 9
6 <0，∴f(2)f(3)>f(2)，
故选 D.
6．公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为
方．如图，以 O 为圆心的大圆直径为 1，以 AB 为直径的半圆面积等于 AO 与 BO 所夹四分之
一大圆的面积，由此可知，月牙形(图中阴影部分)区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现
在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是( )
A. 1
3π B. 1
2π＋1 C. 1
π＋1 D. 2
π
答案 B
解析 阴影部分的面积等于 π
16
－
π
16
－1
2
×1
2
×1
2 ＝1
8
，所以根据几何概型得阴影所示月牙形
区域的概率 P＝
1
8
1
8
＋π
4
＝ 1
1＋2π.故选 B.
7．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1
2
，a2a6＝8(a4－2)，则 S2020＝( )
A．22019－1
2 B．1－
1
2 2019
C．22020－1
2 D．1－
1
2 2020
答案 A
解析 由等比数列的性质及 a2a6＝8(a4－2)，得 a24＝8a4－16，解得 a4＝4.又 a4＝1
2q3，故 q
＝2，所以 S2020＝
1
2
1－22020
1－2
＝22019－1
2
，故选 A.
8．将函数 y＝2sin x＋π
3 cos x＋π
3 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函
数恰为奇函数，则φ的最小值为( )
A. π
12 B.π
6 C.π
4 D.π
3
答案 B
解析 根据题意可得 y＝sin 2x＋2π
3 ，将其图象向左平移φ个单位长度，可得 y＝
sin 2x＋2π
3
＋2φ 的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π
3
＋2φ＝kπ(k∈Z)，φ＝
kπ
2
－π
3(k∈Z)，又φ>0，所以当 k＝1 时，φ取得最小值，且φmin＝π
6
，故选 B.
9．设 a＝log2018 2019，b＝log2019 2018，c＝2018 1
2019
，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
答案 C
解析 因为 1＝log20182018>a＝log2018 2019>log2018 2018＝1
2
，b＝
log2019 201820180＝1，故 c>a>b，故选 C.
10．已知函数 f(x)＝x3－2x＋1＋ex－1
ex
，其中 e 是自然对数的底数．若 f(a－1)＋f(2a2)≤2，
则实数 a 的取值范围是( )
A.
－1，3
2 B.
－3
2
，1
C.
－1，1
2 D.
－1
2
，1
答案 C
解析 令 g(x)＝f(x)－1＝x3－2x＋ex－1
ex
，x∈R.则 g(－x)＝－x3＋2x＋1
ex
－ex＝－g(x)，∴
g(x)在 R 上为奇函数．∵g′(x)＝3x2－2＋ex＋1
ex
≥0－2＋2＝0，∴函数 g(x)在 R 上单调递增．
∵f(a－1)＋f(2a2)≤2 可化为 f(a－1)－1＋f(2a2)－1≤0，即 g(a－1)＋g(2a2)≤0，即 g(2a2)≤
－g(a－1)＝g(1－a)，∴2a2≤1－a，即 2a2＋a－1≤0，
解得－1≤a≤1
2.∴实数 a 的取值范围是 －1，1
2 .故选 C.
11.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则
球与圆锥的表面积之比为( )
A.2
3 B.4
9 C.2 6
9 D. 8
27
答案 B
解析 设圆锥底面圆的半径为 R，球的半径为 r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R
的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以 r＝ 3
3 R，S 球＝4πr2＝
4π·
3
3 R 2＝4π
3 R2，S 圆锥＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球与圆锥的表面积之比为 S 球
S 圆锥
＝
4π
3 R2
3πR2
＝4
9
，
故选 B.
12．已知函数 f(x)为 R 上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当 x∈(0,2)时，f(x)＝x3，
则函数 f(x)在区间[2018,2021]上( )
A．无最大值 B．最大值为 0
C．最大值为 1 D．最大值为－1
答案 C
解析 因为函数 f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以 f(4－x)＝－f(x)．又函数 f(x)是奇函数，
所以 f(－x)＝－f(x)，所以 f(4－x)＝f(－x)．令 t＝－x，得 f(4＋t)＝f(t)，所以函数 f(x)是周期为
4 的周期函数．又函数 f(x)的定义域为 R，且函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝0，f(－2)＝－f(2)，
由函数 f(x)的周期为 4，得 f(－2)＝f(2)，所以－f(2)＝f(2)，解得 f(2)＝0.所以 f(－2)＝0.依此类
推，可以求得 f(2n)＝0(n∈Z)．作出函数 f(x)的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数 f(x)
在区间[2018,2021]上的图象与在区间[－2，1]上的图象完全一样. 观察图象可知，函数 f(x)在
区间(－2,1]上单调递增，且 f(1)＝13＝1，又 f(－2)＝0，所以函数 f(x)在区间[－2,1]上的最大值
是 1，故函数 f(x)在区间[2018,2021]上的最大值也是 1.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
22～23 题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知单位向量 e1，e2，且〈e1，e2〉＝π
3
，若向量 a＝e1－2e2，则|a|＝
________.
答案 3
解析 因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝π
3
，所以|a|2＝|e1－2e2|2＝1－
4|e1||e2|cosπ
3
＋4|e2|2＝1－4×1×1×1
2
＋4＝3，即|a|＝ 3.
14．已知实数 x，y 满足
x－y＋1≥0，
3x－y－3≤0，
x＋y－1≥0，
目标函数 z＝ax＋y 的最大值 M∈[2,4]，则实
数 a 的取值范围为________．
答案 －1
2
，1
2
解析 可行域如图阴影部分所示，当 a≥0 时，平移直线 y＝－ax＋z 至(2,3)时，z 有最大
值 2a＋3，故 2≤2a＋3≤4，得 0≤a≤1
2.当－10)的焦点为 F，准线为 l，过焦点 F 的
直线交 C 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且 y1y2＝－4.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)如图，点 B 在准线 l 上的投影为 E，D 是 C 上一点，且 AD⊥EF，求△ABD 面积的最
小值及此时直线 AD 的方程．
解 (1)依题意 F
p
2
，0 ，
当直线 AB 的斜率不存在时，y1y2＝－p2＝－4，p＝2.
当直线 AB 的斜率存在时，设 AB：y＝k x－p
2 ，
由
y2＝2px，
y＝k x－p
2 ，
化简得 y2－2p
k y－p2＝0.
由 y1y2＝－4 得 p2＝4，p＝2.
综上所述，抛物线 C 的方程为 y2＝4x.
(2)设 D(x0，y0)，B
t2
4
，t ，易知 t≠0，则 E(－1，t)，
又由 y1y2＝－4，可得 A
4
t2
，－4
t .
因为 kEF＝－t
2
，AD⊥EF，所以 kAD＝2
t
，
故直线 AD：y＋4
t
＝2
t
x－4
t2 ，
化简得 2x－ty－4－8
t2
＝0.
由
y2＝4x，
2x－ty－4－8
t2
＝0， 化简得 y2－2ty－8－16
t2
＝0，
所以 y1＋y0＝2t，y1y0＝－8－16
t2 .
所以|AD|＝ 1＋t2
4|y1－y0|
＝ 1＋t2
4· y1＋y02－4y1y0
＝ 4＋t2 t2＋16
t2
＋8.
设点 B 到直线 AD 的距离为 d，则
d＝|t2
2
－t2－4－8
t2|
4＋t2
＝|t2＋16
t2
＋8|
2 4＋t2 .
所以 S△ABD＝1
2|AD|·d＝1
4
t2＋16
t2
＋8 3≥16，当且仅当 t4＝16，即 t＝±2 时△ABD 的面
积取得最小值 16.
当 t＝2 时，直线 AD：x－y－3＝0；
当 t＝－2 时，直线 AD：x＋y－3＝0.
21．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ex－x＋a(其中 a∈R，e 为自然对数的底数，e＝
2.71828……)．
(1)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)设 t 为整数，对于任意正整数 n，
1
n n＋
2
n n＋
3
n n＋…＋
n
n n0 时，x>0；f′(x)＝ex－1<0 时，x<0.
所以 f(x)＝ex－x＋a 在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)
＝ex－x＋a 的最小值为 f(0)＝e0－0＋a＝1＋a.由 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立，得 f(x)min≥0，
即 1＋a≥0，所以 a≥－1，即实数 a 的取值范围为[－1，＋∞)．
(2)由(1)知 ex－x－1≥0，即 1＋x≤ex，
令 x＝－k
n(n∈N*，k＝0,1,2，…，n－1)，
则 0<1－k
n
≤e
－k
n ，
所以 1－k
n n≤(e
－k
n )n＝e－k，
1
n n＋
2
n n＋
3
n n＋…＋
n
n n≤e－(n－1)＋e－(n－2)＋…＋e－2＋e－1＋e0＝1－e－n
1－e－1< 1
1－e－1
＝ e
e－1
＝1
＋ 1
e－1<2，
所以
1
n n＋
2
n n＋
3
n n＋…＋
n
n n<2，
又
1
3 3＋
2
3 3＋
3
3 3>1，所以 t 的最小值为 2.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写
清题号．
22．(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 M 的参数方程为 x＝1＋cosφ
y＝1＋sinφ
(φ为参数)，过原点
O 且倾斜角为α的直线 l 交 M 于 A，B 两点，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 l 和 M 的极坐标方程；
(2)当α∈ 0，π
4 时，求|OA|＋|OB|的取值范围．
解 (1)由题意可得，直线 l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
曲线 M 的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
因为 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，
所以 M 的极坐标方程为ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0.
(2)设 A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2 均为正数，
将θ＝α代入ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0，
得ρ2－2(cosα＋sinα)ρ＋1＝0，当α∈ 0，π
4 时，Δ＝4sin2α>0，所以ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)，
根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点 A，B 的极径．
从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)＝
2 2sin α＋π
4 .
当α∈ 0，π
4 时，α＋π
4
∈
π
4
，π
2 ，
故|OA|＋|OB|的取值范围是(2,2 2]．
23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|x－5|.
(1)解不等式：f(x)＋f(x＋2)≤3；
(2)若 a<0，求证：f(ax)－f(5a)≥af(x)．
解 (1)不等式化为|x－5|＋|x－3|≤3.
当 x<3 时，原不等式等价于－2x≤－5，即5
2
≤x<3；
当 3≤x≤5 时，原不等式等价于 2≤3，即 3≤x≤5；
当 x>5 时，原不等式等价于 2x－8≤3，即 5
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