数学卷·2018届河北省石家庄二中高二10月月考数学文试卷 （解析版）

数学卷·2018届河北省石家庄二中高二10月月考数学文试卷 （解析版）

‎2016-2017学年河北省石家庄二中高二（上）10月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共50分）‎ ‎1．点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（﹣2，2） D．（﹣1，1）‎ ‎2．方程mx2﹣my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（　　）‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 ‎3．若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若AB过椭圆 +=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（　　）‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎6．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B． C． D．‎ ‎7．若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎8．一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎10．已知c是椭圆的半焦距，则的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B． C．（1，） D．（1，]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共25分）‎ ‎11．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦距为4，则b=　　．‎ ‎12．若椭圆x2+my2=1的离心率为，则m=　　．‎ ‎13．已知两定点M（﹣1，0），N（1，0），直线l：y=﹣2x+3，在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有　　个．‎ ‎14．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是　　．‎ ‎15．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△F1PF2的内心，若2（S﹣S）=S，则该双曲线的离心率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（16题10分，17题15分，共25分）‎ ‎16．（10分）已知椭圆+y2=1，已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．‎ ‎17．（15分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省石家庄二中高二（上）10月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共50分）‎ ‎1．（2016秋•武邑县校级期中）点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（﹣2，2） D．（﹣1，1）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】将点A代入椭圆方程可得+＜1，解不等式可得a的范围．‎ ‎【解答】解：点A（a，1）在椭圆的内部，‎ 即为+＜1，‎ 即有a2＜2，‎ 解得﹣＜a＜，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的运用，点与椭圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2012秋•景洪市期末）方程mx2﹣my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（　　）‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】将方程的右边化成等于1的形式，得到，再根据mn＜0对照两个分母的符号，化成即得双曲线的标准形式，得到本题答案．‎ ‎【解答】解：∵mx2﹣my2=n中，∴两边都除以n，得 ‎∵mn＜0，得＜0，可得曲线的标准方程形式是，（﹣＞0）‎ ‎∴方程mx2﹣my2=n表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线 故选：D ‎【点评】本题给出含有字母参数的二次曲线方程，求方程表示的曲线的类型，着重考查了二次曲线的标准形式方程的认识的知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•武邑县校级期中）若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由题设知b=，b==，由此可求出双曲线的虚轴长．‎ ‎【解答】解：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于=b，‎ ‎∵双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴b==，‎ ‎∴b=1，‎ ‎∴该双曲线的虚轴长是2．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•雁塔区校级一模）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，‎ 所以=．‎ 所以．‎ 所以双曲线的离心率=．‎ 故选B．‎ ‎【点评】解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点．‎ ‎　‎ ‎5．（2007•武汉模拟）若AB过椭圆 +=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（　　）‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），再表示出△F1AB面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△F1AB面积的最大值．‎ ‎【解答】解：设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），‎ 则△F1AB面积S=OF×|2y|=c|y|．‎ ‎∴当|y|最大时，△F1AB面积最大，‎ 由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，‎ 则△F1AB面积的最大值为：cb=×4=12．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（2013•北京）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：由双曲线的离心率，可知c=a，‎ 又a2+b2=c2，所以b=a，‎ 所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．（2014秋•北林区期中）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】不妨设P为双曲线右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，解方程，再判断三角形PF1F2为直角三角形，由面积公式即可得到．‎ ‎【解答】解：不妨设P为双曲线右支上的点，‎ 由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，‎ 由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，‎ 解得PF1=2+，PF2=2﹣，‎ F1F2=2，‎ 由于（2）2+（2﹣）2=（2）2，‎ 则三角形PF1F2为直角三角形，‎ 则面积为：=1，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和定义，考查三角形的面积计算，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•龙泉驿区校级月考）一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN﹣PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，从而可得动圆圆心P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，‎ 所以|PN﹣PM|=4，‎ 即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，‎ ‎∴b=2，‎ ‎∴动圆圆心M的轨迹方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（2015•新课标II）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，‎ 且MA=AB=2a，∠MAB=120°，‎ 则M的坐标为（﹣2a，a），‎ 代入双曲线方程可得，‎ ‎﹣=1，‎ 可得a=b，‎ c==a，‎ 即有e==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2012秋•锦州期末）已知c是椭圆的半焦距，则的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B． C．（1，） D．（1，]‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，运用勾股定理、基本不等式，直角三角形的2个直角边之和大于斜边，便可以求出式子的范围．‎ ‎【解答】解：椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为 b、c，斜边为a，‎ 由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得：b+c＞a，‎ ‎∴＞1，‎ 又∵=≤=2，‎ ‎∴1＜≤，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质、基本不等式、及直角三角形的2个直角边之和大于斜边．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共25分）‎ ‎11．（2016秋•新华区校级月考）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦距为4，则b=　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据双曲线的方程和焦距求出a、c，由c2=a2+b2求出b的值．‎ ‎【解答】解：由得，a=1，‎ 因焦距为4，则c=2，所以b==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程以及a、b、c的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（2016秋•新华区校级月考）若椭圆x2+my2=1的离心率为，则m=　4或　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由椭圆的离心率为，建立关系式算出a2=4b2．因此化椭圆x2+my2=1为标准方程，根据椭圆的焦点位置加以讨论，分别建立关于m的等式，解之即可得出实数m的值．‎ ‎【解答】解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c．‎ ‎∵椭圆的离心率为，∴==，解得a2=4b2．‎ 椭圆x2+my2=1化成标准方程，得x2+=1，‎ 当焦点在x轴上时，a2=1且b2=，可得1=4×，解得m=4； ‎ 当焦点在y轴上时，b2=1且a2=，可得1×4=，解得m=．‎ ‎∴m的值为4或．‎ 故答案为：4或 ‎【点评】本题给出含有参数m的椭圆，在已知它的离心率的情况下求参数m的值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（2016秋•新华区校级月考）已知两定点M（﹣1，0），N（1，0），直线l：y=﹣2x+3，在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有　2　个．‎ ‎【考点】两点间的距离公式．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】运用椭圆的定义可得，点P的轨迹方程是=1，把=﹣2x+3代入=1，由判别式大于0，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是=1，‎ 把y=﹣2x+3代入=1，并整理得，19x2﹣48x+24=0，由△=（﹣48）2﹣4×19×24＞0，‎ ‎∴在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有2个．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义及标准方程，考查了数学转化思想方法及方程思想方法，解答此题的关键是把问题转化为判断直线方程与椭圆方程联立的方程组是否有解，属中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（2015秋•天津校级期末）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，得到关于b的不等式，求出b的范围．再利用离心率计算公式e=即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，‎ ‎∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．‎ 取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，‎ ‎∴≥，解得b≥1．‎ ‎∴e==≤=．‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（2016秋•龙泉驿区校级月考）已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△F1PF2的内心，若2（S﹣S）=S，则该双曲线的离心率是　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由I为△F1PF2的内心，可知I到三角形三边距离都相等，由2（﹣）=，根据三角形的面积公式可得2（丨PF1丨•r﹣丨PF2丨•r）=丨F1F2丨•r，求得2（丨PF1丨﹣丨PF2丨）=丨F1F2丨，根据双曲线的定义可得：丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，丨F1F2丨=2c，则c=2a，利用离心率公式e=即可求得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵I为△F1PF2的内心，‎ ‎∴I到三角形三边距离都相等，设内切圆半径r，‎ ‎∴2（﹣）=，‎ ‎∴2（丨PF1丨•r﹣丨PF2丨•r）=丨F1F2丨•r，‎ ‎2（丨PF1丨﹣丨PF2丨）=丨F1F2丨，‎ ‎∵丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，丨F1F2丨=2c，‎ ‎∴2a=c，即c=2a，‎ ‎∴离心率e==2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，离心率公式及三角形内心的性质，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（16题10分，17题15分，共25分）‎ ‎16．（10分）（2016秋•新华区校级月考）已知椭圆+y2=1，已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E点，则CE⊥DE，将它们联立消去x1，x2即可得出k的值．‎ ‎【解答】解：假若存在这样的k值，由得（1+3k2）x2+12kx+9=0．‎ ‎∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①‎ 设C（x1，y1）、D（x2，y2），则②‎ 而．‎ 要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即y1y2+（x1+1）（x2+1）=0．‎ ‎∴（k2+1）x1x2+2（k+1）（x1+x2）+5=0．　　　　　　　　　　　　　　　③‎ 将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．‎ 综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．‎ ‎　‎ ‎17．（15分）（2014•惠州模拟）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为．‎ ‎（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，‎ 则右焦点F（）由题设 解得a2=3故所求椭圆的方程为；‎ ‎（2）设P为弦MN的中点，由 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0‎ 由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①‎ ‎∴从而 ‎∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，‎ 则即2m=3k2+1②‎ 把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．‎ 故所求m的取范围是（）．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．‎