【推荐】专题10-1+椭圆-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学
真题回放
1.【2017浙江，2】椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】椭圆的简单几何性质
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
2.【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，
解得，于是，
因此椭圆E的标准方程是.
由，解得；，无解.
因此点P的坐标为.
【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系
【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.
3. 【2017山东，文21】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,圆N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与圆N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)的最小值为.
又当时，，得，
所以，
因此椭圆方程为.
令
故
所以 .
【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、
【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①
几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质
B
主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，解决相关问题．这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．
直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．
知识链接
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a
b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
【知识拓展】
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
融会贯通
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹
例1 (2017·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】 A
【解析】 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为___________________________________．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为_________________________________．
【答案】 (1)＋y2＝1或＋＝1 (2)＋＝1
【解析】(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．
命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题
例3 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
【答案】 3
【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)
＝4a2－4c2＝4b2，
又∵＝r1r2
＝b2＝9，∴b＝3.
引申探究
1．在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
【解析】 由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆方程为＋＝1.
2．在例3中条件“⊥”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“＝3”，结果如何？
解题技巧与方法总结
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
【变式训练】(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)(2017·大庆质检)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】 (1)D (2)D
题型二 椭圆的几何性质
例4(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )
A．0B．1C．2D．2
(2)(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝
＝2
＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.
(2)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.
解题技巧与方法总结
(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．
【变式训练1】(1)(2017·郑州月考)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1 D.
(2)(2016·昆明模拟)设曲线y＝在点(，1)处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )
A．－1 B. C．－2 D．2
【答案】 (1)A (2)A
【解析】 (1)设切点的横坐标为x0，
∵曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，
∴y′＝－，即－＝，
解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，
即切点的横坐标为3.
(2)∵y′＝，∴y′|x＝＝－1.
由条件知＝－1，∴a＝－1.
【变式训练2】(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
【答案】
题型三 直线与椭圆
例5 (2016·天津)设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．
【答案】（1）＋＝1； （2）－或.
【解析】 (1)设F(c,0)，由＋＝，
即＋＝，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以椭圆的方程为＋＝1.
因此直线MH的方程为y＝－x＋.
设M(xM，yM)，由方程组消去y，
解得xM＝.
在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔|MA|＝|MO|，
即(xM－2)2＋y＝x＋y，
化简得xM＝1，即＝1，
解得k＝－或k＝.
所以直线l的斜率为－或.
解题技巧与方法总结
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
【变式训练】(2016·唐山模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
【答案】（1）； （2）6x－5y－28＝0.
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，
设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知
＝2，
又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，
故得x0＝3，y0＝－2，
即Q的坐标为(3，－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得＋＝0，
∴kMN＝＝－·
＝－×＝，
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，
即6x－5y－28＝0.
练习检测
1. 【河南省长葛一高2018届高三上学期开学考试】设椭圆：（）的离心率为，则直线与的其中一个交点到轴的距离为__________．
【答案】
2. 【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考数学（文）试题】 已知椭圆：
，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由椭圆定义，得，所以当线段长度达最小值时， 有最大值．当垂直于轴时， ，所以的最大值为，所以，即，故选D．
考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．
3. 【江苏省高邮市2018届高三期初考试文科数学试题】已知椭圆： 的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积是16，则椭圆的方程为_______．
【答案】
4. 【河南省长葛一高2018届高三上学期开学考试数学（文）试题】 设椭圆： （）的离心率为，则直线与的其中一个交点到轴的距离为__________．
【答案】
【解析】由，得
∴直线与的其中一个交点到轴的距离为.
5. 【云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（文）试题】在直角坐标系中， 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
试题解析：
解：(1)因为点在内，所以圆内切于圆，则，由椭圆定义知，圆心的轨迹为椭圆，且，则，所以动圆圆心的轨迹方程为.
(2)设，则，由题意知.则，直线方程为，令，得，同理，于是，
又和在椭圆上，故，则
.
所以.
6. 【黑龙江省大庆市大庆实验中学2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知椭圆，其离心率，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.
求椭圆的方程；
过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点, 为坐标原点，若为锐角，求直线斜率的取值范围.
【答案】（1）（2）
设直线的方程为，
联立，得
则 ，解得
解得
，即
7. 【江苏省高邮市2018届高三期初考试文科数学试题】已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0，2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点.
【答案】(1) ;(2)见解析.
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由题知k1＋k2＝＋＝8，
所以＋＝8，即2k＋(m－2)＝8.
所以k－＝4，整理得m＝k－2.
故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k－2。
所以直线AB过定点.
②若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝x0，A(x0，y0)，
B(x0，－y0)，则由题知＋＝8，
得x0＝－.此时直线AB的方程为x＝－，
显然直线AB过点.
综上可知，直线AB过定点.
8.【2015高考四川，文20】如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且＝－1
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(Ⅰ)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)
又点P的坐标为(0，1)，且＝－1
于是，解得a＝2，b＝
所以椭圆E方程为.
【考点定位】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
【名师点睛】本题属于解析几何的基本题型，第(Ⅰ)问根据“离心率是，且＝－1”建立方程组可以求出椭圆方程；第(Ⅱ)问设出直线方程后，代入椭圆方程，利用目标方程法，结合韦达定理，得到两交点横坐标的和与积，再代入中化简整理.要得到定值，只需判断有无合适的
λ，使得结论与k无关即可，对考生代数式恒等变形能力要求较高.属于较难题.
9、【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考数学（文）试题】
如图所示，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆在第一象限上的点，且 轴，
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若线段与轴垂直，且满足，证明：直线与椭圆只有一个交点.
【答案】（1）；（2）见解析.
试题解析：
（1）因为，又，则，所以由勾股定理得，即，所以离心率
10、【河南省林州市第一中学2018届高三8月调研考试数学（文）试题】已知椭圆： 的左、右焦点分别为，点在椭圆上， ，过点的直线与椭圆分别交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）.（2）或.
【解析】试题分析：
(1)由题意可求得， ， ，则所求椭圆方程为.
(2)
很明显直线的斜率存在，设出直线方程的点斜式，联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系可得得到关于斜率的方程，解方程可得直线的方程是或.
试题解析：
（2）当直线与轴垂直时， ，此时，不符合题意，舍去；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
由消去得： ，
设，则，
∴
原点到直线的距离.
∴三角形的面积，
由，得，故，
∴直线的方程为或.
