2019-2020学年江西省宜春市上高二中高二上学期第二次月考试题 数学（理） word版

2019-2020学年江西省宜春市上高二中高二上学期第二次月考试题 数学（理） word版

江西省宜春市上高二中 2019-2020 学年高二上学期第二次月考理 科数学试卷 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．已知命题 p ：“ 0a  ，有 1 2a a   成立”，则命题 p 为（ ） A． 0a  ，有 1 2a a  ≥ 成立 B． 0a  ，有 1 2a a  ≥ 成立 C． 0a  ，有 1 2a a  ≥ 成立 D． 0a  ，有 1 2a a   成立 2．已知圆 x2＋y2＝4，过点 P(0， 3 )的直线 l 交该圆于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是( ) A. 3 B.2 C.2 3 D.4 3．若命题“ 2 2[ 1,1], 4 2 1a ax x a x        ”是假命题，则实数 x 的取值范围是( ) A．    2 6, 2 6    B． , 2 6)( ( 2 6, )       C． ( ,2) D． ( ,2] 4．若圆心坐标为 (2, 1) 的圆在直线 1 0x y   上截得的弦长为 2 2 ，则这个圆的方程是 （ ） A． 2 2( 2) ( 1) 0x y    B． 2 2( 2) ( 1) 4x y    C． 2 2( 2) ( 1) 8x y    D． 2 2( 2) ( 1) 16x y    5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( ) A． 4 24  B． 4 32  C． 22 D．12 6．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，O 是底面 ABCD 的中心， 1 1B H D O ， H 为垂足，则 1B H 与平面 1AD C 的位置关系是（ ） A.垂直 B.平行 C.斜交 D.以上都不对 7．命题 p:函数 y=loga(ax-3a)(a>0 且 a≠1)的图像必过定点(4,1),命题 q:如果 函数 y=f(x)的图像关于点(3,0)对称,那么函数 y=f(x+3)的图像关于点(6,0)对 称,则 ( ) A.p∧q 为真 B.p∨q 为假 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 8．已知命题 1 1: 4p a  ，命题 :q x R  ， 2 1 0ax ax   ，则 p 成立是 q成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知圆  2 2: 2 0 0M x y ay a    截直线 0x y  所得线段的长度是 2 2 ，则圆 M 与 圆    2 2: 1 1 1N x y    的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 10．已知圆    2 2: 1C x a y b    ，设平面区域 7 0, { 3 0, 0 x y x y y          ，若圆心C  ,且圆C 与 x 轴相切，则 2 2a b 的最大值为 （ ） A．5 B．29 C．37 D．49 11．已知三棱锥 D ABC 四个顶点均在半径为 R 的球面上，且 2, 2AB BC AC   ，若 该三棱锥体积的最大值为 1，则这个球的表面积为 A． 500 81  B． 4 C． 25 9  D． 100 9  12．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，二面角 1D AB D  的大小为 60， 1DC 与平面 ABCD 所成角的大小为30°，那么异面直线 1AD 与 1DC 所成角的余弦值是（ ） A. 2 4 B. 3 4 C. 2 8 D. 3 8 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．给下列三个结论： ①命题“ 2, 0x R x x    ”的否定是“ 2, 0x R x x    ”； ②若 2am b 2m ，则 a b 的逆命题为真； ③命题“若 2 1x  ，则 1x  ”的否命题为：“若 2 1x  ，则 1x  ”； 其中正确的结论序号是_______________（填上所有正确结论的序号）． 14．已知点 ( , )P x y 在圆 2 2 2x y  上运动，则 2 2 1 1 1 1x y   的 最小值为___________． 15．如图所示，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有棱长均为 1，且 1AA  底面 ABC，则三棱锥 1 1B ABC 的体积为______． 16．已知三棱锥 ABCD  中， 1 BCAB ， 2AD ， 5BD ， 2AC ， ADBC  ，则三棱锥的外接球的表面积为 . 三、解答题 17．（10 分）已知直线l 过点  0,1P ，圆 2 2: 6 8 0C x y x    ，直线l 与圆C 交于 ,A B 不 同两点． （Ⅰ）求直线l 的斜率 k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在过点  6,4Q 且垂直平分弦 AB 的直线 1l ？若存在，求直线 1l 斜率 1k 的值，若 不存在，请说明理由． P D CB A g F E 18．（12 分）已知函数 2( )f x x ， 1( ) ( )2 xg x m  ． （1）若对任意  1 1,3x   ，  2 0,2x  都有 1 2( ) ( )f x g x≥ 成立，求实数 m 的取值范围； （2）若对任意  2 0,2x  ，总存在  1 1,3x   ，使得 1 2( ) ( )f x g x 成立，求实数 m 的取值范 围． 19．（12 分）已知 m R ，命题 p：对  x 0,8  ，不等式   2 1 3 log x 1 m 3m   恒成立； 命题 q：对  x , 1    ，不等式 22x x 2 mx   恒成立． （1）p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若 p q 为假， p q 为真，求实数 m 的取值范围． 20．（12 分）已知在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 2AD  ， 1AB  ，PA  平面 ABCD ， E ， F 分别是线段 AB ， BC 的中点. （1）判断并说明 PA 上是否存在点G ，使得 //EG 平面 PFD ?若存在，求出 PG GA 的值；若不 存在，请说明理由； （2）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ，求二面角 A PD F  的平面角的余弦值. 21．（12 分）如图，平面 ABCD  平面 ADEF ，其中 ABCD 为矩形， ADEF 为梯形， //AF DE ， AF FE ， 2 2AF AD DE   . （Ⅰ）求证： EF  平面 BAF ； （Ⅱ）若二面角 A BF D  的平面角的余弦值为 2 4 ，求 AB 的长. 22．（12 分）在平面直角坐标系中，点  2,0A  ，  1,0B ，动点 P 满足 2 0PA PB  ． （1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （2）若直线 : 1l y kx  和轨迹 E 交于 M N、 两点，且点 B 在以 MN 为直径的圆内，求 k 的取值范围． 2021 届高二理科数学第二次月考试卷答题卡 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、___________ 14、___________ 15、___________ 16、___________ 三、解答题 17、（10 分） 18、（12 分） 19、（12 分） 20、（12 分） P D CB A g F E 21、（12 分） 22、（12 分） 一、选择题 1~6 BBABBA 7~12CABCDB 二、填空题 13.① 14. 1 15． 3 12 16. 6π 17．(1) 3 04 k   (2)见解析 【详解】 （Ⅰ）法 1：直线 l 的方程为 1y kx  ，则 由 2 2 1 6 8 0 y kx x y x       得    21 2 6 9 0k x x x     由    2 2= 2 6 36 1 0k k     得 224 36 0k k   ，故 3 04 k   法 2：直线 l 的方程为 1y kx  ，即 1 0kx y   ， 圆心为 C（3，0），圆的半径为 1 则圆心到直线的距离 2 3 1 1 kd k   ， 因为直线与有交于 A，B 两点，故 2 3 1 1 1 k k    ，故 3 04 k   （Ⅱ）假设存在直线 1l 垂直平分于弦 AB ，此时直线 1l 过    6,4 , 3,0Q C ， 则 1 4 0 4 6 3 3k   ，故 AB 的斜率 3 4k   ，由（1）可知，不满足条件． 所以，不存在直线 1l 垂直于弦 AB ． 18．（1） m 1 ;（2）[ 8, )  【详解】 （1）由题设知：    1 2min maxf x g x ， ∵  f x 在 1,0 上递减，在 0,3 上递增，∴    1 min 0 0f x f  又∵  g x 在 0,2 上递减，∴    2 max 0 1g x g m   ∴有 0 1 m  ， m 的范围为 1, （2）由题设知  1 [0,9]f x A  ， 2 1( ) [ ,1 ]4g x B m m    且 1 0 184 41 9 mB A m m            19．（1） 1,2 （2） 2, 【详解】 （1）令    1 3 log 1f x x  ，则  f x 在 1,  上为减函数， 因为  0,8x ，所以当 8x  时，    min 8 2f x f   ， 不等式   2 1 3 log 1 3x m m   恒成立，等价于 22 3m m   ，解得1 2m  ， 故命题 p 为真，实数 m 的取值范围为 1,2 . （2）若命题 q为真，则 22 1m x x    ，对  , 1x    上恒成立， 令   2 1g x x x   ，因为  g x 在  , 1x   上为单调增函数， 则    1 1g x g   ，故 1m  ，即命题 q为真， 1m  若 p q 为假， p q 为真，则命题 p ， q中一真一假； ①若 p 为真， q为假，那么 1 2 1 m m     ，则无解； ②若 p 为假， q为真，那么 1 2 1 m m m 或   ，则 2m  . 综上 m 的取值范围为 2, . 20．（1）存在， 3PG GA  ；（2） 6 6 . 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 设 PA a ，GA b ， ∵ (1,1,0), (0,2,0), (0,0, ), (0,0, )F D P a G b ， ∴ (1, 1,0)DF   ， (0,2, )PD a  ， 1( ,0, )2GE b  ， 设 平 面 PFD 的 一 个 法 向 量 ( , , )m x a z ， ∴ 0 2 0 m DF x a m PD a az              ， ∴ 2 x a z    ， ∴ ( , ,2)m a a ， ∵ 1 2 02GE m a b     ，∴ 1 4b a ，∴ 3PG GA  ；（2）∵ PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所 成的角， ∴ 45PBA  ，∵ 1AB  ，∴ 1PA  ，由（1）知，平面 PDF 的一个法向量为 (1,1,2)m  ， 取平面 APD 的一个法向量为 (1,0,0)n  ，∴ 6cos , 6| | | | m nm n m n          ，∴二面角 P D CB A g F E z x G y A PD F  的平面角的余弦值为 6 6 . 21．(1)见解析；（2）AB＝ 3 . 【详解】 (Ⅰ)平面 ABCD  平面 ADEF ,且 ABCD 为矩形，  BA  平面 ADEF ， 又 EF  平面 ADEF , BA EF ， 又 AF EF 且 AF BA A  EF  平面 BAF .源:] (Ⅱ)设 AB＝x．以 F 为原点，AF，FE 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系 F xyz ．则 F(0，0，0)，A(－ 2，0，0)，E(0， 3 ，0)，D(－1， 3 ，0)，B(－2，0， x)，所以 DF ＝(1，－ 3 ，0)， BF ＝(2，0，－x)． 因为 EF⊥平面 ABF，所以平面 ABF 的法向量可取 1n ＝(0，1， 0)． 设 2n ＝(x1，y1，z1)为平面 BFD 的法向量，则 1 1 1 1 2 0, 3 0, x z x x y     所以，可取 2n ＝( 3 ，1， 2 3 x )． 因为 cos< 1n ， 2n >＝ 1 2 1 2 n n n n       ＝ 2 4 ，得 x＝ 3 ，所以 AB＝ 3 ． 22．（1） 2 2( 2) 4x y   ； （2） ( 3 10, 3 10)    . 【详解】 （1）设 ( , )P x y ，因为 2 2 2 22 2 4( 1) 4PA PB x y x y     所以（ ） E 的方程 2 2 4 0x y x   （2）设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，    2 2 2 2 4 1 1 2 4 1 00 y kx k x kx y x x             30 4k    ， 1 2 2 2 4 1 kx x k     ， 1 2 2 1 1x x x   ， 1 2 2 4 1 1 ky y k   ， · 0BM BN      1 1 2 21, · 1, 0x y x y        2 1 2 1 21 1 2 0k x x k x x          2 2 2 1 4 21 1 2 01 1 kk kk k        2 6 1 0k k    3 10 3 10k       ， 满足 0  故 k 的取值范围是  3 10, 3 10   