甘肃省西北师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

甘肃省西北师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

西北师大附中2019—2020学年度第一学期期中考试试题 高一数学 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合的补集,再与求交集即可.‎ ‎【详解】因为,,‎ ‎,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.‎ ‎2.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据基本初等函数的图象与性质，即可判断函数的单调性，从而得出结论．‎ ‎【详解】解：对于A，函数y在定义域[0，+∞）上为单调增函数，满足题意；‎ 对于B，函数y＝（x﹣1）2在区间（﹣∞，1）上是单调减函数，（1，+∞）上是单调增函数，不满足题意；　‎ 对于C，函数y＝2﹣x在定义域R上为单调减函数，不满足题意；‎ 对于D，函数在定义域（0，+∞）上为单调减函数，不满足题意．　　‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．‎ ‎3.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】选项B、C、D中的两个函数的定义域都不相同，‎ 所以不是同一函数；‎ 因的定义域相同,且解析式也相同,是同一函数，‎ 故应选A．‎ ‎4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x定义域和值域相同的是( )‎ A. y＝x B. y＝lg x C. y＝2x D. y＝‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．‎ 考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.已知在上是偶函数，且满足，当时，，则（ ）‎ A. 8 B. ‎2 ‎C. D. 50‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的周期性以及函数的解析式，转化求解即可．‎ ‎【详解】在R上是偶函数，且满足，故周期为3‎ 当时，，‎ 则．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性的应用，利用函数的解析式求解函数值，考查计算能力．‎ ‎6.若是方程的一个解，则所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先代入特殊值0，﹣1进行比较，然后画出两个函数图象，根据图象交点和计算可得零点所在的区间．‎ ‎【详解】解：由题意，‎ 当x＝0时，20＝1＞02＝0，‎ 当x＝﹣1时，2﹣1（﹣1）2＝1．‎ 再根据两个函数图象：‎ 则两个函数的交点，即方程的解必在区间（﹣1，0）内．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数画图能力，代入特殊值方法的应用，以及零点判定定理的应用．本题属中档题．‎ ‎7.已知幂函数的图像过点，则等于（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义求得，根据图像过点求得，由此求得的值.‎ ‎【详解】由题知是幂函数，则.又图像过点，则由知，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查指数运算，属于基础题.‎ ‎8.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令t＝x2﹣ax﹣‎3a，则得函数f（x）＝log2t，由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得 ，由此求得a的范围．‎ ‎【详解】解：令t＝x2﹣ax﹣‎3a‎3a，则由题意可得函数f（x）＝log2t，‎ 函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．‎ ‎∴，求得﹣4≤a＜4，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质，注意复合函数“同增异减”的应用，属于中档题．‎ ‎9.若函数，则的图象可以是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中函数知，当x＝0时，y＝2，图象过点（0，2），又依据指数函数的性质知，此函数在（0，+∞）上的函数值为正，根据此两点可得答案．‎ ‎【详解】解：观察四个图的不同发现， 图中的图象过（0，2），‎ 而当x＝0时，y＝2，故排除；‎ 又当1﹣x＜1，即x＞0时，f（x）＞0．‎ 由函数y＝f（1﹣x）的性质知，在（0，+∞）上的函数值为正，排除B．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用函数的图象，掌握其的性质．‎ ‎10.若函数在上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数单调性的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】解：∵a＞0，∴当x＜﹣1时，函数f（x）为增函数，‎ ‎∵函数在R上的单调函数，‎ ‎∴函数为单调递增函数，‎ 则当x≥﹣1时，f（x）＝（）x，为增函数，‎ 则1，即0＜a＜1，‎ 同时a≥﹣‎2a+1，‎ 即‎3a≥1，‎ 即a，‎ 综上a＜1，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．‎ ‎11.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的奇偶性分析可得f（log‎2a）+f（﹣log‎2a）＜‎2f（1）⇒f（log‎2a）＜f（1）⇒f（|log‎2a|）＜f（1），结合函数的单调性分析可得|log‎2a|＜1，即﹣1＜log‎2a＜1，解可得a的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（log‎2a）＝f（﹣log‎2a），‎ 则f（log‎2a）+f（﹣log‎2a）＜‎2f（1）⇒f（log‎2a）＜f（1）⇒f（|log‎2a|）＜f（1），‎ 又由f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，‎ 则有|log‎2a|＜1，即﹣1＜log‎2a＜1‎ 解可得：a＜2，‎ 即a的取值范围为（，2）；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．‎ ‎12.对任意实数定义运算“ “：，设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用新定义化简f（x）解析式，做出f（x）的函数图象，根据图象即可得出k的范围．‎ ‎【详解】解：解x2﹣1﹣（4+x）≥1得x≤﹣2或x≥3，‎ ‎∴f（x），‎ 做出f（x）的函数图象，如图所示：‎ ‎∵y＝f（x）+k有三个零点，‎ ‎∴﹣1＜﹣k≤2，即﹣2≤k＜1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，不等式的解法，属于中档题．‎ 二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数的定义域为________.‎ ‎【答案】（﹣3，0）∪（2，3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】函数，令，‎ 解得，即﹣3＜x＜0或2＜x＜3；‎ 所以函数y的定义域为（﹣3，0）∪（2，3）．‎ 故答案为（﹣3，0）∪（2，3）‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，考查二次不等式的解法，是基础题．‎ ‎14.方程的解都在内，则的取值范围为_______.‎ ‎【答案】5≤k＜10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据f（x）＝2x+3x在[1，2）内是增函数，然后代入值即可得到k的取值范围．‎ ‎【详解】由题意，可知：f（x）＝2x+3x在[1，2）内是增函数，‎ 又f（1）＝21+3×1＝5，f（2）＝22+3×2＝10．∴5≤k＜10．‎ 故答案为5≤k＜10‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数单调性求具体区间值域，属基础题．‎ ‎15.在上有意义，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】k＜1‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意函数（4﹣k•2x）在（﹣∞，2]上，恒为正值，（4﹣k•2x）＞0恒成立，解答即可．‎ ‎【详解】由题意函数（4﹣k•2x）在（﹣∞，2]上，恒为正值，‎ 即：（4﹣k•2x）＞0恒成立，k，‎ 因为2x在（﹣∞，2]上是增函数，∴在（﹣∞，2]上是减函数，‎ 所以k＜1‎ 故答案为：k＜1‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的定义域，函数恒成立问题，指数函数单调性等知识，是中档题．‎ ‎16.已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对任意的,总存在,使成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于的不等式组,解不等式组可得答案．‎ ‎【详解】由题意，函数．．‎ 根据二次函数的性质，可得当时, ,记．‎ 由题意当时,在上是增函数,‎ ‎∴,记．‎ 由对任意,总存在,使成立，所以 则，解得： ‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象和性质的应用，以及存在性问题求解和集合包含关系的综合应用，其中解答中把对任意的,总存在,使 成立,转化为两个函数值域的包含关系是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题．‎ 三．解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分.‎ ‎17.已知集合，‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）设全集为，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2），或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解一元二次不等式求得和，根据两者交集范围列式，由此求得的值.（2）先求得集合的补集，再根据列式，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，，,‎ 所以，所以.‎ ‎（2），或.‎ 因为，所以，或，‎ 所以，或.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集、补集和子集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎18.已知函数是奇函数 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，求不等式成立，求取值范围；‎ ‎【答案】（1）k＝﹣1；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可根据条件得出f（x）是R上的奇函数，从而得出f（0）＝0，从而求出k＝﹣1；‎ ‎（2）f（x）＝ax﹣a﹣x，求导得出f′（x）＝（ax﹣a﹣x）lna，可讨论a，根据导数符号判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性，这样根据f（x）是奇函数以及f（x）的单调性即可由不等式f（1﹣m）+f（1﹣‎2m）＜0得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的范围．‎ ‎【详解】（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝1+k＝0，∴k＝﹣1；‎ ‎（2）f（x）＝ax﹣a﹣x，f′（x）＝（ax+a﹣x）lna，‎ ‎∴①0＜a＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，1）上单调递减，且f（x）是奇函数，‎ ‎∴由f（1﹣m）+f（1﹣‎2m）＜0得，f（1﹣m）＜f（‎2m﹣1），‎ ‎∴，解得；‎ ‎②a＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，且f（x）是奇函数，‎ ‎∴由f（1﹣m）+f（1﹣‎2m）＜0得，f（1﹣m）＜f（‎2m﹣1），‎ ‎∴，解得，‎ 综上：当0＜a＜1时，m的取值范围为，当a＞1时，m的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎19. 某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个出售，每天可以卖出100个，若这种商品的售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．‎ ‎（1）求售价为13元时每天的销售利润；‎ ‎（2）求售价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求最大利润．‎ ‎【答案】（1）350 （2）售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题设知销售价为13元时每天销售量为100-（13-10）×8=76个，由此能求出销售价为13元时每天的销售利润；（2）设出商品的单价，表示出涨价后减少的销售量，求出利润，然后通过研究二次函数的最值求出利润的最值情况 试题解析：（1）依题意，可知售价为13元时，销售量减少了:（个）‎ 所以，当售价为13元时每天的销售利润为:‎ ‎（元）‎ ‎（2）设售价定为元时，每天的销售利润为元，依题意，得 ‎（）‎ ‎∴ 当时，取得最大值，且最大值为．‎ 即售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元． ‎ 考点：函数模型的选择与应用 ‎20.已知函数，函数．‎ ‎（1）求函数与的解析式，并求出，的定义域；‎ ‎（2）设，试求函数的定义域，及最值．‎ ‎【答案】（1）f（x）＝log3（x+2）﹣1，定义域[﹣1，7]；g（x）＝log3x+2，定义域[1，9]；（2）定义域[1，3]，最小值6，最大值13.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令t＝3x﹣2，则x＝log3（t+2）﹣1，根据已知可求f（x），进而可求g（x）；‎ ‎（2）结合（1）可求h（x），然后结合函数的定义域的要求有，解出x的范围，结合二次函数的性质可求．‎ ‎【详解】（1）令t＝3x﹣2，则x＝log3（t+2）﹣1，∵x∈[0，2]，∴t∈[﹣1，8]，‎ ‎∵f（3x﹣2）＝x﹣1（x∈[0，2]），∴f（t）＝log3（t+2）﹣1，t∈[﹣1，7]，‎ ‎∴f（x）＝log3（x+2）﹣1，x∈[﹣1，7]，即f（x）的定义域[﹣1，7]，‎ ‎∵g（x）＝f（x﹣2）+3＝log3x+2，∴x﹣2∈[﹣1，7]，∴x∈[1，9]，即g（x）的定义域[1，9]．‎ ‎（2）∵h（x）＝[g（x）]2+g（x2）＝（log3x+2）2+26log3x+6，‎ ‎∵，∴1≤x≤3，即函数y＝h（x）的定义域[1，3]，∵0≤log3x≤1，‎ 结合二次函数的性质可知，当log3x＝0时，函数取得最小值6，‎ 当log3x＝1时，函数取得最大值13．‎ ‎【点睛】本题考查了利用了换元法求函数的解析式及函数的定义域的求解，二次函数值域的求解，属于中档试题．‎ ‎21.已知函数在上是奇函数．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）或 ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）因为所以所以 ‎（2），‎ 所以，即 ‎（3）因为，‎ 即，所以（*）‎ 因为关于的方程有唯一实数解，所以方程（*）有且只有一个根，‎ 令，则方程（*）变为有且只有一个正根，‎ ‎①方程有且只有一个根且是正根，则 所以，当时，方程的根为满足题意；‎ 当时，方程的根为不满足题意 ‎②方程有一正根一负根，则，所以 ‎③方程有一正根一零根，则，所以，此时满足题意 综上，的范围为或 ‎ ‎