数学理卷·2017届湖南省长沙市长郡中学、衡阳八中等十校高三第二次联考（2017

数学理卷·2017届湖南省长沙市长郡中学、衡阳八中等十校高三第二次联考（2017

湖南省2017届高三十校联考第二次考试 数学（理工类）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若复数满足，（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.在各项为正数的等比数列中，，，则（ ）‎ A．144 B．121 C．169 D．148 ‎ ‎4.长郡中学夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心仍在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.若抛物线的焦点到双曲线的渐进线的距离为，则抛物线的标准方程为（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎ ‎6.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.函数的图象大致为（ ）‎ ‎8.已知，如果方程，，的根分别为，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，如果输出的，则输入的值为（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10 ‎ ‎10.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，满足，，，则 ．‎ ‎14.在（）的展开式中，的偶数次的项系数之和比的奇数次的项系数之和大1，则的值为 ．‎ ‎15.在等差数列中，，，则 ．‎ ‎16.2016年被业界称为（虚拟现实技术）元年，未来技术将给教育、医疗、娱乐、商业、交通旅游等多领域带来极大改变，某教育设备生产企业有甲、乙两类产品，其中生产一件甲产品需团队投入15天时间，团队投入20天时间，总费用10万元，甲产品售价为15万元/件；生产一件乙产品需团队投入20天时间，团队投入16天时间，总费用15万元，乙产品售价为25万元/件，、两个团队分别独立运作．现某客户欲以不超过200万元订购该企业甲、乙两类产品，要求每类产品至少各3件，在期限180天内，为使企业总效益最佳，则最后交付的甲、乙两类产品数之和为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为，求，的值．‎ ‎18.在正方形中，的中点为点，的中点为点，沿将向上折起得到，使得面面，此时点位于点处．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求面与面所成二面角的正弦值．‎ ‎19.为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示：‎ 班级 宏志班 珍珠班 英才班 精英班 参赛人数 ‎20‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；‎ ‎（Ⅱ）现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎20.动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为．‎ ‎（Ⅰ）求的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且．证明：过和中点的直线过定点．‎ ‎21.已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值与曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若，且当时，恒成立，求的最大值．（）‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．‎ 湖南省2017届高三十校联考第二次考试数学（理工类）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.3 14. 15.1 16.9或10‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴由正弦定理得，‎ 又，，∴，，∴．　‎ ‎（Ⅱ）∵∴即 ‎∴或 ‎18.（Ⅰ）证明：连接，交于点，交于点，连接，，‎ 如图所示，在正方形中，为中点，为中点，所以；‎ 由于为沿着翻折而来，从而，所以面，‎ 而在平面内，所以.‎ ‎（Ⅱ）设中点为，连接，交于点，连接. 同（Ⅰ）可证，从而面面，所以；由面，可得面面，又因为面面，且面与面相交于，所以面．‎ 设为原点，过点作轴平行于，作轴平行于，为轴，如图所示，不妨设正方形边长为3，从而，，，，，，‎ 又因为，所以，，在直角中，由勾股定理可得，‎ 所以，即，所以可以求得面的法向量为，面的法向量为，所以可以得出法向量，则所求二面角的正弦值为．‎ ‎19.解：（Ⅰ）从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为，‎ 且这2人在同一班级的基本事件个数为，故所求概率．‎ ‎（Ⅱ）由题意的的所有可能的取值为0,1,2．　‎ 则，，，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎．‎ ‎20.解：（Ⅰ）连接，根据题意，可知，则，‎ 故点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，则，，‎ ‎∴，‎ 所以点的轨迹的方程为．‎ ‎（Ⅱ）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，分析可知直线与轴重合，当直线的斜率为1时，此时，，直线的方程为，联立解得直线经过定点．‎ 下面证明一般性：当直线的斜率存在且不为0,1时，设直线的方程为，‎ 则直线的方程为，设，，‎ 联立消去得，‎ 则，所以，‎ 即，同理：，‎ 于是直线的斜率为，‎ 故直线的方程为，‎ 显然时，，故直线经过定点．‎ ‎21.解：（Ⅰ）因为，所以，．‎ 又曲线在点处的切线与直线垂直，故，解得，‎ 所以，．‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立等价于恒成立，等价于当时，恒成立．‎ 设（），则，记，‎ 则，所以在上单调递增．‎ 又，，‎ 所以在上存在唯一的实数根，使得，①‎ 因此当时，，即，则在上单调递减；‎ 当时，，即，则在上单调递增．‎ 所以当时，，由①可得，‎ 所以．‎ 因为，，又，，‎ 所以，因此，‎ 又，所以．‎ ‎22.解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，即，‎ 曲线的极坐标方程为，即．‎ 因为曲线的极坐标方程为，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程得，‎ 由得或则，‎ 由得或则．　‎ 故.‎ ‎23.解：（Ⅰ）作出的图象（略），‎ 数形结合知的最小值.‎ ‎∵不等式的解集是空集，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）存在，使得成立，等价于，‎ 由（Ⅰ）可知，‎ 所以，解得，故实数的取值范围为.‎