高科数学专题复习课件：第二章 2_6对数与对数函数
§2.6
对数与对数函数
基础知识
自主学习
课时作业
题型分
类
深度剖析
内容索引
基础知识 自主学习
一般地，如果
a
x
＝
N
(
a
>0
，且
a
≠
1)
，那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记
作
，其中
叫做
对数的底数
，
叫做
真数
.
1.
对数的概念
知识梳理
x
＝
log
a
N
a
N
(1)
对数的运算法则
如果
a
>0
，且
a
≠
1
，
M
>0
，
N
>0
，那么
①
log
a
(
MN
)
＝
；
②
＝
；
③
log
a
M
n
＝
(
n
∈
R
).
(2)
对数的性质
①
＝
；
②
log
a
a
N
＝
(
a
>0,
且
a
≠
1).
(3)
对数的换底公式
log
a
b
＝
(
a
>0
，且
a
≠
1
；
c
>0
，且
c
≠
1
；
b
>0).
2.
对数的性质与运算法则
log
a
M
＋
log
a
N
log
a
M
－
log
a
N
n
log
a
M
N
N
3.
对数函数的图象与性质
y=
log
a
x
a
>1
0<
a
<1
图象
几何画板展示
定义域
(1)_________
值域
(2)
性质
(3)
过定点
_____
(4)
当
x
>1
时
，
_____;
当
0<
x
<1
时
，
_____
(5)
当
x
>1
时
，
_____
当
0<
x
<1
时
，
_____
(6)
在
(0
，＋
∞
)
上
是
_______
(7)
在
(0
，＋
∞
)
上
是
______
(0
，＋
∞
)
(1,0)
y
>0
y
<0
y
<0
y
>0
增函数
减函数
R
4.
反函数
指数函数
y
＝
a
x
与对数函数
y
＝
互
为反函数，它们的图象关于直线
对称
.
y
＝
x
log
a
x
1.
换底公式的两个重要结论
知识
拓展
其中
a
>0
且
a
≠
1
，
b
>0
且
b
≠
1
，
m
，
n
∈
R
.
2.
对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线
y
＝
1
，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数
.
故
0<
c
<
d
<1<
a
<
b
.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大
.
判断下列结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“×”
)
(1)
若
MN
>0
，则
log
a
(
MN
)
＝
log
a
M
＋
log
a
N
.(
)
(2)log
a
x
·log
a
y
＝
log
a
(
x
＋
y
).(
)
(3)
函数
y
＝
log
2
x
及
都是
对数函数
.(
)
(4)
对数函数
y
＝
log
a
x
(
a
>0
且
a
≠
1)
在
(0
，＋
∞
)
上是增函数
.(
)
(5)
函数
y
＝
与
y
＝
ln(1
＋
x
)
－
ln(1
－
x
)
的定义域相同
.(
)
(6)
对数函数
y
＝
log
a
x
(
a
>0
且
a
≠
1)
的图象过定点
(1,0)
且过点
(
a,
1)
，
，
函数图象只在第一、四象限
.(
)
思考辨析
×
×
×
×
√
√
1.(
教材改编
)(log
2
9)·(log
3
4)
等于
考点自测
答案
解析
(log
2
9)·(log
3
4)
＝
2log
2
3·2log
3
2
＝
4.
2.
函数
f
(
x
)
＝
lg(|
x
|
－
1)
的大致图象是
答案
解析
由函数
f
(
x
)
＝
lg(|
x
|
－
1)
的定义域为
(
－
∞
，－
1)
∪
(1
，＋
∞
)
，值域为
R
.
又
当
x
>1
时，函数单调递增，所以只有选项
B
正确
.
3.
已知
则
A.
a
>
b
>
c
B.
b
>
a
>
c
C.
a
>
c
>
b
D.
c
>
a
>
b
答案
解析
由于
y
＝
5
x
为增函数，
即
故
a
>
c
>
b
.
4.(2016·
成都模拟
)
函数
y
＝
的
定义域为
.
答案
解析
5.(
教材改编
)
若
log
a
<
1(
a
>0
且
a
≠
1)
，则实数
a
的取值范围
是
.
答案
解析
题型分类 深度剖析
题型一 对数的运算
例
1
(1)
已知
log
a
2
＝
m
，
log
a
3
＝
n
，则
a
2
m
＋
n
＝
.
答案
解析
12
∵
log
a
2
＝
m
，
log
a
3
＝
n
，
∴
a
m
＝
2
，
a
n
＝
3
，
∴
a
2
m
＋
n
＝
(
a
m
)
2
·
a
n
＝
2
2
×
3
＝
12.
答案
解析
1
思维
升华
对数运算的一般思路
(1)
拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并
.
(2)
合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
.
跟踪训练
1
(1)
若
a
＝
log
4
3
，则
2
a
＋
2
－
a
＝
.
答案
解析
答案
解析
1
题型二 对数函数的图象及应用
例
2
(1)
已知函数
y
＝
log
a
(
x
＋
c
)(
a
，
c
为常数，
其中
a
>0
，
a
≠
1)
的图象如图，则下列结论成立的
是
A.
a
>1
，
c
>1
B.
a
>1,0<
c
<1
C.0<
a
<1
，
c
>1
D.0<
a
<1,0<
c
<1
答案
解析
由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，
∴
0<
a
<1
，
∵
图象与
x
轴的交点在区间
(0,1)
之间，
∴
该函数的图象是由函数
y
＝
log
a
x
的图象向左平移不到
1
个单位后得到的
，
∴
0<
c
<1.
(2)(
2017·
合肥
月考
)
当
0<
x
≤
时
，
4
x
1
时不满足条件，
思维
升华
(1)
对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性
(
单调区间
)
、值域
(
最值
)
、零点时，常利用数形结合思想求解
.
(2)
一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解
.
跟踪训练
2
(1)
若函数
y
＝
log
a
x
(
a
>0
且
a
≠
1)
的图象如图所示，则下列函数图象正确的是
答案
解析
由题意
y
＝
log
a
x
(
a
>0
且
a
≠
1)
的图象过
(3,1)
点，可解得
a
＝
3.
选项
A
中，
y
＝
3
－
x
＝
( )
x
，显然图象错误；
选项
B
中，
y
＝
x
3
，由幂函数图象性质可知正确；
选项
C
中，
y
＝
(
－
x
)
3
＝－
x
3
，显然与所画图象不符；
选项
D
中，
y
＝
log
3
(
－
x
)
的图象与
y
＝
log
3
x
的图象关于
y
轴对称，显然不符，故选
B.
(2)(2016·
新疆乌鲁木齐一诊
)
设
f
(
x
)
＝
|ln(
x
＋
1)|
，已知
f
(
a
)
＝
f
(
b
)(
a
<
b
)
，则
A.
a
＋
b
>0
B.
a
＋
b
>1
C.2
a
＋
b
>0
D.2
a
＋
b
>1
答案
解析
作出函数
f
(
x
)
＝
|ln(
x
＋
1)|
的图象如图所示，
由
f
(
a
)
＝
f
(
b
)
，得－
ln(
a
＋
1)
＝
ln(
b
＋
1)
，
即
ab
＋
a
＋
b
＝
0.0
＝
ab
＋
a
＋
b
<
＋
a
＋
b
，
即
(
a
＋
b
)(
a
＋
b
＋
4)>0
，显然－
1<
a
<0
，
b
>0
，
∴
a
＋
b
＋
4>0
，
∴
a
＋
b
>0
，故选
A.
几何画板展示
题型三 对数函数的性质及应用
命题点
1
比较对数值的大小
例
3
(2015·
天津
)
已知定义在
R
上的函数
f
(
x
)
＝
2
|
x
－
m
|
－
1(
m
为实数
)
为偶函数，记
a
＝
f
(log
0.5
3)
，
b
＝
f
(log
2
5)
，
c
＝
f
(2
m
)
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为
A.
a
＜
b
＜
c
B.
a
＜
c
＜
b
C.
c
＜
a
＜
b
D.
c
＜
b
＜
a
答案
解析
由
f
(
x
)
＝
2
|
x
－
m
|
－
1
是偶函数可知
m
＝
0
，所以
f
(
x
)
＝
2
|
x
|
－
1.
所以
c
＝
f
(0)
＝
2
|0|
－
1
＝
0
，所以
c
<
a
<
b
.
几何画板展示
命题点
2
解对数不等式
例
4
(1)
若
<
1
，则
a
的取值范围是
.
答案
解析
当
a
>1
时，函数
y
＝
log
a
x
在定义域内为增函数，
所以
<
log
a
a
总成立
.
当
0<
a
<1
时，函数
y
＝
log
a
x
在定义域内是减函数，
(2)
设函数
若
f
(
a
)>
f
(
－
a
)
，则实数
a
的取值范围是
A.(
－
1,0)
∪
(
0,1) B
.(
－
∞
，－
1)
∪
(1
，＋
∞
)
C.(
－
1,0)
∪
(1
，＋
∞
) D
.(
－
∞
，－
1)
∪
(0,1)
由题意可
得
或
解得
a
>1
或－
1<
a
<0
，故选
C.
答案
解析
几何画板展示
例
5
已知函数
f
(
x
)
＝
log
a
(3
－
ax
).
(1)
当
x
∈
[0,2]
时，函数
f
(
x
)
恒有意义，求实数
a
的取值范围；
命题点
3
和对数函数有关的复合函数
解
答
∵
a
>0
且
a
≠
1
，设
t
(
x
)
＝
3
－
ax
，
则
t
(
x
)
＝
3
－
ax
为减函数，
x
∈
[0,2]
时，
t
(
x
)
的最小值为
3
－
2
a
，
当
x
∈
[0,2]
时，
f
(
x
)
恒有意义，
即
x
∈
[0,2]
时，
3
－
ax
>0
恒成立
.
(2)
是否存在这样的实数
a
，使得函数
f
(
x
)
在区间
[1,2]
上为减函数，并且最大值为
1
？如果存在，试求出
a
的值；如果不存在，请说明理由
.
解
答
t
(
x
)
＝
3
－
ax
，
∵
a
>0
，
∴
函数
t
(
x
)
为减函数
.
∵
f
(
x
)
在区间
[1,2]
上为减函数，
∴
y
＝
log
a
t
为增函数，
∴
a
>1
，
x
∈
[1,2]
时，
t
(
x
)
的最小值为
3
－
2
a
，
f
(
x
)
的最大值为
f
(1)
＝
log
a
(3
－
a
)
，
故不存在这样的实数
a
，使得函数
f
(
x
)
在区间
[1,2]
上为减函数，并且最大值为
1.
思维
升华
(1)
对数值大小比较的主要方法
①
化同底数后利用函数的单调性；
②
化同真数后利用图象比较；
③
借用中间量
(0
或
1
等
)
进行估值比较
.
(2)
解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据
“
同增异减
”
原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题
.
跟踪训练
3
(1)
设函数
f
(
x
)
＝
则
满足
f
(
x
)
≤
2
的
x
的取值范围是
A.
[
－
1,2]
B
.
[0,2]
C.[1
，＋
∞
)
D
.[0
，＋
∞
)
答案
解析
当
x
≤
1
时，
2
1
－
x
≤
2
，解得
x
≥
0
，所以
0
≤
x
≤
1
；
当
x
>1
时，
1
－
log
2
x
≤
2
，解得
x
≥
，
所以
x
>1.
综上可知
x
≥
0.
几何画板展示
(2)
若
f
(
x
)
＝
lg(
x
2
－
2
ax
＋
1
＋
a
)
在区间
(
－
∞
，
1]
上递减，则
a
的取值范围为
A.
[1,2)
B
.[1,2]
C.[1
，＋
∞
)
D
.[2
，＋
∞
)
答案
解析
令函数
g
(
x
)
＝
x
2
－
2
ax
＋
1
＋
a
＝
(
x
－
a
)
2
＋
1
＋
a
－
a
2
，对称轴为
x
＝
a
，
解得
1
≤
a
<2
，即
a
∈
[1,2)
，故选
A.
比较大小问题是每年高考的必考内容之一：
(
1)
比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法
.
(
2)
解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选
0
或
1.
比较
指数式、对数式的大小
高频小考点
3
考点分析
典例
(1
)(
2016·
全国乙卷
)
若
a
>
b
>0,0<
c
<1
，则
A.log
a
c
c
b
答案
解析
因为
0<
c
<1
，所以
lg
c
<0
，
而
a
>
b
>0
，所以
lg
a
>lg
b
，
但不能确定
lg
a
、
lg
b
的正负，
所以它们的大小不能确定，所以
A
错；
对
C
：由
y
＝
x
c
在第一象限内是增函数，
即可得到
a
c
>
b
c
，所以
C
错；
对
D
：由
y
＝
c
x
在
R
上为减函数，
得
c
a
<
c
b
，所以
D
错
.
故选
B.
(2)(2016·
河南八市质检
)
若
a
＝
2
0.3
，
b
＝
log
π
3
，
c
＝
log
4
cos 100
，则
A.
b
>
c
>
a
B.
b
>
a
>
c
C.
a
>
b
>
c
D.
c
>
a
>
b
答案
解析
因为
2
0.3
>2
0
＝
1,0
＝
log
π
1
b
>
c
，故选
C.
(3)
若实数
a
，
b
，
c
满足
log
a
22.
∵
c
＝
0.8
3.1
，
∴
0<
c
<1.
即
c
<
a
<
b
，故选
B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3.
函数
f
(
x
)
＝
ln(
x
2
＋
1)
的图象大致是
答案
解析
√
函数
f
(
x
)
＝
ln(
x
2
＋
1)
是偶函数，排除
C
；
当
x
＝
0
时，
f
(
x
)
＝
0
，排除
B
、
D
，故选
A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.(2016·
吉林模拟
)
已知函数
f
(
x
)
＝
则
f
(2 018)
等于
A.2
019 B.2
018 C.2
017 D.2 016
√
答案
解析
由已知
f
(2 018)
＝
f
(2 017)
＋
1
＝
f
(2 016)
＋
2
＝
f
(2 015)
＋
3
＝
…
＝
f
(1)
＋
2 017
＝
log
2
(5
－
1)
＋
2 017
＝
2 019.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5.
定义在
R
上的函数
f
(
x
)
满足
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，
f
(
x
－
2)
＝
f
(
x
＋
2)
，且
x
∈
(
－
1
,
0
)
时，
f
(
x
)
＝
2
x
＋
，
则
f
(log
2
20)
等于
答案
解析
√
由
f
(
x
－
2)
＝
f
(
x
＋
2)
，得
f
(
x
)
＝
f
(
x
＋
4)
，
因为
4
＜
log
2
20
＜
5
，所以
f
(log
2
20)
＝
f
(log
2
20
－
4)
＝－
f
(4
－
log
2
20)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A.(0
，＋
∞
)
B
.(2
，＋
∞
)
C.(1
，＋
∞
)
D.(
，＋
∞
)
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
所以
a
>1
，所以函数
y
＝
log
a
M
为增函数，
所以函数
f
(
x
)
的单调递增区间为
(0
，＋
∞
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
解析
－
1
8.
函数
的
最小值为
.
答案
解析
＝
log
2
x
·2log
2
(2
x
)
＝
log
2
x
(1
＋
log
2
x
).
设
t
＝
log
2
x
(
t
∈
R
)
，则原函数可以化为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
解析
所以
log
a
(1
－
a
)>0
，即
1
－
a
>1
，
解得
a
<0
，此时无解
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
*10.(2016·
南昌模拟
)
关于函数
f
(
x
)
＝
(
x
≠
0
，
x
∈
R
)
有下列命题：
①
函数
y
＝
f
(
x
)
的图象关于
y
轴对称；
②
在区间
(
－
∞
，
0)
上，函数
y
＝
f
(
x
)
是减函数；
③
函数
f
(
x
)
的最小值为
lg 2
；
④
在区间
(1
，＋
∞
)
上，函数
f
(
x
)
是增函数
.
其中是真命题的序号为
.
答案
解析
①③④
∵
函数
f
(
x
)
＝
(
x
≠
0
，
x
∈
R
)
，显然
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
，
即函数
f
(
x
)
为偶函数，图象关于
y
轴对称，故
①
正确；
可知当
x
∈
(0,1)
时，
t
′
(
x
)<0
，
t
(
x
)
单调递减，
当
x
∈
(1
，＋
∞
)
时，
t
′
(
x
)>0
，
t
(
x
)
单调递增，即在
x
＝
1
处取得最小值为
2.
由偶函数的图象关于
y
轴对称及复合函数的单调性可知
②
错误，
③
正确，
④
正确，故答案为
①③④
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11.
已知函数
f
(
x
)
＝
，
若
f
(
a
)
＋
f
(
b
)
＝
0
，且
0<
a
<
b
<1
，则
ab
的取值范围是
.
答案
解析
又
0<
a
<
b
<1
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
*12.
已知函数
f
(
x
)
＝
3
－
2log
2
x
，
g
(
x
)
＝
log
2
x
.
(1)
当
x
∈
[
1,4
]
时，求函数
h
(
x
)
＝
[
f
(
x
)
＋
1
]
·
g
(
x
)
的值域；
解
答
h
(
x
)
＝
(4
－
2log
2
x
)·log
2
x
＝－
2(log
2
x
－
1)
2
＋
2
，
因为
x
∈
[1,4]
，所以
log
2
x
∈
[0,2]
，
故函数
h
(
x
)
的值域为
[0,2].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)
如果对任意的
x
∈
[1,4]
，不等式
f
(
x
2
)·
f
( )>
k
·
g
(
x
)
恒成立，求实数
k
的取值范围
.
解答
令
t
＝
log
2
x
，因为
x
∈
[1,4]
，所以
t
＝
log
2
x
∈
[0,2]
，
所以
(3
－
4
t
)(3
－
t
)>
k
·
t
对一切
t
∈
[0,2]
恒成立，
①
当
t
＝
0
时，
k
∈
R
；
综上，实数
k
的取值范围为
(
－
∞
，－
3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
*13.(
2017·
厦门
月考
)
已知函数
f
(
x
)
＝
.
(1)
求函数
f
(
x
)
的定义域，并判断函数
f
(
x
)
的奇偶性；
解答
∴
函数
f
(
x
)
的定义域为
(
－
∞
，－
1)
∪
(1
，＋
∞
)
，
当
x
∈
(
－
∞
，－
1)
∪
(1
，＋
∞
)
时，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解答
∵
x
∈
[2,6]
，
∴
0<
m
<(
x
＋
1)(7
－
x
)
在
x
∈
[2,6]
上恒成立
.
令
g
(
x
)
＝
(
x
＋
1)(7
－
x
)
＝－
(
x
－
3)
2
＋
16
，
x
∈
[2,6]
，
由二次函数的性质可知，
x
∈
[2,3]
时函数
g
(
x
)
单调递增，
x
∈
[3,6]
时函数
g
(
x
)
单调递减，
即
x
∈
[2,6]
时，
g
(
x
)
min
＝
g
(6)
＝
7
，
∴
0<
m
<7.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
