高科数学专题复习课件：第十二章 12_6离散型随机变量的均值与方差、正态分布

高科数学专题复习课件：第十二章 12_6离散型随机变量的均值与方差、正态分布

§12.6 　 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 离散型随机变量的均值与 方差 知识梳理 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n (1) 均值 称 E ( X ) ＝ 为 随机变量 X 的均值 或 . 它反映了离散型随机变量取值 的 . 平均水平 数学期望 (2) 方差 称 D ( X ) ＝ 为 随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E ( X ) 的 ， 并称其算术 平方根 为 随机变量 X 的 . 平均偏离程度 标准差 (1) E ( aX ＋ b ) ＝ . (2) D ( aX ＋ b ) ＝ .( a ， b 为常数 ) 2. 均值与方差的性质 aE ( X ) ＋ b a 2 D ( X ) (1) 若随机变量 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ ， D ( X ) ＝ . (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ ， D ( X ) ＝ . 3. 两点分布与二项分布的均值、方差 p p (1 － p ) np np (1 － p ) (1) 正态曲线：函数 φ μ ， σ ( x ) ＝ ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，其中实数 μ 和 σ 为参数 ( σ >0 ， μ ∈ R ). 我们称函数 φ μ ， σ ( x ) 的图象 为 ， 简称正态曲线 . 4. 正态分布 正态分布密度曲线 (2) 正态曲线的性质 ① 曲线位于 x 轴 ， 与 x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，它关于 直线 对称 ； ③ 曲线 在 处 达到 峰值 ； ④ 曲线与 x 轴之间的面积 为 ； ⑤ 当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线 随着 的 变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； ⑥ 当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定， σ ， 曲线越 “ 瘦高 ” ，表示总体的分布越集中； σ ， 曲线越 “ 矮胖 ” ，表示总体的分布越分散，如图乙所示 . 上方 x ＝ μ x ＝ μ 1 μ 越小 越大 (3) 正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数 a ， b ( a < b ) ，随机变量 X 满足 P ( a < X ≤ b ) ＝ ， 则称随机变量 X 服从正态分布，记 作 . 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ① P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ ； ② P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ ； ③ P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ . 0.6826 0.9544 0.9974 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定 .( 　　 ) (2) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 .( 　　 ) (3) 正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的均值， σ 是正态分布的标准差 .( 　　 ) ( 4) 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布 .( 　　 ) (5) 均值是算术平均数概念的推广，与概率无关 .( 　　 ) 思考辨析 √ √ √ √ × 考点自测 1.( 教材改编 ) 某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下： 答案 解析 ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 ξ 的均值 E ( ξ ) ＝ 8.9 ，则 y 的值为 A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9 可得 y ＝ 0.4. 答案 解析 2. 设随机变量 ξ 的分布列为 P ( ξ ＝ k ) ＝ ( k ＝ 2,4,6,8,10) ，则 D ( ξ ) 等于 A.8 B.5 C.10 D.12 3. 已知随机变量 X ＋ η ＝ 8 ，若 X ～ B (10,0.6) ，则随机变量 η 的均值 E ( η ) 及方差 D ( η ) 分别是 答案 解析 D ( X ) ＝ 10 × 0.6 × (1 － 0.6) ＝ 2.4 ， A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 设随机变量 X 的均值及方差分别为 E ( X ) ， D ( X ) ， 因为 X ～ B (10,0.6) ，所以 E ( X ) ＝ 10 × 0.6 ＝ 6 ， 故 E ( η ) ＝ E (8 － X ) ＝ 8 － E ( X ) ＝ 2 ， D ( η ) ＝ D (8 － X ) ＝ D ( X ) ＝ 2.4. 4. 设样本数据 x 1 ， x 2 ， … ， x 10 的均值和方差分别为 1 和 4 ，若 y i ＝ x i ＋ a ( a 为非零常数， i ＝ 1,2 ， … ， 10) ，则 y 1 ， y 2 ， … ， y 10 的均值和方差分别为 ________. 答案 解析 所以 y 1 ， y 2 ， … ， y 10 的均值为 1 ＋ a ，方差不变仍为 4. 1 ＋ a ,4 5. 某班有 50 名学生，一次考试的数学成绩 ξ 服从正态分布 N (100,10 2 ) ，已知 P (90 ≤ ξ ≤ 100) ＝ 0.3 ，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 ________. 答案 解析 ∴ 该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 0.2 × 50 ＝ 10. 10 题型分类　深度剖析 题型一　离散型随机变量的均值、方差 命题点 1 　求离散型随机变量的均值、方差 例 1 　 (2016· 山东 ) 甲、乙两人组成 “ 星队 ” 参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则 “ 星队 ” 得 3 分；如果只有一个人猜对，则 “ 星队 ” 得 1 分；如果两人都没猜对，则 “ 星队 ” 得 0 分 . 已知甲每轮猜对的概率 是 ， 乙每轮猜对的概率 是 ， 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响 . 假设 “ 星队 ” 参加两轮活动，求： (1) “ 星队 ” 至少猜对 3 个成语的概率； 解答 记事件 A ： “ 甲第一轮猜对 ” ， 记事件 B ： “ 乙第一轮猜对 ” ， 记事件 C ： “ 甲第二轮猜对 ” ， 记事件 D ： “ 乙第二轮猜对 ” ， 记事件 E ： “‘ 星队 ’ 至少猜对 3 个成语 ”. 由事件的独立性与互斥性， (2) “ 星队 ” 两轮得分之和 X 的分布列和均值 E ( Χ ). 解答 由题意，得随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 可得随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 命题点 2 　已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 例 2 　 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分 . (1) 当 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， c ＝ 1 时，从该袋子中任取 ( 有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和，求 ξ 的分布列； 解答 由题意得 ξ ＝ 2,3,4,5,6 ， 所以 ξ 的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P 解答 由题意知 η 的分布列为 η 1 2 3 P 解得 a ＝ 3 c ， b ＝ 2 c ，故 a ∶ b ∶ c ＝ 3 ∶ 2 ∶ 1. 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1) 求离散型随机变量的均值与方差 . 可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解 . (2) 由已知均值或方差求参数值 . 可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程 ( 组 ) ，解方程 ( 组 ) 即可求出参数值 . (3) 由已知条件，作出对两种方案的判断 . 可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (2015· 四川 ) 某市 A ， B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生， B 中学推荐了 3 名男生、 4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训 . 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队 . (1) 求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； 解答 (2) 某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列和均值 . 解答 根据题意， X 的可能取值为 1,2,3 ， 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 题型二　均值与方差在决策中的应用 例 3 　 (2016· 全国乙卷 ) 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 . 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 ： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . 解答 (1) 求 X 的分布列； 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2 ， 0.4,0.2,0.2 ，从而 P ( X ＝ 16) ＝ 0.2 × 0.2 ＝ 0.04 ， P ( X ＝ 17) ＝ 2 × 0.2 × 0.4 ＝ 0.16 ， P ( X ＝ 18) ＝ 2 × 0.2 × 0.2 ＋ 0.4 × 0.4 ＝ 0.24 ， P ( X ＝ 19) ＝ 2 × 0.2 × 0.2 ＋ 2 × 0.4 × 0.2 ＝ 0.24 ， P ( X ＝ 20) ＝ 2 × 0.2 × 0.4 ＋ 0.2 × 0.2 ＝ 0.2 ， P ( X ＝ 21) ＝ 2 × 0.2 × 0.2 ＝ 0.08 ， P ( X ＝ 22) ＝ 0.2 × 0.2 ＝ 0.04 . 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2) 若要求 P ( X ≤ n ) ≥ 0.5 ，确定 n 的最小值； 解答 由 (1) 知 P ( X ≤ 18) ＝ 0.44 ， P ( X ≤ 19) ＝ 0.68 ， 故 n 的最小值为 19. (3) 以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在 n ＝ 19 与 n ＝ 20 之中选其一，应选用哪个？ 解答 记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用 ( 单位：元 ). 当 n ＝ 19 时， E ( Y ) ＝ 19 × 200 × 0.68 ＋ (19 × 200 ＋ 500) × 0.2 ＋ (19 × 200 ＋ 2 × 500) × 0.08 ＋ (19 × 200 ＋ 3 × 500) × 0.04 ＝ 4 040 ； 当 n ＝ 20 时， E ( Y ) ＝ 20 × 200 × 0.88 ＋ (20 × 200 ＋ 500) × 0.08 ＋ (20 × 200 ＋ 2 × 500) × 0.04 ＝ 4 080. 可知当 n ＝ 19 时所需费用的均值小于 n ＝ 20 时所需费用的均值 ， 故 应选 n ＝ 19. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 . 一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 某投资公司在 2016 年年初准备将 1 000 万元投资到 “ 低碳 ” 项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车 . 据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30% ，也可能亏损 15% ，且这两种情况发生的概率分别 为 ； 项目二：通信设备 . 据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50% ，可能损失 30% ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别 为 . 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 . 解答 若按 “ 项目一 ” 投资，设获利为 X 1 万元，则 X 1 的分布列为 X 1 300 － 150 P 若按 “ 项目二 ” 投资，设获利 X 2 万元，则 X 2 的分布列为 X 2 500 － 300 0 P 所以 E ( X 1 ) ＝ E ( X 2 ) ， D ( X 1 )< D ( X 2 ) ， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 . 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 . 题型三　正态分布的应用 例 4 　 (1)(2015· 湖北 ) 设 X ～ N ( μ 1 ， ) ， Y ～ N ( μ 2 ， ) ，这两个正态分布密度曲线如图所示 . 下列结论中正确的是 A. P ( Y ≥ μ 2 ) ≥ P ( Y ≥ μ 1 ) B. P ( X ≤ σ 2 ) ≤ P ( X ≤ σ 1 ) C. 对任意正数 t ， P ( X ≥ t ) ≥ P ( Y ≥ t ) D. 对任意正数 t ， P ( X ≤ t ) ≥ P ( Y ≤ t ) 答案 解析 对于 A 项，因为正态分布曲线关于直线 x ＝ μ 对称，所以 μ 1 < μ 2 . 所以 P ( Y ≥ μ 1 )>0.5 ＝ P ( Y ≥ μ 2 ) ，故 A 项错误； 对于 B 项，因为 X 的正态分布密度曲线比 Y 的正态分布密度曲线更 “ 瘦高 ” ，所以 σ 1 < σ 2 . 所以 P ( X ≤ σ 1 )< P ( X ≤ σ 2 ) ，故 B 项错误； 对于 C 项，由图象可知，在 y 轴的右侧某处，显然满足 P ( X ≥ t )< P ( Y ≥ t ) ，故 C 项错误； 对于 D 项，在 y 轴右侧作与 x 轴垂直的一系列平行线，可知在任何情况下， X 的正态分布密度曲线与 x 轴之间围成的图形面积都大于 Y 的正态分布密度曲线与 x 轴之间围成的图形面积，即对任意正数 t ， P ( X ≤ t ) ≥ P ( Y ≤ t ) ，故 D 项正确 . (2) 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： ① 求这 500 件产品质量指标值的样本 平均数 和 样本方差 s 2 ( 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ) ； 解答 ② 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，其中 μ 近似为样本 平均数 ， σ 2 近似为样本方差 s 2 . ( ⅰ ) 利用该正态分布，求 P (187.8< Z <212.2) ； 解答 由 ① 知， Z ～ N (200,150) ，从而 P (187.8< Z <212.2) ＝ P (200 － 12.2< Z <200 ＋ 12.2) ＝ 0.682 6. ( ⅱ ) 某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2) 的产品件数，利用 ( ⅰ ) 的结果，求 E ( X ). 附 ： ≈ 12.2. 若 Z ～ N ( μ ， σ 2 ) ，则 P ( μ － σ < Z < μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6 ， P ( μ － 2 σ < Z < μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.954 4. 解答 由 ( ⅰ ) 知， 一件产品的质量指标值位于区间 (187.8 ， 212.2) 的概率为 0.682 6 ， 依题意知 X ～ B (100,0.682 6) ， 所以 E ( X ) ＝ 100 × 0.682 6 ＝ 68.26. 解决正态分布问题有三个关键点： (1) 对称轴 x ＝ μ ； (2) 标准差 σ ； (3) 分布区间 . 利用对称性可求指定范围内的概率值；由 μ ， σ ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3 σ 特殊区间，从而求出所求概率 . 注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x ＝ 0. 思维 升华 跟踪训练 3 　 (2015· 山东 ) 已知某批零件的长度误差 ( 单位：毫米 ) 服从正态分布 N (0 ， 3 2 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间 (3,6) 内的概率为 ( 附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，则 P ( μ － σ < ξ < μ ＋ σ ) ＝ 68.26% ， P ( μ － 2 σ ＜ ξ ＜ μ ＋ 2 σ ) ＝ 95.44%.) A.4.56% B.13.59 % C.27.18 % D.31.74 % 答案 解析 由正态分布的概率公式知 P ( － 3< ξ <3) ＝ 0.682 6 ， P ( － 6< ξ <6) ＝ 0.954 4 ， 典例 　 (12 分 )(2016· 湖北六校联考 ) 在 2016 年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立回答全部问题 . 规定：至少正确回答其中 2 题的便可通过 . 已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确回答， 2 题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都 为 ， 且每题正确回答与否互不影响 . (1) 分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其均值； (2) 试用统计知识分析比较两考生的通过能力 . 离散 型随机变量的均值与方差问题 答题模板系列 8 规范解答 答题模板 故其分布列为 ξ 1 2 3 P η 0 1 2 3 P ∴ P ( ξ ≥ 2)> P ( η ≥ 2). 从回答对题数的均值考查，两人水平相当 ； 从 回答对题数的方差考查，甲较稳定 ； 从 至少正确回答 2 题的概率考查，甲获得通过的可能性大 . 因此 可以判断甲的通过能力较强 . [ 12 分 ] 返回 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般 步骤 ： 第一步：确定随机变量的所有可能 值 ； 第二步：求每一个可能值所对应的 概率 ； 第三步：列出离散型随机变量的分布 列 ； 第四步：求均值和 方差 ； 第五步：根据均值、方差、进行判断，并得出 结论 ； ( 适用于均值、方差的应用问题 ) 第六步：反思回顾 . 查看关键点、易错点和答题规范 . 返回 课时作业 1.(2016· 郑州一模 ) 某班举行了一次 “ 心有灵犀 ” 的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给 A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学 . 若小组内同学甲猜对成语的概率是 0.4 ，同学乙猜对成语的概率是 0.5 ，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，则这两个同学各猜 1 次，得分之和 X ( 单位：分 ) 的均值 为 A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 由题意得 X ＝ 0,1,2 ，则 P ( X ＝ 0) ＝ 0.6 × 0.5 ＝ 0.3 ， P ( X ＝ 1) ＝ 0.4 × 0.5 ＋ 0.6 × 0.5 ＝ 0.5 ， P ( X ＝ 2) ＝ 0.4 × 0.5 ＝ 0.2 ， ∴ E ( X ) ＝ 1 × 0.5 ＋ 2 × 0.2 ＝ 0.9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.(2017· 芜湖 月考 ) 若 X ～ B ( n ， p ) ，且 E ( X ) ＝ 6 ， D ( X ) ＝ 3 ，则 P ( X ＝ 1) 的值 为 A.3 × 2 － 2 B.2 － 4 C.3 × 2 － 10 D.2 － 8 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 设随机变量 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ，且 X 落在区间 ( － 3 ，－ 1) 内的概率和落在区间 (1,3) 内的概率相等，若 P ( X >2) ＝ p ，则 P (0< X <2) 等于 答案 解析 由 X 落在 ( － 3 ，－ 1) 内的概率和落在 (1,3) 内的概率相等得 μ ＝ 0. 又 ∵ P ( X >2) ＝ p ， ∴ P ( － 2< x <2) ＝ 1 － 2 p ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 答案 解析 20 记此人三次射击击中目标次数为 X ，得分为 Y ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 设 “ 至少有一个系统不发生故障 ” 为 事件 C ，那么 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ ，求 ξ 的分布列及均值 E ( ξ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 由题意，得随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以，随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 故随机变量 ξ 的均值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.(2016 · 汕 尾调研 ) 为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高 X ( 单位： cm) 服从正态分布 N (160 ， σ 2 ) ，已知 P ( X <150) ＝ 0.2 ， P ( X ≥ 180) ＝ 0.03. (1) 现从该市高三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间 [ 170,180 ) 的概率； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ＝ 0.5 － 0.2 ＝ 0.3. 所以 P (170 ≤ X <180) ＝ 0.5 － 0.3 － 0.03 ＝ 0.17. 由全市高三学生身高 X 服从 N (160 ， σ 2 ) ， P ( X <150) ＝ 0.2 ， 得 P (160 ≤ X <170) ＝ P (150 ≤ X <160) 因为 P ( X ≥ 180) ＝ 0.03 ， 故从该市高三学生中随机抽取一名学生，该学生身高在区间 [170,180) 的概率为 0.17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 现从该市高三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区间 [150,170) 的人数为 ξ ，求随机变量 ξ 的分布列和均值 E ( ξ ) . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以 P ( ξ ＝ 0) ＝ (1 － 0.6) 3 ＝ 0.064 ， P ( ξ ＝ 2) ＝ 3 × 0.6 2 × (1 － 0.6) ＝ 0.432 ， 因为 P (150 ≤ X <170) ＝ P (150 ≤ X <160) ＋ P (160 ≤ X <170) ＝ 0.3 ＋ 0.3 ＝ 0.6 ， ξ 服从二项分布 B (3,0.6) ， P ( ξ ＝ 1) ＝ 3 × 0.6 × (1 － 0.6) 2 ＝ 0.288 ， P ( ξ ＝ 3) ＝ 0.6 3 ＝ 0.216. 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 所以 E ( ξ ) ＝ 3 × 0.6 ＝ 1.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.(2016· 泉州模拟 ) 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率 为 ， 中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率 为 ， 中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分 . 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品 . (1) 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X ，求 X ≤ 3 的概率； (2) 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？ 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 记 “ 这 2 人的累计得分 X ≤ 3 ” 为事件 A ， 则事件 A 的对立事件为 “ X ＝ 5 ” ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 设小明、小红都选择方案甲抽奖的中奖次数为 X 1 ， 都 选择方案乙抽奖的中奖次数为 X 2 ， 则 这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为 E (2 X 1 ) ， 选择 方案乙抽奖累计得分的均值为 E (3 X 2 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为 E (2 X 1 )> E (3 X 2 ) ， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大 . 记 “ 这 2 人的累计得分 X ≤ 3 ” 为事件 A ， 则事件 A 包含有 “ X ＝ 0 ” ， “ X ＝ 2 ” ， “ X ＝ 3 ” 三个两两互斥的事件， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X 1 ， 都 选择方案乙所获得的累计得分为 X 2 ，则 X 1 ， X 2 的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为 E ( X 1 )> E ( X 2 ) ， X 1 0 2 4 P X 2 0 3 6 P 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 *9. 为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 . (1) 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： ① 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； ② 顾客所获的奖励额的分布列及均值； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设顾客所获的奖励额为 X . ② 依题意，得 X 的所有可能取值为 20,60. 故 X 的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以顾客所获的奖励额的均值为 X 20 60 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成 . 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元， 所以，先寻找均值为 60 元的可能方案 . 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择 (10,10,10,50) 的方案， 因为 60 元是面值之和的最大值， 所以均值不可能为 60 元； 如果选择 (50,50,50,10) 的方案， 因为 60 元是面值之和的最小值， 所以均值也不可能为 60 元 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因此可能的方案是 (10,10,50,50) ，记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况， 同理可排除 (20,20,20,40) 和 (40,40,40,20) 的方案， 所以可能的方案是 (20,20,40,40) ，记为方案 2. 以下是对两个方案的分析 . 对于方案 1 ，即方案 (10,10,50,50) ， 设顾客所获的奖励额为 X 1 ， 则 X 1 的分布列为 X 1 20 60 100 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 对于方案 2 ，即方案 (20,20,40,40) ， 设顾客所获的奖励额为 X 2 ， 则 X 2 的分布列为 X 2 40 60 80 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求 ， 但 方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9