湖北省黄石市大冶市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

湖北省黄石市大冶市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

大冶一中2020届高三年级第三次调研考试理科数学试题 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。‎ ‎3.全部答案在答题卡上完成，答在草稿纸上无效；考试结束，将答题卡交回。‎ ‎4.满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。‎ ‎1.已知集合，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．‎ ‎【详解】由题意得，，则 ‎．故选C．‎ ‎【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．‎ ‎2.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.‎ 详解：选D.‎ 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.‎ ‎3.设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.‎ ‎4.若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：由公式可得结果.‎ 详解：‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.‎ ‎5.设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得 ‎，从而求得正确结果.‎ 详解：设该等差数列的公差为，‎ 根据题中的条件可得，‎ 整理解得，所以，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.‎ ‎6.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴−=3(−)；‎ ‎∴=−.‎ 故选A.‎ ‎7.已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用中间量比较，运用中间量比较 ‎【详解】则 ‎．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．‎ ‎8.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ ‎，据此可得：，‎ 结合两角和差正余弦公式有：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ ‎9.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于，，且，‎ 故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除， 故选B．‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 ‎10.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ , ， , , ,解得： ，所以 ， ，‎ ‎ ，根据平移原则，可知函数向左平移个单位，故选B.‎ ‎11.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.‎ 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，‎ 再画出直线，之后上下移动，‎ 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，‎ 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，‎ 即方程有两个解，‎ 也就是函数有两个零点，‎ 此时满足，即，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.‎ ‎12.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（ ）‎ A. 672 B. 673 C. 1346 D. 2019‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.‎ ‎【详解】由数列各项除以2的余数，‎ 可得为，‎ 所以是周期为3的周期数列，‎ 一个周期中三项和为，‎ 因为，‎ 所以数列的前2019项的和为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共85分）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13.已知向量，，．若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两向量共线的坐标关系计算即可．‎ ‎【详解】由题可得 ‎ ‎ ‎,即 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．‎ ‎14.若函数为偶函数，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，‎ ‎．‎ 考点：函数的奇偶性．‎ ‎【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ ‎15.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，‎ 所以所以．‎ ‎【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．‎ ‎16.在平面边形中，，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：作出图形，以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解．‎ 详解：设，在中，由正弦定理，得 ‎，即，‎ 即，‎ 由余弦定理，得；‎ 在中，由余弦定理，得 ‎，‎ ‎，其中，‎ 则，即的最小值为．‎ 点睛：（1）解决本题的关键是合理选择为自变量，再在和中，利用正弦定理、余弦定理进行求解；‎ ‎（2）利用三角恒等变换和三角函数的性质求最值时，往往用到如下辅助角公式：‎ ‎，其中．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角C；（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎（2）‎ 又 ‎，‎ 的周长为 考点：正余弦定理解三角形.‎ ‎18.已知，，记函数.‎ ‎（1）求的表达式，以及取最大值时的取值集合；‎ ‎（2）设三内角，，的对应边分别为，，，若，，，求的面积.‎ ‎【答案】（1），最大时对应的集合为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量的数量积坐标运算及三角恒等变换得，利用三角函数的性质，即可求出取最大值时的取值集合；‎ ‎（2）先求，再利用斜弦定理和三角形面积公式，求出三角形的面积.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，，‎ 对应的集合为.‎ ‎（2）由，得，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 解得，‎ 又∵，，由余弦定理得，‎ ‎∴，即，‎ 由面积公式得面积为.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、三角函数的图象与性质、余弦定理和面积公式的应用，考查运算求解能力.‎ ‎19.已知，设命题：实数满足，命题：实数满足．‎ ‎（1）若，为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）若，分别求出成立的等价条件，利用为真命题，求出的取值范围；‎ ‎（2）利用是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】由，得，‎ ‎（1）若，则：，‎ 若为真，则，同时为真，‎ 即，解得，‎ ‎∴实数的取值范围.‎ ‎（2）由，得，解得.‎ 即：.‎ 若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，‎ 则必有，此时：，.‎ 则有，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将是 的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件是解决本题的关键.‎ ‎20. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ ‎（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；‎ ‎（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）3333辆/小时 ‎【解析】‎ ‎（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得 故函数v（x）表达式为 ‎（2）依题并由（1）可得 当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200‎ 当20≤x≤200时，‎ 当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．‎ 所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．‎ 综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．‎ 答：（1）函数v（x）的表达式 ‎（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．‎ ‎21.若数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把，分别代入递推关系，求得，的值；‎ ‎（2）利用得到的递推关系，进而求得的通项公式；‎ ‎（3）求出通项公式，再利用裂项相消法求得.‎ ‎【详解】（1）当时，，则，‎ 当时，，解得：或（舍去），‎ 所以，.‎ ‎（2）当时，，‎ 即（舍去）或，‎ ‎∴.‎ ‎（3）∵，∴，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用数列递推关系求、数列通项公式、数列前项和等知识，考查从特殊到一般的思想和基本量法的应用，注意在利用递推关系时，这一限制条件.‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最大值；‎ ‎（2）令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值 ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，判断其在单调递增，在单调递减，从而得到最大值为；‎ ‎（2）求出函数，，则其导数小于等于在恒成立，进而求出的取值范围；‎ ‎（3）方程有唯一实数解，设，利用导数研究函数的图象特征，设为方程的唯一解，得到，把方程组转化成，再利用导数研究该方程的根，最后根据根的唯一性，得到与的关系，再求出正数的值.‎ ‎【详解】（1）依题意，知的定义域为，‎ 当时，，‎ 令，解得.‎ 当时，，此时单调递增；‎ 当时，，此时单调递减.‎ 所以的极大值为，此即为最大值.‎ ‎（2），，则有，在上恒成立，所以，.‎ 当时，取得最大值，所以.‎ ‎（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，‎ 设，则.‎ 令，，‎ 因为，，所以（舍去），，‎ 当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 当时，，取最小值.‎ 则，即，‎ 所以，‎ 因为，所以 设函数，‎ 因为当时，是增函数，所以至多有一解，‎ 又，所以方程的解为，即，解得.‎ ‎【点睛】本题考查函数与导数的应用，即利用导数研究函数的最值、函数的单调性，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，求解第（3）问的关键在于方程根唯一性的理解，从而得到关于的方程.‎ ‎ ‎ ‎ ‎