数学卷·2018届贵州省安顺市平坝一中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届贵州省安顺市平坝一中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年贵州省安顺市平坝一中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）‎ ‎1．某班的60名同学已编号1，2，3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是（　　）‎ A．简单随机抽样法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．抽签法 ‎2．经过圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心且斜率为1的直线方程为（　　）‎ A．x﹣y+3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+3=0‎ ‎3．如图所示，程序执行后的输出结果为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎4．已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|＞|AC|，B（﹣1，0）C（1，0）则顶A的轨迹方程为（　　）‎ A． B．（x＜0）‎ C． D．（x＞0）‎ ‎5．如果p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件；那么（　　）‎ A．￢p⇐￢r B．￢p⇒￢r C．￢p⇔￢r D．p⇔r ‎6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则（　　）‎ A．me=mo= B．me=mo＜ C．me＜mo＜ D．mo＜me＜‎ ‎7．从四双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是（　　）‎ A．至多有两只不成对 B．恰有两只不成对 C．4只全部不成对 D．至少有两只不成对 ‎8．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6，当x=﹣4时，v4的值为（　　）‎ A．﹣57 B．220 C．﹣845 D．3392‎ ‎9．下列有关命题的叙述，错误的个数为（　　）‎ ‎①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 ‎②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件 ‎③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0‎ ‎④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根，命题q：关于x函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上为增函数，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a取值范围为（　　）‎ A．（﹣12，﹣4]∪[4，+∞） B．[﹣12，﹣4]∪[4，+∞） C．（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4） D．[﹣12，+∞）‎ ‎11．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程 表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．直线y=x与椭圆=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是　　．‎ ‎14．已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|=|F1F2|，那么△PF1F2的面积等于　　．‎ ‎15．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是　　．‎ ‎16．若直线kx﹣y+6﹣3k=0与曲线y=‎ 有两个交点，则k的范围为：　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答要写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=，a2+b2﹣ab=3，‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若sin A=，求b边的长．‎ ‎18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA中点．‎ ‎（1）求证：直线BD⊥平面OAC；‎ ‎（2）求直线MD与平面OAC所成角的大小；‎ ‎（3）求点A到平面OBD的距离．‎ ‎19．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．‎ ‎（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？‎ ‎（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ ‎20．已知圆心为C 的圆经过点A（﹣3，2）和点B（1，0），且圆心C在直线y=x+1上．‎ ‎（1）求圆C的标准方程．‎ ‎（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN 的中点G的轨迹方程．‎ ‎21．如表数据是水温度x（℃）对黄酮延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为变量．‎ x（℃）‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎800‎ y（%）‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎55‎ ‎60‎ ‎67‎ ‎70‎ ‎（1）画出散点图；‎ ‎（2）指出x，y是否线性相关；若线性相关，求y关于x的回归方程；‎ ‎（3）估计水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况．（参考公式：b=，a=﹣b）‎ ‎22．已知椭圆的右焦点为F（1，0），直线y=x﹣与椭圆有且仅有一个交点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l交椭圆于A，B两点，且=0，试求l在x轴上的截距的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年贵州省安顺市平坝一中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）‎ ‎1．某班的60名同学已编号1，2，3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是（　　）‎ A．简单随机抽样法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．抽签法 ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：号码能被5整除的12名同学的间距相同，都是5，符合系统抽样的定义，‎ 故该抽样方法是系统抽样，‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．经过圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心且斜率为1的直线方程为（　　）‎ A．x﹣y+3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+3=0‎ ‎【考点】直线的一般式方程；恒过定点的直线．‎ ‎【分析】由题意先求出圆心C的坐标，再代入点斜式方程，再化为一般式方程．‎ ‎【解答】解：由题意知，直线过点（﹣1，2），斜率为1，代入点斜式得，y﹣2=x+1，‎ 即直线方程为x﹣y+3=0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．如图所示，程序执行后的输出结果为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当s=15时不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．‎ ‎【解答】解：执行程序框图，可得 n=5，s=0‎ 满足条件s＜15，s=5，n=4‎ 满足条件s＜15，s=9，n=3‎ 满足条件s＜15，s=12，n=2‎ 满足条件s＜15，s=14，n=1‎ 满足条件s＜15，s=15，n=0‎ 不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|＞|AC|，B（﹣1，0）C（1，0）则顶A的轨迹方程为（　　）‎ A． B．（x＜0）‎ C． D．（x＞0）‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】通过等差数列推出，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆，从而进一步可求椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：已知AB、BC、CA成等差数列，则：|AB|+|AC|=2|BC|‎ ‎∵点B（﹣1，0），C（1，0），∴|BC|=2 ‎ 所以，|AB|+|AC|=2|BC|=4 ‎ 按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆 ‎ 由已知有：c=1，a=2 ‎ 所以，b2=a2﹣c2=4﹣1=3 ‎ 又已知|AB|＞|AC|‎ 所以点A位于上述椭圆的右半部分，且点A不能与B、C在同一直线（x轴）上（否则就不能构成三角形）‎ 所以，点A的轨迹方程是：（x＞0），‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．如果p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件；那么（　　）‎ A．￢p⇐￢r B．￢p⇒￢r C．￢p⇔￢r D．p⇔r ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据逆否命题的等价性以及充分条件和必要条件的定义进行推导即可．‎ ‎【解答】解：∵p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，‎ ‎∴￢q是￢p的充分不必要条件，￢q是￢r的必要不充分条件，‎ 即￢q⇒￢p，￢r⇒￢q，即￢r⇒￢q⇒￢p，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则（　　）‎ A．me=mo= B．me=mo＜ C．me＜mo＜ D．mo＜me＜‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．‎ ‎【解答】解：由图知m0=5，‎ 有中位数的定义应该是第15个数与第16个数的平均值，‎ 由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，‎ 所以 ‎＞5.9‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．从四双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是（　　）‎ A．至多有两只不成对 B．恰有两只不成对 C．4只全部不成对 D．至少有两只不成对 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】根据对立事件的定义，事件“4只全部成对”的对立事件是“4只不全部成对”，由此得出结论．‎ ‎【解答】‎ 解：从四双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是“4只不全部成对”，‎ 即至少有两只不成对，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6，当x=﹣4时，v4的值为（　　）‎ A．﹣57 B．220 C．﹣845 D．3392‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎【分析】把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6‎ ‎=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，‎ ‎∴v0=3，‎ v1=v0x+5=3×（﹣4）+5=﹣7，‎ v2=v1x+6=﹣7×（﹣4）+6=34，‎ v3=v2x+79=34×（﹣4）+79=﹣57，‎ v4=v3x﹣8=﹣57×（﹣4）﹣8=220，‎ ‎∴V4的值为220；‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．下列有关命题的叙述，错误的个数为（　　）‎ ‎①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 ‎②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件 ‎③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0‎ ‎④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】特称命题；全称命题．‎ ‎【分析】直接利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②‎ 的正误；特称命题的否定判断③的正误；四种命题的逆否关系判断④的正误．‎ ‎【解答】解：①若p∨q为真命题，p或q一真命题就真，而P∧Q为真命题，必须两个命题都是真命题，所以①不正确．‎ ‎②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以②正确．‎ ‎③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则﹣p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0；满足特称命题的否定形式，所以③正确．‎ ‎④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否命题的形式，正确应为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．‎ 所以只有②③正确．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根，命题q：关于x函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上为增函数，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a取值范围为（　　）‎ A．（﹣12，﹣4]∪[4，+∞） B．[﹣12，﹣4]∪[4，+∞） C．（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4） D．[﹣12，+∞）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先化简命题p、q，再由由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于或．即可求得答案．‎ ‎【解答】解：由已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根，∴△≥0，即a2﹣16≥0，∴a≥4，或a≤﹣4．‎ 由命题q：关于x函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上为增函数，∴≤3，解得a≥﹣12．‎ 由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于或．‎ 由得到a＜﹣12；‎ 由得到﹣4＜a＜4．‎ 综上可知a的取值范围是：（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，‎ ‎∴a＞b＞0，a＜2b 它对应的平面区域如图中阴影部分所示：‎ 则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为 P==1﹣=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．直线y=x与椭圆=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】根据直线y=x与椭圆=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，可得（c，c）满足椭圆=1，从而可建立方程，由此可求椭圆C的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，∵直线y=x与椭圆=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点 ‎∴（c，c）满足椭圆=1‎ ‎∴‎ ‎∴a2c2+（a2﹣c2）c2=a2（a2﹣c2）‎ ‎∴e4﹣3e2+1=0‎ ‎∴‎ ‎∵0＜e＜1‎ ‎∴‎ 故选A ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是　0.5　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】甲，乙两人随意入住两间空房，每人有两种住法，故两人有2×2=4种住法，且每种住法出现的可能性相等，故为古典概型．只要再计算出甲乙两人各住一间房的住法种数A22=2，求比值即可．‎ ‎【解答】解：由题意符合古典概型，甲，乙两人随意入住两间空房，每人有两种住法，故两人有2×2=4种住法，甲乙两人各住一间房的住法种数A22=2，所以甲、乙两人各住一间房的概率为P==0.5，‎ 故答案为：0.5．‎ ‎　‎ ‎14．已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|=|F1F2|，那么△PF1F2的面积等于　8　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求出椭圆的a，b，c，再由椭圆的定义，可得|PF1|=4，再由等腰三角形的面积公式计算即可得到．‎ ‎【解答】解：椭圆+=1的a=5，b=4，c==3，‎ 在△PF1F2中，|PF2|=|F1F2|=2c=6，‎ 由椭圆的定义可得|PF1|=2a﹣|PF2|=10﹣6=4，‎ 则△PF1F2的面积为×4×=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎15．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是　10　．‎ ‎【考点】茎叶图；循环结构．‎ ‎【分析】‎ 根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；‎ 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个 故答案为：10‎ ‎　‎ ‎16．若直线kx﹣y+6﹣3k=0与曲线y=有两个交点，则k的范围为：　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由条件化简可得半圆和直线有两个相异的交点，如图所示，求出斜率，可得实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：曲线y=，‎ 即x2+y2=9（y≥0），‎ 表示以M（0，0）为圆心，‎ 半径等于3的一个半圆．‎ 直线kx﹣y+6﹣3k=0即 k（x﹣3）﹣y+6=0，经过定点N（3，6）．‎ 再根据半圆和直线有两个相异的交点，‎ 如图所示：‎ 由题意可得，直线和半圆相切，k=，‎ 直线过（﹣3，0），斜率，1，‎ 故所求的实数k的范围为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答要写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=，a2+b2﹣ab=3，‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若sin A=，求b边的长．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知及余弦定理可求cosC=，结合C为三角形内角，利用特殊角的三角函数值可求C的值．‎ ‎（2）由sinA=，可求A的值，利用三角形内角和定理可求B，进而利用正弦定理可求b的值．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）‎ 解：（1）∵c2=a2+b2﹣2abcosC，c=，‎ ‎∴a2+b2﹣2abcosC=3，‎ 又∵a2+b2﹣ab=3，‎ ‎∴cosC=，‎ ‎∴C=．‎ ‎（2）∵sinA=，C=，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA中点．‎ ‎（1）求证：直线BD⊥平面OAC；‎ ‎（2）求直线MD与平面OAC所成角的大小；‎ ‎（3）求点A到平面OBD的距离．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】方法一：（1）建立空间直角坐标系，通过向量的数量积为0，判断直线与平面垂直．‎ ‎（2）求出平面的法向量，即可求出直线与平面所成的二面角的大小．‎ ‎（3）利用向量在平面是的法向量上的投影即可求出点到平面的距离．‎ 方法二：（1）直接证明直线BD垂直平面内的两条相交直线即可利用判定定理证明结果．‎ ‎（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角，通过解三角形求解即可．‎ ‎（3）作AH⊥OE于点H．说明线段AH的长就是点A到平面OBD的距离，利用三角形相似求解即可．‎ ‎【解答】解：方法一：以A为原点，AB，AD，AO分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A﹣xyz．‎ ‎（1）∵=（﹣1，1，0），=（0，0，2），=（1，1，0）‎ ‎∴=0， =﹣1+1=0‎ ‎∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC=A 故BD⊥平面OAC …‎ ‎（2）取平面OAC的法向量=（﹣1，1，0），又=（0，1，﹣1）‎ 则：‎ ‎∴=60°‎ 故：MD与平面OAC所成角为30° …‎ ‎（3）设平面OBD的法向量为=（x，y，z），则 取=（2，2，1）‎ 则点A到平面OBD的距离为d=…‎ 方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD．‎ ‎∵底面ABCD是边长为1的正方形 ‎∴BD⊥AC，又AC∩OA=A，∴BD⊥平面OAC …‎ ‎（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角 ‎∵MD=，DE=‎ ‎∴直线MD与平面OAC折成的角为30° …‎ ‎（3）作AH⊥OE于点H．‎ ‎∵BD⊥平面OAC ‎∴BO⊥AH 线段AH的长就是点A到平面OBD的距离．‎ ‎∴AH=‎ ‎∴点A到平面OBD的距离为…‎ ‎　‎ ‎19．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．‎ ‎（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？‎ ‎（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ ‎【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有20种抽法记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，求出事件A含有的基本事件数，由此能求出甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率．‎ ‎（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B，其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，由此能求出甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法 记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，‎ 则事件A含有的基本事件数为3×2=6…‎ ‎∴，‎ ‎∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是…‎ ‎（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B，‎ 其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C，‎ 则事件C含有的基本事件数为2×1=2…‎ ‎∴，‎ ‎∴，…‎ ‎∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是．…‎ ‎　‎ ‎20．已知圆心为C 的圆经过点A（﹣3，2）和点B（1，0），且圆心C在直线y=x+1上．‎ ‎（1）求圆C的标准方程．‎ ‎（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN 的中点G的轨迹方程．‎ ‎【考点】轨迹方程；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程．‎ ‎（2）设出点G、N的坐标，再由中点坐标公式用G点的坐标表示N点的坐标，再代入圆的方程，整理后得到点G轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）由圆心C在直线y=x+1上，可设圆心的坐标为C（a，a+1），‎ 再根据圆C经过点A（﹣3，2）和点B（1，0），可得|CA|=|CB|，‎ 即（a+3）2+（a﹣1）2=（a﹣1）2+（a+1）2，求得a=﹣2，‎ 可得圆心C的坐标是（﹣2，﹣1），r=，‎ ‎∴圆C的标准方程为（x+2）2+（y+1）2=10‎ ‎（2）设N（x1，y1），G（x，y），‎ ‎∵线段MN的中点是G，‎ ‎∴由中点公式得x1=2x﹣3，y1=2y﹣4，‎ ‎∵N在圆C上，∴（2x﹣1）2+（2y﹣3）2=10，‎ ‎∴点G的轨迹方程是．‎ ‎　‎ ‎21．如表数据是水温度x（℃）对黄酮延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为变量．‎ x（℃）‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎800‎ y（%）‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎55‎ ‎60‎ ‎67‎ ‎70‎ ‎（1）画出散点图；‎ ‎（2）指出x，y是否线性相关；若线性相关，求y关于x的回归方程；‎ ‎（3）估计水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况．（参考公式：b=，a=﹣b）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）根据所给数据，可得散点图．‎ ‎（2）由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，x，y是线性相关；利用公式，计算出b，a，即可得出y对x的线性回归方程；‎ ‎（3）将x=1000代入回归方程，即可估计水温度是1000℃时，黄酮延长性的情况．‎ ‎【解答】解：（1）散点图如下：‎ ‎（2）由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关．‎ 列出下表并用科学计算器进行有关计算．‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ xi ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎800‎ yi ‎40‎ ‎50‎ ‎55‎ ‎60‎ ‎67‎ ‎70‎ xiyi ‎12 000‎ ‎20 000‎ ‎27 500‎ ‎36 000‎ ‎46 900‎ ‎56 000‎ ‎90 000‎ ‎160 000‎ ‎250 000‎ ‎360 000‎ ‎490 000‎ ‎640 000‎ ‎=550； =57； =1 990 000； =198 400‎ 于是可得=≈0.058 86， =57﹣0.05 886×550=24.627．‎ 因此所求的回归直线的方程为： =0.058 86x+24.627．‎ ‎（3）将x=1 000代入回归方程得 ‎=0.058 86×1 000+24.627=83.487，即水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.487%‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆的右焦点为F（1，0），直线y=x﹣与椭圆有且仅有一个交点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l交椭圆于A，B两点，且=0，试求l在x轴上的截距的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过椭圆的右焦点为F（1，0），知a2﹣b2=1，利用直线与椭圆有且仅有一个交点，可得a2+b2=7，所以可得a2=4，b2=3，即得椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，根据△、韦达定理、=0可得m≠1，进而计算可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）已知椭圆的右焦点为F（1，0），则a2﹣b2=1，‎ 又直线与椭圆有且仅有一个交点，‎ ‎∴方程组有且仅有一个解，‎ 即方程有且仅有一个解，‎ ‎∴△=28a4﹣4（a2+b2）（7a2﹣a2b2）=0，即a2+b2=7，‎ 又∵a2﹣b2=1，∴a2=4，b2=3，‎ ‎∴椭圆的标准方程是；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 把直线方程代入椭圆的方程，‎ 得关于x的一元二次方程：（3+4k2）x2﹣8mk2x+4m2•k2﹣12=0，‎ 由△=（﹣8mk2）2﹣4（3+4k2）（4m2•k2﹣12）＞0，‎ 解得：m2＜4+，…①‎ 由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∵点A，B在直线上，∴y1=k（x1﹣m），y2=k（x2﹣m）‎ 又∵=0，‎ ‎∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2‎ ‎=x1x2﹣（x1+x2）+1+k2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]‎ ‎=（1+k2）x1x2﹣（1+mk2）（x1+x2）+1+m2k2‎ ‎=（1+k2）﹣（1+mk2）+1+m2k2‎ ‎=‎ ‎=0，‎ ‎∴7m2k2﹣8mk2﹣8k2﹣9=0，‎ ‎∴k2=，…②‎ 联立①、②得：m2＜4+=，‎ 整理得：m2﹣2m+1＞0，‎ 解得：m≠1，‎ 又∵7m2﹣8m﹣8＞0，即m＜或m＞，‎ ‎∴直线l在x轴上的截距的取值范围为：（﹣∞，）∪（，+∞）．‎ ‎　‎