数学卷·2018届湖南省衡阳二中高二上学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届湖南省衡阳二中高二上学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年湖南省衡阳二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填写在答题卷相应位置上.‎ ‎1．设命题p：对∀x∈R+，ex＞lnx，则￢p为（　　）‎ A．∃x0∈R+，e＜lnx0 B．∀x∈R+，e^x＜lnx C．∃x0∈R+，e≤lnx0 D．∀x∈R+，e^x≤lnx ‎2．在△ABC中，a=2，b=3，C=135°，则△ABC的面积等于（　　）‎ A． B．3 C． D．3‎ ‎3．已知数列{an}满足a1=2，an+1﹣an=﹣1（n∈N+），则此数列的通项an等于（　　）‎ A．n2+1 B．n+1 C．1﹣n D．3﹣n ‎4．“tana=1”是“a=”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要不而充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（　　）‎ A． B． C．a2＜b2 D．ab＜a+b﹣1‎ ‎6．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 ‎7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（　　）‎ A． B． C．[﹣1，6] D．‎ ‎8．不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a，c的值为（　　）‎ A．a=6，c=1 B．a=﹣6，c=﹣1 C．a=1，c=6 D．a=﹣1，c=﹣6‎ ‎9．△ABC中，a，b，c为角A、B、C的对边，且b2=ac，则B的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）‎ ‎10．在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 ‎11．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎12．等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足S15＞0，S16＜0，则下列选项中最大的为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）‎ ‎13．设Sn是等差数列{an}（n∈N+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=　　．‎ ‎14．△ABC中，a=，b=，∠B=45°，则∠A=　　．‎ ‎15．条件p：1﹣x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是　　．‎ ‎16．已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，给出下列说法：‎ ‎①3a﹣4b+10＞0；‎ ‎②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；‎ ‎③＞2；‎ ‎④当a＞0且a≠1，b＞0时，的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．‎ 其中，所有正确说法的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）已知关于x，y的二元一次不等式组．‎ ‎（1）求函数u=3x﹣y的最大值和最小值；‎ ‎（2）求函数z=x+2y+2的最大值和最小值．‎ ‎19．（12分）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎20．（12分）某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？‎ ‎21．（12分）已知函数，f（x）=，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）‎ ‎（I）求证数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）记Sn=a1a2+a2a3+..anan+1，求Sn．‎ ‎22．（12分）（理）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=2．‎ ‎（1）求f（）和f（）+f（）（n∈N*）的值；‎ ‎（2）数列f（x）满足an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），（n∈N*）求证：数列{an}是等差数列；‎ ‎（3）bn=，Sn=，Tn=b12+b22+b32+…+bn2，试比较Tn与Sn的大小．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省衡阳二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填写在答题卷相应位置上.‎ ‎1．设命题p：对∀x∈R+，ex＞lnx，则￢p为（　　）‎ A．∃x0∈R+，e＜lnx0 B．∀x∈R+，e^x＜lnx C．∃x0∈R+，e≤lnx0 D．∀x∈R+，e^x≤lnx ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题p：对∀x∈R+，ex＞lnx，则￢p为：∃x0∈R+，e≤lnx0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定每天从明天与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，a=2，b=3，C=135°，则△ABC的面积等于（　　）‎ A． B．3 C． D．3‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】直接利用三角形的面积公式，求解即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，a=2，b=3，C=135°，则△ABC的面积S=absinC==．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查三角形的面积的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．已知数列{an}满足a1=2，an+1﹣an=﹣1（n∈N+），则此数列的通项an等于（　　）‎ A．n2+1 B．n+1 C．1﹣n D．3﹣n ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知的递推关系得到数列为首项是1，公差为﹣1的等差数列，因此顶点通项公式．‎ ‎【解答】解：由已知的递推关系得到数列为首项是2，公差为﹣1的等差数列，‎ 所以数列的通项an=3﹣n；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式的求法；关键是明确数列特征；属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．“tana=1”是“a=”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要不而充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由题目“tana=1”的解是否和“a=”相同，即可选出正确答案．‎ ‎【解答】解：若“tana=1”，则K∈Z，α不一定等于；‎ 而若“a=”则tanα=1，‎ ‎∴“tana=1”是a=的必要不而充分条件 故选B ‎【点评】本题是三角方程求解，充要条件的判断，是容易题．‎ ‎　‎ ‎5．若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（　　）‎ A． B． C．a2＜b2 D．ab＜a+b﹣1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用特值代入法，逐一分析四个答案的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵a＜1，b＞1，‎ 令a=﹣2，b=2，，故A错误；‎ 令a=﹣2，b=2，，故B错误；‎ 令a=﹣2，b=2，a2=b2，故C错误；‎ ‎（a﹣1）（b﹣1）＜0，即ab﹣a﹣b+1＜0，即ab＜a+b﹣1，故D正确，‎ 故选：D ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C，‎ 由正弦定理===2R得，‎ a2+b2＜c2，‎ 又由余弦定理得：cosC=＜0，0＜C＜π，‎ ‎∴＜C＜π．‎ 故△ABC为钝角三角形．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（　　）‎ A． B． C．[﹣1，6] D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围 ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示 由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小 结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大 由可得B（，3），‎ 由可得C（2，0），zmax=6‎ ‎∴‎ 故选A ‎【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义 ‎　‎ ‎8．不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a，c的值为（　　）‎ A．a=6，c=1 B．a=﹣6，c=﹣1 C．a=1，c=6 D．a=﹣1，c=﹣6‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+5x+c＞0解集为，∴方程ax2+5x+c=0的两个实数根为，，且a＜0．‎ ‎∴，解得 故选B．‎ ‎【点评】熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．△ABC中，a，b，c为角A、B、C的对边，且b2=ac，则B的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，把b2=ac代入化简求出cosB的表达式，利用不等式求出cosB的范围，利用内角的范围和余弦函数的性质，求出B的取值范围．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，‎ 把b2=ac代入上式得，a2+c2﹣2ac•cosB=ac 所以cosB=≥=（当且仅当a=c时取等号），‎ 因为0＜B＜π，所以0＜B≤，‎ 则B的取值范围是（0，]，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查余弦定理，余弦函数的性质，不等式的应用，注意内角的范围，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 ‎【考点】等差数列的性质；充要条件．‎ ‎【分析】根据三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，我们可以对进行恒等变形，进而得到角A、B、C成等差数列与的等价关系，再由充要条件的定义即可得到答案．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，‎ ‎⇒2sinA•sinC﹣sin2A=2cosA•cosC+cos2A ‎⇒2sinA•sinC﹣2cosA•cosC=cos2A+sin2A=1‎ ‎⇒﹣2cos（A+C）=1‎ ‎⇒cos（A+C）=﹣‎ ‎⇒A+C==2B ‎⇒角A、B、C成等差数列 当角A、B、C成等差数列⇒A+C==2B，角A有可能取90°，故不成立 故是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件．‎ 故选C．‎ ‎【点评】利用三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，对进行恒等变形，探究其与A、B、C成等差数列的等价关系是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】求（x+y）（）的最小值；展开凑定值 ‎【解答】解：已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，‎ 只要求（x+y ）（）的最小值≥9‎ ‎∵≥‎ ‎∴≥9‎ ‎∴≥2或≤﹣4（舍去），‎ 所以正实数a的最小值为4，‎ 故选项为B．‎ ‎【点评】求使不等式恒成立的参数范围，常转化成求函数最值 ‎　‎ ‎12．等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足S15＞0，S16＜0，则下列选项中最大的为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差为数列前n项和公式得到a8＞0，a9＜0，d＜0，从而Sn最大值为S8，前8项中Sn递增，从而Sn最大且an取最小正值时有最大值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列前n项和Sn=•n2+（a1﹣）n，‎ ‎∵S15=15a8＞0，S16=16×＜0，‎ ‎∴a8＞0，a9＜0，d＜0，‎ ‎∴Sn最大值为S8．‎ 又d＜0，an递减，前8项中Sn递增，‎ ‎∴Sn最大且an取最小正值时有最大值，‎ 即最大．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等差数列中前n项和与第n项的比值最大的项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）‎ ‎13．设Sn是等差数列{an}（n∈N+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=　25　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】先由d=求出公差d，然后代入等差数列的求和公式即可求解 ‎【解答】解：∵a1=1，a4=7，‎ ‎∴d==2‎ ‎∴=25‎ 故答案为：25‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 ‎　‎ ‎14．△ABC中，a=，b=，∠B=45°，则∠A=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．‎ ‎【解答】解：∵b=，a=，∠B=45°‎ 根据正弦定理可得：∴sinA=∴∠A=或 故答案为：或 ‎【点评】本题主要考查正弦定理的应用，此题要注意∠A有两个，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．条件p：1﹣x＜0，条件q：x＞‎ a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是　（﹣∞，1）　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】解关于p的不等式，根据集合的包含关系求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：p：1﹣x＜0，故p：x＞1；‎ q：x＞a，‎ 若p是q的充分不必要条件，‎ 则a＜1，‎ 故答案为：（﹣∞，1）．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎16．已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，给出下列说法：‎ ‎①3a﹣4b+10＞0；‎ ‎②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；‎ ‎③＞2；‎ ‎④当a＞0且a≠1，b＞0时，的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．‎ 其中，所有正确说法的序号是　③④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，我们可以画出点A（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个答案．可得结论．‎ ‎【解答】解：∵点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，‎ 故点A（a，b）在如图所示的平面区域内 故3a﹣4b+10＜0，即①错误；‎ 当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；‎ 设原点到直线3x﹣4y+10=0的距离为d，则d==2，则＞d=2，故③正确；‎ 当a＞0且a≠1，b＞0时，表示点A（a，b）与B（1，0）连线的斜率 ‎∵当a=0，b=时， =﹣，又∵直线3x﹣4y+10=0的斜率为 故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确；‎ 故答案为：③④‎ ‎【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，线性规划的简单应用，熟练掌握相关的几个几何意义是解答的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；‎ ‎（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行，‎ 所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，‎ 所以tanA=，可得A=；‎ ‎（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，‎ ‎△ABC的面积为： =．‎ ‎【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•海淀区校级模拟）已知关于x，y的二元一次不等式组．‎ ‎（1）求函数u=3x﹣y的最大值和最小值；‎ ‎（2）求函数z=x+2y+2的最大值和最小值．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】（1）作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义即可求函数u=3x﹣y的最大值和最小值；‎ ‎（2）作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可求函数z=x+2y+2的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示：‎ 由u=3x﹣y，得y=3x﹣u，得到斜率为3，在y轴上的截距为﹣u，随u变化的一组平行线，‎ 由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距﹣u最大，即u最小，‎ 解方程组得C（﹣2，3），‎ ‎∴umin=3×（﹣2）﹣3=﹣9．‎ 当直线经过可行域上的B点时，截距﹣u最小，即u最大，‎ 解方程组得B（2，1），‎ ‎∴umax=3×2﹣1=5．‎ ‎∴u=3x﹣y的最大值是5，最小值是﹣9．‎ ‎（2）作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．‎ 由z=x+2y+2，得y=﹣x+z﹣1，得到斜率为﹣，在y轴上的截距为z﹣1，随z变化的一组平行线，‎ 由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z﹣1最小，即z最小，‎ 解方程组得A（﹣2，﹣3），‎ ‎∴zmin=﹣2+2×（﹣3）+2=﹣6．‎ 当直线与直线x+2y=4重合时，截距z﹣1最大，‎ 即z最大，‎ ‎∴zmax=4+2=6．‎ ‎∴z=x+2y+2的最大值是6，最小值是﹣6．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2011•重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列 ‎∴设其公比为q，q＞0‎ ‎∵a3=a2+4，a1=2‎ ‎∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1‎ ‎∵q＞0‎ ‎∴q=2 ‎ ‎∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n ‎（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 ‎∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1‎ ‎∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014春•滨州期末）某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】设底面的长与宽分别为xm，ym，水池总造价为z元，建立函数关系式，求出z的最小值．‎ ‎【解答】解：设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，‎ 则由容积为18m3，可得：2xy=18，因此xy=9，‎ z=200×9+150（2×2x+2×2y）=1800+600（x+y）≥1800+600•2=5400‎ 当且仅当x=y=3时，取等号．‎ 所以，将水池的地面设计成边长为3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元．‎ ‎【点评】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•和平县三模）已知函数，f（x）=，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）‎ ‎（I）求证数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）记Sn=a1a2+a2a3+..anan+1，求Sn．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；数列的求和．‎ ‎【分析】（I）直接利用an+1=f（an）得到．再对其取倒数整理即可证数列{}是等差数列；进而求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）利用（I）的结论以及所问问题的形式，直接利用裂项相消求和法即可求Sn．‎ ‎【解答】解：（I）由条件得，．‎ ‎∴⇒=3．‎ ‎∴数列{}是首项为=1，公差d=3的等差数列．‎ ‎∴=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．‎ 故an=．‎ ‎（II）∵anan+1=（）．‎ ‎∴Sn═a1a2+a2a3+..anan+1‎ ‎= [（1﹣）+（）+…+（）]‎ ‎=（1﹣）=．‎ ‎【点评】本题第二问主要考查了数列求和的裂项相消法．裂项相消法一般适用于一数列的通项是一分式形式且分子为常数，而分母是某一等差数列相邻两项的乘积组成．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2014春•万州区校级期末）（理）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=2．‎ ‎（1）求f（）和f（）+f（）（n∈N*）的值；‎ ‎（2）数列f（x）满足an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），（n∈N*）求证：数列{an}是等差数列；‎ ‎（3）bn=，Sn=，Tn=b12+b22+b32+…+bn2，试比较Tn与Sn的大小．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】（1）分别令x=，x=，结合条件，即可求出结果；‎ ‎（2）令x=，再应用倒序求和求出an，再由等差数列的定义，即可得证；‎ ‎（3）先对bn化简，再将bn2放缩，即bn2＜2（），再用裂项相消求和，再整理即可得到答案．‎ ‎【解答】（1）解：∵f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=2，‎ ‎∴，∴，‎ 令，∴；‎ ‎（2）证明：f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=2，‎ 则令，‎ ‎∵an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），‎ ‎∴an=f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（0），‎ ‎∴2an=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+[f（1）+f（0）]，‎ ‎∴2an=2（n+1）（n∈N*）‎ ‎∴an=n+1（n∈N*）‎ ‎∴an+1﹣an=（n+2）﹣（n+1）=1（n∈N*），‎ ‎∴{an}是等差数列．‎ ‎（3）解：由（2）有 ‎∴‎ ‎∴Tn=b12+b22+b32+…+bn2＜2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]‎ ‎=2（1﹣）==Sn ‎∴Tn＜Sn ‎【点评】本题主要考查函数的对称性及应用，同时考查等差数列的定义和通项公式，以及数列求和，及数列不等式的证明：放缩法，是一道综合题．‎ ‎　‎