数学文卷·2017届福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校高三上学期第二次（12月）联考（2016

数学文卷·2017届福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校高三上学期第二次（12月）联考（2016

‎“华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中”六校联考 ‎2016-2017学年上学期第二次月考 高三数学（文科）试题 ‎(考试时间：120分钟 总分：150分)‎ ‎★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。‎ 一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．是虚数单位，若，则等于 A．1 B． C． D． ‎ ‎3．设函数为偶函数，当时，，则 ‎ A． B． C．2 D．-2‎ ‎4．已知命题：，，命题：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A． B． C． D． ‎ ‎5．如图，在中，,,则值为 A．1 B． ‎ C．-1 D．‎ ‎6．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象 A．向右平移个长度单位 ‎ B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位 ‎7．已知中，内角所对的边分别为，若，则的周长的最大值为 ‎ A． B．‎6 ‎C． D．9‎ ‎8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为 ‎ A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 ‎9．已知为坐标原点,点坐标为，在平面区域上取一点,则使为最小值时点的坐标是 A． B． C． D． ‎ ‎10．在四面体中，，则该四面体外接球的表面积是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数.若,对存在，存在，使函数导函数满足，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，函数恰有三个不同的零点，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.‎ ‎13．若 . ‎ ‎14．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的表面 第（14）题图 积为 .‎ ‎15．设表示不同的直线，表示不同的平 面，给出下列 4个命题：‎ ‎①若∥，且，则；‎ ‎②若∥，且∥，则∥；‎ ‎③若，，，‎ 则∥∥；‎ ‎④若，，，且∥，‎ 则∥．‎ 其中正确命题是 .‎ ‎16．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）‎ ‎17．已知向量，函数.‎ ‎(I）求函数的最小正周期； ‎ ‎(II) 当时,求函数的最大值与最小值.‎ ‎18．已知等比数列的公比为（），等差数列的公差也为，且．‎ ‎(I）求的值； ‎ ‎(II）若数列的首项为，其前项和为， 当时，试比较与的大小.‎ ‎19．如图，已知和是边长为2的正三角形，平面⊥平 面， ⊥平面，且.‎ ‎(I）证明：∥平面；‎ ‎(II）求三棱锥的体积．‎ ‎20．已知某渔船在渔港的南偏东60º方向，距离渔港约160海里的处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船的俯角为68.20º，测得渔政船的俯角为63.43º，且渔政船位于渔船的北偏东60º方向上．‎ A O C B 北 北 ‎(Ⅰ）计算渔政船与渔港的距离；‎ ‎(Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎(参考数据：，，）‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎21．已知函数．‎ ‎ (Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎ (Ⅱ）是否存在实数，使得至少存在一个，使 成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎ 22． (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲 ‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎ (Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ）若点的直角坐标为，曲线与直线交于两点，求的值.‎ ‎23. (本小题满分10分)不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎ (Ⅰ）解关于的不等式 ‎(Ⅱ）若的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎“华安、连城、泉港、永安、漳平一中、龙海二中”六校联考 ‎2016-2017学年上学期第二次月考 高三数学（文科）答案 一、选择题：ACBCD ADCBD AD 二、填空题：13. ； 14. ； 15. ①④； 16. （﹣3，+∞） ‎ 三．解答题：‎ ‎17．‎ 解：（I）∵‎ ‎ ……………………………………………2分 ‎ ‎ ‎ ………………………………………………5分 ‎∴的最小正周期正周期为 ………………………………………………6分 ‎(II）∵ ‎ ‎∴ ……………………………………………………………8分 ‎∴当，即时，有最大值；………………………10分 当，即时，有最小值0.………………………………12分 ‎18．‎ 解：（I）由已知可得， ……………………………………………1分 ‎∵是等比数列，‎ ‎∴. ……………………………………………………………2分 解得或. ‎ ‎∵， ‎ ‎∴ ……………………………………………………………………4分 ‎(II）由（I）知等差数列的公差为， ‎ ‎∴ ，………………………………………………5分 ‎ ‎， ………………………………………7分 ‎， …………………………………………………9分 当时，；当时，；当时，. ‎ 综上，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.………………………………………………12分 ‎19．‎ ‎(I）证明：取BC的中点为F，连接AF，EF，………………1分 ‎∵△BCE为正三角形，‎ ‎∴EF⊥BC，………………………………………………2分 ‎∵平面ABC⊥平面BCE，且交线为BC，‎ ‎∴EF⊥平面ABC，………………………………………4分 又∵AD⊥平面ABC，‎ ‎∴AD∥EF，………………………………………………5分 ‎∵EF平面，平面 ‎∴∥平面. …………………………………6分 ‎(II）解　由(1)知EF∥AD，‎ ‎∴，………………………10分 ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即.…………………………………………12分 ‎20．‎ 解：（1）依题意：海里，，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎68.20º, 63.43º, 60º+60º=120 º, ………2分 在中，68.20º（海里）， ‎ 在中，=（海里），………………………5分 故渔政船与渔港的距离约为‎200海里. ……………………………………6分 ‎(2）设（海里），在中，由余弦定理得 ‎ ……………………………………8分 即,化简得 ‎ 解得：，因为，………………………………………………10分 ‎∴（海里）.‎ ‎，‎ 故可以在3小时内赶到出事地点. …………………………………………………12分 ‎21．‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为， ‎ ‎ ………………………2分 (1) 当时，由得，或，‎ 由得， ‎ ‎∴函数的单调增区间为和,单调减区间为………4分 (2) 当时, ,的单调增区间为 …………………5分 ‎(Ⅱ）命题“至少存在一个，使成立”的否定是“，恒成立”。………………………………………………………………………6分 即可转化为 亦即恒成立。‎ 令，则只需在恒成立即可，………7分 ‎∵‎ 当时，在时，，在时，‎ ‎∴的最小值为，由得，‎ ‎∴当时恒成立， ……………………………………9分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 当时，，在不能恒成立， ……………10分 当时，取 有 在不能恒成立，‎ ‎…………………………………11分 ‎∴当时，，恒成立 综上，当时，至少有一个，使成立。……………12分 ‎22.解：(Ⅰ）直线的普通方程为： …………………………2分 ‎ 曲线C的直角坐标方程为： …………………………5分 ‎(Ⅱ）把直线的参数方程（为参数）代入曲线C的方程化简得：‎ ‎ ………………………………8分 ‎∴，<0‎ ‎∴∣PA∣+∣PB∣== = = ………10分 法二；‎ ‎∣PA∣+∣PB∣== ………………10分 ‎ 23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为： 即： 由得 由得 ………………………………4分 综上原不等式的解为………………………………5分 ‎(Ⅱ）原不等式等价于的解集非空 令，即 ‎∴即，…9分 ‎∴．…………………………………………………………10分