天津市南开区2019届高三下学期一模考试 数学（理）（PDF版）

天津市南开区2019届高三下学期一模考试 数学（理）（PDF版）

南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 1 页（共 9 页） 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一) 数 学 试 卷（理工类） 2019.03 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页． 祝各位考生考试顺利！ 第 Ⅰ 卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 参考公式： ·锥体的体积公式 V 圆柱=Sh，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合 A={x|–2≤x≤2}，B={x|y= 1 1 x }，那么 A∩B=（ ）． （A）{x|–2≤x＜1} （B）{x|–2≤x≤1} （C）{x|x＜–2} （D）{x|x≤2} （2）设变量 x，y 满足约束条件 20 2 2 0 0 3      ≥ ， ≥ ， ≤ ， ≤ ， xy xy x y 则目标函数 z=x–y 的最大值为（ ）． （A）1 （B）–1 （C） 3 2 （D）–3 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 3，则输出的 i=（ ）． （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 2 页（共 9 页） （4）设 a，b∈R，则“a＜b”是“(a–b)a2＜0”的（ ）． （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）函数 y=2sin( π 3 –2x)（x∈[0，]）为增函数的区间是（ ）． （A）[0， 5 12  ] （B）[0， 2  ] （C）[ ，11 12  ] （D）[ ，] （6）函数 f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，f(–3)=0，则不等式 xf(x)＜0 的解 集为（ ）． （A）(–3，0)∪(3，+∞) （B）(–∞，–3)∪(0，3) （C）(–∞，–3)∪(3，+∞) （D）(–3，0)∪(0，3) （7）过双曲线 12 2 2 2  b y a x （a＞0，b＞0）的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，若 B 为线段 FA 的中点，且 OB⊥FA（O 为坐标原点），则双曲线的离 心率为（ ）． （A） 2 （B） 3 （C）2 （D） 5 （8）如图，在△ABC 中，∠BAC= π 3 ， AD =2 DB ，P 为 CD 上一点，且满足 AP =m AC + 1 2 AB ，若△ABC 的面积为 2 3 ，则| |的最小值为（ ）． （A） 2 （B） （C）3 （D） 4 3 A C B P D 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 3 页（共 9 页） 第 Ⅱ 卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共 12 小题，共 110 分． 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．请 将答案填在题中横线上。 （9）已知复数 z=1 3i 3i   ，则 z 的实部为 ． （10）二项式( x – 3 1 x )5 的展开式中常数项为 ． （11）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分 别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积 是为 ． （12）已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 222 4    ， ， xt yt （t 为参数）．点 M( 2 ，0)，P 为 C 上一点，若|PM|=4 ，则△POM 的面积为 ． （13）已知 x，y 均为正实数，且 2 xy xy = 7 62  ，则 x+3y 的最小值为 ． （14）设函数 f(x)= 2 5 6 0 4 4 0     ， ≥ ， ， . x x x x x < 若函数 g(x)=x+a–f(x)有三个零点，则这三个 零点之和的取值范围是 ． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 4 页（共 9 页） 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得 分 评卷人 （15）（本小题满分 13 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，B=2C，sinC= 7 4 ． （Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）设 bc=24，求边 a 的长． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 5 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （16）（本小题满分 13 分） 现有长分别为 1m、2m、3m 的钢管各 3 根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的 编号）， 从中随机抽取 n 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9）， 再将抽取 的钢管相接焊成笔直的一根． （Ⅰ）当 n=3 时，记事件 A={抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等}，求 P(A)； （Ⅱ）当 n=2 时，若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），求的分布列和数学 期望 E． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 6 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （17）（本小题满分 13 分） 如图，在三棱锥 SABC 中，SA⊥底面 ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E 分别是 AC，BC 的中点，F 在 SE 上，且 SF=2FE． （Ⅰ）求证：AF⊥平面 SBC； （Ⅱ）求直线 SA 与平面 SBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段 DE 上是否存在点 G，使二面角 GAFE 的 大小为 30°？若存在，求出 DG 的长；若不存在，请说明 理由． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 7 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （18）（本小题满分 13 分） 已知数列{an}是等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 a5=3a2，S7=14a2+7． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{(–1)nbn(an+bn)}的前 n 项和 Tn． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 8 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （19）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 12 2 2 2  b y a x （a＞b＞0）的离心率为 3 6 ，两焦点与短轴的一个端点的连 线构成的三角形面积为 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设与圆 O：x2+y2= 3 4 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点（O 为坐标原点）， 求|OA|cos∠OAB+ tan 3 2 OBA 的最大值． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 9 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （20）（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=lnx–ax+a，g(x)= 1 e  x x ． （Ⅰ）讨论 f(x)的单调性； （Ⅱ）若 f(x)≤0 恒成立，证明：当 0＜x1＜x2 时， 12 12   ( ) ( )f x f x xx ＜ 1 1 x –1． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：f(x)(g(x)–1)＞g(x)– 2 1 e ． 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（理工类）第 1 页（共 6 页） 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一) 数学试卷（理工类）参考答案 2019.03 一、选择题： 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案 A B C B C D C B 二、填空题： （9）0； （10）–10； （11） 1 6 ； （12）2 3 ； （13）2； （14）(11 3 ，6) 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （15）解：（Ⅰ）∵B=2C，sinC= 7 4 ， ∴cosB=cos2C=1–2sin2C= 1 8 ． ………………2 分 ∵B=2C，∴C 为锐角，∴cosC＞0， ∴cosC= 21 sin C = 3 4 ． ………………4 分 而 sinB= 21 cos B = 37 8 ， ………………6 分 ∴cosA=–cos(B+C)=–(cosBcosC–sinBsinC)= 9 16 ． ………………9 分 （Ⅱ）∵ sin b B = sin c C 而 sinC= ，sinB= ， ………………10 分 ∴b= 3 2 c，又 bc=24，∴b=6，c=4， ………………12 分 ∴a2=b2+c2–2bccosA=25，∴a=5． ………………13 分 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（理工类）第 2 页（共 6 页） （16）解：（Ⅰ）事件 A 为随机事件，P(A)= 1 2 1 3 3 6 3 9 C C C C = 9 14 ． ……………4 分 （Ⅱ）可能的取值为 2，3，4，5，6． ………………………5 分 P(=2)= 2 3 2 9 C C = 1 12 ，P(=3)= 11 33 2 9 CC C = 1 4 ， P(=4)= 2 1 1 3 3 3 2 9 C C C C = 1 3 ，P(=5)= = ， P(=6)= 2 3 2 9 C C = ． ………………………11 分 ∴的分布列为： E=2× +3× +4× +5× +6× =4． ………………………13 分 （17）解：（Ⅰ）以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐 标系 Cxyz，则 A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2)，D(1， 0，0)，E(1，1，0)． ………………………2 分 由 SF=2FE 得 F( 2 3 ， ， )． ∴ AF =( ， ， )， BC =(2，–2，0)， SC =(2，0，–2)， ∵ · =0， · =0， ∴ ⊥ ， ⊥ ， ∴AF⊥平面 SBC． ………………………5 分 （Ⅱ）设 n1=(x1，y1，z1)是平面 SBD 的一个法向量，  2 3 4 5 6 P 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（理工类）第 3 页（共 6 页） 由于 DS =(–1，0，2)， DB =(–1，2，0)，则有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0 1 2 0 2 0 n n                  ( ) ( ) ( ) ( ) ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， DS x y z x z DB x y z x y 令 x1=2，则 y1=1，z1=1，即 n1=(2，1，1)， 设直线 SA 与平面 SBD 所成的角为，而 AS =(0，0，2)， 所以 sin=|cos|= 1 1 || | || | n n   AS AS = 6 6 ． ………………………9 分 （Ⅲ）假设满足条件的点 G 存在，并设 DG=t．则 G(1，t，0)． 所以 AE =(1，1，0)， AG =(1，t，0)． 设平面 AFG 的法向量为 n2=(x2，y2，z2)， 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 03 3 3 3 3 3 1 0 0 n n                ( ) ( ) ( ) ( ) ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， AF x y z x y z AG x y z t x ty 取 y2=1，得 x2=–t，z2=t–1，即 n2=(–t，1，t–1)． 设平面 AFE 的法向量为 n3=(x3，y3，z3)， 则 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 03 3 3 3 3 3 1 1 0 0 n n                ( ) ( ) ( ) ( ) ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， AF x y z x y z AE x y z x y 取 y3=1，得 x3=–1，z3=0，即 n3=(–1，1，0)． 由得二面角 GAFE 的大小为 30°，得 cos30°= 23 23 || | || | nn nn   = 22 | 1 1 1 1 | 2 1 1             ( ) ( ) ( ) ( ) 0tt tt = 3 2 ，化简得 2t2–5t+2=0， 又 0≤t≤1，求得 t= 1 2 ．于是满足条件的点 G 存在，且 DG= ．…………13 分 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（理工类）第 4 页（共 6 页） （18）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是 d． 由 a5=3a2 得 d=2a1， ………① 由 S7=14a2+7 得 d=a1+1，………② 由①②解得 a1=1，d=2． 所以数列{an}的通项公式为 an=2n–1． …………………4 分 （Ⅱ）由数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 得 an+bn=2n–1，即 2n–1+bn=2n–1， 所以 bn=2n–1–2n+1． …………………6 分 所以(–1)nbn(an+bn)=(–1)n·2n–1·(2n–1–2n+1)=(–1)n·4n–1+(–2)n–1(2n–1) =–(–4)n–1+(2n–1)·(–2)n–1． …………………7 分 ∴Pn=(–4)0+(–4)1+…+(–4)n–1=14 14   () () n =14 5 ()n ．…………………8 分 Qn=1·(–2)0+3·(–2)1+5·(–2)2+…+(2n–3)·(–2)n–2+(2n–1)·(–2)n–1 ……③ –2Qn=1·(–2)1+3·(–2)2+5·(–2)3+…+(2n–3)·(–2)n–1+(2n–1)·(–2)n ……④ ③–④得 3Qn=1·(–2)0+2·(–2)1+2·(–2)2+…+2·(–2)n–1–(2n–1)·(–2)n =1+ 14 1 2 12      [ ( ) ] () n –(2n–1)·(–2)n =– 1 3 – 61 3 n ·(–2)n， ∴Qn=– 1 9 – 61 9 n ·(–2)n． …………………12 分 ∴Tn=–Pn+Qn=– 14 45 + 4 5 ()n – 6 1 2 9 ( ) ( )nn ． …………………13 分 （19）解：（Ⅰ）由题设： 6 3c a ，bc= 2 ，解得 a2=3，b2=1， 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（理工类）第 5 页（共 6 页） ∴椭圆 C 的方程为 2 2 13 x y ． ………………………………3 分 （Ⅱ）设 A(x1，y1)、B(x2，y2)． （1）当 AB⊥x 轴时，|AB|= 3 ． ………………………………4 分 （2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m， 由已知 2 3 21 m k   ，得 m2= 3 4 (k2+1)． ………………………………6 分 把 y=kx+m 代入椭圆方程消去 y，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2–3=0， 有 x1+x2= 2 6 31   km k ，x1x2= 2 2 13 31   ()m k ． ………………………………7 分 得|AB|2=(1+k2)(x1–x2)2=(1+k2) 2 2 2 2 2 2 36 12 1 3 1 3 1  () () k m m kk = 22 2 2 2 12 1 3 1 31     ( )( ) () k k m k = 22 22 3 1 9 1 31   ( )( ) () kk k ………………………9 分 = 2 42 123 9 6 1  k kk= 2 2 123 196  k k （k≠0） ≤ 123 2 3 6  =4， 当且仅当 2 2 19k k ，即 3 3k  时等号成立． ………………………………12 分 当 k=0 时，|AB|= ． ………………………………13 分 综上所述(|OA|cos∠OAB+ tan 3 2 OBA )max=|AB|max=2．……………………14 分 （20）解：（Ⅰ）f(x)=1 ax x ，x＞0． ……………………1 分 若 a≤0，f(x)＞0，f(x)在(0，+∞)上递增； ……………………2 分 若 a＞0，当 x∈(0， 1 a )时，f(x)＞0，f(x)单调递增； 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（理工类）第 6 页（共 6 页） 当 x∈( 1 a ，+∞)时，f(x)＜0，f(x)单调递减． ……………………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，若 a≤0，f(x)在(0，+∞)上递增，又 f(1)=0，故 f(x)≤0 不恒成立． 若 a＞1，当 x∈( ，1)时，f(x)递减，f(x)＞f(1)=0，不合题意． 若 0＜a＜1，当 x∈(0， )时，f(x)递增，f(x)＞f(1)=0，不合题意． 若 a=1，f(x)在(0，1)上递增，在(1，+∞)上递减，f(x)≤f(1)=0，合题意． 故 a=1，且 lnx≤x–1（当且仅当 x=1 时取“=”）． ……………………8 分 当 0＜x1＜x2 时，f(x2)–f(x1)=ln 2 1 x x –(x2–x1)＜ –1–(x2–x1)=( 1 1 x –1)(x2–x1)， 所以 12 12   ( ) ( )f x f x xx ＜ 1 1 x –1． ……………………10 分 （Ⅲ）g(x)= 2 e  x x ． 当 x∈(–∞，2)时，g(x)＞0，g(x)单调递增； 当 x∈(2，+∞)时，g(x)＜0，g(x)单调递减． ∴g(x)≤g(2)= 2 1 e ， ∴g(x)–1≤ –1． …………① ……………………12 分 由（Ⅱ）知 lnx–x≤–1．…………② ①×②得(lnx–x)(g(x)–1)＞1– ， 即(f(x)–1)(g(x)–1)＞1– ， ∴f(x)(g(x)–1)＞g(x)– ． ………………………………14 分