数学卷·2018届山西省朔州市怀仁一中高二上学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届山西省朔州市怀仁一中高二上学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．由曲线y=|x﹣1|与（x﹣1）2+y2=4所围成较小扇形的面积是（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎2．两条相交直线的平行投影是（　　）‎ A．一条直线 B．一条折线 C．两条相交直线 D．两条相交直线或一条直线 ‎3．已知直线（b+2）x+ay+4=0与直线ax+（2﹣b）y﹣3=0互相平行，则点（a，b）在（　　）‎ A．圆a2+b2=1上 B．圆a2+b2=2上 C．圆a2+b2=4上 D．圆a2+b2=8上 ‎4．已知直线l过点P（3，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（　　）‎ A．2x+3y﹣18=0 B．2x﹣y﹣2=0‎ C．3x﹣2y+18=0或x+2y+2=0 D．2x+3y﹣18=0或2x﹣y﹣2=0‎ ‎5．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（　　）‎ A． + B．1+ C．1+ D．2+‎ ‎6．已知直线l：xtanα﹣y﹣3tanβ=0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan（a+β）=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎7．若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数y=asinx﹣bcosx的一条对称轴为x=，则直线l：ax﹣by+c=0的倾斜角为（　　）‎ A．45° B．60° C．120° D．135°‎ ‎9．以下命题（其中a，b表示直线，a表示平面）：‎ ‎①a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；‎ ‎③若a∥b，b∥α，则a∥α；其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12‎ ‎12．已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若与的夹角为60°，则直线xcosα﹣ysinα+=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=的位置关系是（　　）‎ A．相交但不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离 ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为　　．‎ ‎14．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是　　．‎ ‎15．长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为　　．‎ ‎16．α、β、γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∥β，l⊂α，则l∥β；‎ ‎④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．‎ 其中正确的命题序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y﹣7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x﹣3y﹣3=0．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求直线AB的方程．‎ ‎18．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PAD；‎ ‎（2）若MN=BC=4，PA=4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．‎ ‎19．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：‎ ‎（1）直线EG∥平面BDD1B1；‎ ‎（2）平面EFG∥平面BDD1B1．‎ ‎20．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．‎ ‎21．过点P（2，1）作直线l分别与x，y轴正半轴交于A、B两点．‎ ‎（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；‎ ‎（2）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程．‎ ‎22．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．‎ ‎（1）求圆M和圆N的方程；‎ ‎（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．由曲线y=|x﹣1|与（x﹣1）2+y2=4所围成较小扇形的面积是（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据所给的方程可以看出两个图形一个是半径为2的圆一个是一条折线，围成较小的面积是圆的面积的四分之一，得到结果．‎ ‎【解答】解：（x﹣1）2+y2=4的圆心坐标为（1，0），半径为2，‎ 由曲线y=|x﹣1|与（x﹣1）2+y2=4所围成较小扇形的面积是圆的面积的四分之一，‎ ‎∴面积是=π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．两条相交直线的平行投影是（　　）‎ A．一条直线 B．一条折线 C．两条相交直线 D．两条相交直线或一条直线 ‎【考点】平行投影及平行投影作图法．‎ ‎【分析】由平行光线形成的投影是平行投影，直线的投影一般仍为直线，特殊情形就是当平行光与直线平行时投影为一点．‎ ‎【解答】解：当两条直线所在平面与投影面不垂直时，两条相交直线的平行投影是两条相交直线；当垂直时，两条相交直线的平行投影是一条直线；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线（b+2）x+ay+4=0与直线ax+（2﹣b）y﹣3=0互相平行，则点（a，b）在（　　）‎ A．圆a2+b2=1上 B．圆a2+b2=2上 C．圆a2+b2=4上 D．圆a2+b2=8上 ‎【考点】点与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】利用直线（b+2）x+ay+4=0与直线ax+（2﹣b）y﹣3=0互相平行，可得，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵直线（b+2）x+ay+4=0与直线ax+（2﹣b）y﹣3=0互相平行，‎ ‎∴，‎ ‎∴a2+b2=4，‎ ‎∴点（a，b）在圆a2+b2=4上，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知直线l过点P（3，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为（　　）‎ A．2x+3y﹣18=0 B．2x﹣y﹣2=0‎ C．3x﹣2y+18=0或x+2y+2=0 D．2x+3y﹣18=0或2x﹣y﹣2=0‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】设所求的直线方程为y﹣4=k（x﹣3）即kx﹣y+4﹣3k=0，由已知及点到直线的距离公式可建立关于k的方程，求解即可 ‎【解答】解：设所求的直线方程为y﹣4=k（x﹣3）即kx﹣y+4﹣3k=0‎ 由已知及点到直线的距离公式可得，‎ ‎∴|5k﹣2|=|k+6|‎ ‎∴5k﹣2=k+6或5k﹣2=﹣k﹣6‎ ‎∴k=2或k=﹣‎ ‎∴所求的直线方程为2x﹣y﹣2=0或2x+3y﹣18=0‎ 故选D ‎　‎ ‎5．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（　　）‎ A． + B．1+ C．1+ D．2+‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】根据斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算．‎ ‎【解答】解：∵平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，‎ ‎∴平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，‎ ‎∴梯形的下底边长为1+，‎ ‎∴平面图形的面积S=×2=2+．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知直线l：xtanα﹣y﹣3tanβ=0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan（a+β）=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数；直线的斜率．‎ ‎【分析】由直线的斜率为2，得出tanα的值，再由在y轴上的截距为1，得到tanβ的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简后，把各自的值代入计算，即可求出值．‎ ‎【解答】解：根据题意得：tanα=2，tanβ=﹣，‎ 则tan（a+β）===1．‎ 故选D ‎　‎ ‎7．若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】根据已知中侧面积和它的体积的数值相等，构造关于r的方程，解得答案．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，‎ 则圆锥的高h=r，‎ 由题意得：πr•2r=，‎ 解得：r=2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=asinx﹣bcosx的一条对称轴为x=，则直线l：ax﹣by+c=0的倾斜角为（　　）‎ A．45° B．60° C．120° D．135°‎ ‎【考点】直线的倾斜角；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】函数f（x）=asinx﹣bcosx图象的一条对称轴方程是，推出f（ +x）=f（﹣x） 对任意x∈R恒成立，化简函数的表达式，求出a，b的关系，然后求出直线的倾斜角，得到选项．‎ ‎【解答】解：f（x）=asinx﹣bcosx，‎ ‎∵对称轴方程是x=，‎ ‎∴f（ +x）=f（﹣x） 对任意x∈R恒成立，‎ asin（ +x）﹣bcos（ +x）=asin（﹣x）﹣bcos（﹣x），‎ asin（ +x）﹣asin（﹣x）=bcos（ +x）﹣bcos（﹣x），‎ 用加法公式化简：‎ ‎2acos sinx=﹣2bsin sinx 对任意x∈R恒成立，‎ ‎∴（a+b）sinx=0 对任意x∈R恒成立，‎ ‎∴a+b=0，‎ ‎∴直线ax﹣by+c=0的斜率K==﹣1，‎ ‎∴直线ax﹣by+c=0的倾斜角为．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．以下命题（其中a，b表示直线，a表示平面）：‎ ‎①a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；‎ ‎③若a∥b，b∥α，则a∥α；其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】对于①，a∥b，b⊂α，a，b共面，则a∥α；‎ 对于②，a∥α、b⊂α，则a∥b或a，b异面；‎ 对于③，a∥b、b∥α，则a∥α或a⊂α．‎ ‎【解答】解：①若a∥b，b⊂α，a，b共面，则a∥α，故①错误；‎ ‎ ②若a∥α、b⊂α，则a∥b或a，b异面，故②错误；‎ ‎③若a∥b、b∥α，则a∥α或a⊂α，故③错误．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，‎ 可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．‎ 则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，‎ 这个几何体的外接球的半径R=PD=．‎ 则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．‎ ‎【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，‎ 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，‎ 所以S底==10，‎ S后=，‎ S右==10，‎ S左==6．‎ 几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若与的夹角为60°，则直线xcosα﹣ysinα+=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=的位置关系是（　　）‎ A．相交但不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离 ‎【考点】向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由已知中直线与圆的方程，我们易得到圆心到直线距离d的表达式，再由向量 =（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若向量与的夹角为60°，我们可以计算出d值，与圆半径比较，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵圆的方程为 ‎ ‎∴圆心坐标为（cosβ，﹣sinβ），半径为 ‎ 则圆心到直线距离d=|cosαcosβ+sinαsinβ+|=|cos（α﹣β）+|‎ 又∵=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），向量与的夹角为60°，‎ 则2×3×cos60°=6cosαcosβ+6sinαsinβ 即cosαcosβ+sinαsinβ=，‎ ‎∴d=|+|=1＞，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为　2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】判断直线与圆相离，过圆心C作CD与已知直线垂直，垂足为D，与圆交于A与B两点，则|AD|、|BD|分别为圆上的点与直线距离的最大值与最小值，然后利用点到直线的距离公式求出C到已知直线的距离，加半径减半径即可求出|AD|与|BD|的值，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意可知当直线AC与直线x﹣y+4=0垂直时，垂足为D，且与圆交于A、B两点，此时圆上的点与直线x﹣y+4=0的最大值为|AD|，‎ 最小值为|DB|，‎ 由圆的方程可得圆心坐标为（1，1），半径r=|AC|=|BC|=，‎ 而圆心C到直线x﹣y+4=0的距离d=|CD|==2，‎ 则圆上的点与直线x﹣y+4=0距离的最大值|AD|=|AC|+|CD|=3，‎ 最小值|BD|=|CD|﹣|CB|=．‎ 所以C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是　（2，3）　．‎ ‎【考点】恒过定点的直线．‎ ‎【分析】直线方程即 k（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标．‎ ‎【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0 ‎ 即 k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，‎ 根据k的任意性可得，‎ 解得，‎ ‎∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．‎ 故答案为：（2，3）．‎ ‎　‎ ‎15．长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为　　．‎ ‎【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．‎ ‎【分析】画出长方体的侧面展开图，然后求其三角形的边长AC1的长，‎ ‎【解答】解：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是： =， =， =‎ 显然最小值是．‎ ‎．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎16．α、β、γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∥β，l⊂α，则l∥β；‎ ‎④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．‎ 其中正确的命题序号是　③④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理或性质定理分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：①若α⊥β，β⊥γ，垂直同一平面的两个平面可能平行或相交，则α∥γ错误；故①错误，‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，当m与n相交时，α∥β成立，当m与n不相交时，α∥β不成立；‎ ‎③根据面面平行的性质得若α∥β，l⊂α，则l∥β成立；故③正确，‎ ‎④∵α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，∴l与n共面于α，l与m共面于β，∵l∥γ，∴l∥n，l∥m，∴m∥n，故④正确．‎ 故答案为：③④‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y﹣7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x﹣3y﹣3=0．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求直线AB的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（1）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），联立CE与AD的方程解方程组可得点C的坐标．‎ ‎（2）由题意可垂直关系可得BC的斜率为﹣2，可得AB的方程为3x﹣4y﹣9=0，联立AB与AD的方程解方程组可得点A的坐标；结合A、B的坐标来求直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴D（0，﹣1），C（1，1）；‎ ‎（2）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，‎ ‎∴直线AB的斜率为，‎ ‎∴直线AB的方程为，即3x﹣4y﹣9=0．‎ 由，解得，‎ ‎∴A（3，0），‎ ‎∴直线AB方程为：，‎ 化简整理得，3x﹣4y﹣9=0．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PAD；‎ ‎（2）若MN=BC=4，PA=4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）取PD中点Q，连AQ、QN，根据四边形AMNQ为平行四边形可得MN∥AQ，根据直线与平面平行的判定定理可证得EF∥面PAD；‎ ‎（2）根据MN∥AQ，则∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角，然后解三角形PAQ，可求出此角即可．‎ ‎【解答】（1）证明：取PD中点Q，连AQ、QN，则AM∥QN，且AM=QN，‎ ‎∴四边形AMNQ为平行四边形 ‎∴MN∥AQ 又∵AQ在平面PAD内，MN不在平面PAD内 ‎∴MN∥面PAD；‎ ‎（2）解：∵MN∥AQ ‎∴∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角 ‎∵MN=BC=4，PA=4，‎ ‎∴AQ=4，根据余弦定理可知cos∠AQD+cos∠AQP=0‎ 即 解得x=4‎ 在三角形AQP中，AQ=PQ=4，AP=4‎ ‎∴cos∠PAQ==‎ 即∠PAQ=30°‎ ‎∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°．‎ ‎　‎ ‎19．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：‎ ‎（1）直线EG∥平面BDD1B1；‎ ‎（2）平面EFG∥平面BDD1B1．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连结SB，由已知得EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．‎ ‎（2）连结SD，由已知得FG∥SD，从而FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，由此能证明平面EFG∥平面BDD1B1．‎ ‎【解答】证明：（1）如图，连结SB，‎ ‎∵E、G分别是BC、SC的中点，‎ ‎∴EG∥SB，‎ 又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，‎ ‎∴直线EG∥平面BDD1B1．‎ ‎（2）如图，连结SD，‎ ‎∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，‎ 又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，‎ ‎∴FG∥平面BDD1B1，‎ 又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，‎ EG∩FG=G，‎ ‎∴平面EFG∥平面BDD1B1．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】将圆C化成标准方程，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．因为CM⊥l，则有kCM•kl=﹣1，表示出直线l的方程，从而求得圆心到直线的距离，再由：求解．‎ ‎【解答】解：圆C化成标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．‎ ‎∵CM⊥l，即kCM•kl=×1=﹣1‎ ‎∴b=﹣a﹣1‎ ‎∴直线l的方程为y﹣b=x﹣a，即x﹣y﹣2a﹣1=0‎ ‎∴|CM|2=（）2=2（1﹣a）2‎ ‎∴|MB|2=|CB|2﹣|CM|2=﹣2a2+4a+7‎ ‎∵|MB|=|OM|‎ ‎∴﹣2a2+4a+7=a2+b2，得a=﹣1或，‎ 当a=时，b=﹣，此时直线l的方程为x﹣y﹣4=0‎ 当a=﹣1时，b=0，此时直线l的方程为x﹣y+1=0‎ 故这样的直线l是存在的，方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．‎ ‎　‎ ‎21．过点P（2，1）作直线l分别与x，y轴正半轴交于A、B两点．‎ ‎（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；‎ ‎（2）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】（1）设A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．直线l的方程为，把点P（2，1）代入可得，所以利用基本不等式即可得出．‎ ‎（2）|OA|+|OB|=，即由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．‎ ‎【解答】解：设A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．‎ ‎（1）设直线方程为，‎ 代入P（2，1）得，‎ 得ab≥8，从而，‎ 此时，．‎ ‎∴方程为x+2y﹣4=0．‎ ‎（2），‎ 此时，．‎ ‎∴方程为．‎ ‎　‎ ‎22．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．‎ ‎（1）求圆M和圆N的方程；‎ ‎（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）圆M的圆心已知，且其与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，故半径易知，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点，由相似性易得其圆心坐标与半径，依定义写出两圆的方程即可．‎ ‎（2）本题研究的是直线与圆相交的问题，由于B点位置不特殊，故可以由对称性转化为求过A点且与线MN平行的线被圆截得弦的长度，下易解．‎ ‎【解答】解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半 径，则M在∠BOA的平分线上，‎ 同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA 的平分线，‎ ‎∵M的坐标为（，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，‎ 则⊙M的方程为，‎ 设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA，NC，‎ 由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，‎ 即得r=3，‎ 则OC=，则⊙N的方程为；‎ ‎（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，‎ 此弦的方程是，即：x﹣﹣=0，‎ 圆心N到该直线的距离d=，则弦长=2．‎ ‎　‎