安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测理科数学试题 含答案

安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测理科数学试题 含答案

‎2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 理科数学试题 本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．复数的虚部为 A． B． C． D． ‎ 就业人员（万人）‎ ‎3．下图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是 A．2017年就业人员数量是最多的 B．2017年至2018年就业人员数量呈递减状态 C．2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓 D．2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人 ‎4．数列为等差数列，且，则的前13项的和为 A． B． C． D． ‎ ‎5．已知向量，，且，则 A． B． C． D． ‎ ‎6．已知奇函数，则的值为 A． B． C． D． ‎ ‎7．已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于点，交轴于点，若，则点的坐标为 A． B． C． D． ‎8．西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸．203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为 A．18 B．36 C．72 D．144 ‎9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎10．函数的图像大致为 A B C D ‎11．已知边长为2的正所在平面外有一点，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 ‎ A． B． C． D． ‎12．已知函数（）的图象经过点和，且在内不单调，则的最小值为 A．1 B．3 C．5 D．7 ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为 ▲ ．‎ ‎14．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为 ▲ ．‎ ‎15．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列．已知“等差比”数列的前三项分别为，，，则数列的前项和 ▲ ．‎ ‎16．已知双曲线（，）的焦距为，为右焦点，为坐标原点，是双曲线上一点，，的面积为，则该双曲线的离心率为 ▲ ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知为锐角三角形，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的最大值．‎ ‎18．（12分）‎ 某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为100分）．现从400份评分表中，随机抽取40份（其中男、女使用者的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图：‎ 女性使用者评分 男性使用者评分 ‎7‎ ‎6‎ ‎7 8 9 9‎ ‎1 2 5‎ ‎7‎ ‎0 2 2 3 4 5 6 6 7 8 9‎ ‎0 3 3 3 4 4 5 6 6 8‎ ‎8‎ ‎2 4 4 9‎ ‎0 0 1 2 2 2‎ ‎9‎ ‎2‎ 记该样本的中位数为，按评分情况将使用者对该APP的态度分为三种类型：评分不小于的称为“满意型”，评分不大于的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型”．‎ ‎（1）求的值，并估计这400名使用者中“须改进型”使用者的个数；‎ ‎（2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女性使用 者人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且在平面内的射影在边上．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值． ‎ ‎20．（12分）‎ 已知椭圆：过点，且到两焦点的距离之和为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知不经过原点的直线交椭圆于、两点，线段的中点在直线上，求 的取值范围．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个不同零点，，证明：且．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点在射线上，且点到极点的距离为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程与点的直角坐标；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）若函数有零点，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）记（1）中实数的最大值为，若，均为正实数，且满足，‎ 求的最小值．‎ ‎2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 理科数学试题 本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D C A D D B B C C B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13． 14．6 15． ‎ ‎16．（提示：设左焦点为，，由题知为直角三角形 ，∴ ‎ ‎，又，从而.）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．【解析】（1）解法1：，‎ ‎∴，∵为锐角三角形，，‎ ‎∴，即，∴． （6分）‎ 解法2：∵，∴，‎ ‎∴，∴，∵为锐角三角形，‎ ‎∴，∴，∴，∴． （6分）‎ ‎（2）由正弦定理得，∴，．‎ 由（1）知，∴‎ ‎∴‎ ‎， （10分） ‎ ‎∴时，取得最大值． （12分）‎ ‎18．【解析】（1）中位数等于，所以，40个样本数据中共有13人是“须改进型”，从而可得400名使用者中约人是“须改进型”使用者； （5分）‎ ‎（2）不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人，‎ 故的所有可能的取值为0,1,2 （7分）‎ 且;;‎ 故的分布列为 ‎ （11分） ‎ 所以的数学期望 （12分）‎ ‎19．【解析】（1）由题可得面，∴，又四边形为矩形，‎ ‎∴，又，∴面，∴． （5分）‎ ‎（2）解法1：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，‎ 设点坐标为（），由，，‎ 得，‎ 解得，，即点坐标为，‎ 设面，所以，‎ ‎∴，令，得，‎ 又面，，所以二面角的余弦值为． （12分）‎ 解法2：作交于点，连接.由（1）知：．‎ 又,‎ 面.‎ 面,又,‎ 面,故即为所求二面角的平面角.在,‎ 中易求得,,‎ 中， （12分）‎ ‎20．【解析】（1）由题可得，解得，所以曲线的方程为． （4分）‎ ‎（2）（方法一）易知直线 斜率存在且不等于0，所以 ‎ 设，得两式相减得，即 （7分）‎ 设直线的方程为，联立方程 化简得 因为直线交椭圆于,两点，故，解得 （8分）‎ 又， （9分）‎ 所以． （12分）‎ ‎（方法二）易知直线斜率存在且不等于0，故设直线的方程为 联立方程组，化简得 ‎，，‎ 因为线段的中点在直线上，所以，求得 （7分）‎ 后面解法同解法一． （12分）‎ ‎21．【解析】（1）．‎ 因为，由得，或． （2分）‎ i）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；‎ ii）即时，在单调递减；‎ iii）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减． （6分）‎ ‎（2）由（1）知，时，的极小值为，‎ 时，的极小值为，时，在单调，故时，至多有一个零点．‎ 当时，易知在单调递减，在单调递增．‎ 要使有两个零点，则，得． （9分）‎ 令，（），则 ，所以在时单调递增，，．‎ 不妨设，则，，， ．‎ 由在单调递减得，，即． （12分）‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．【解析】（1）曲线的普通方程为， （2分）‎ 点的极坐标为，直角坐标为． （5分）‎ ‎（2）（方法一）圆心，，‎ 点到的距离，且，‎ 所以 ． （10分）‎ ‎ （方法二）圆心，其极坐标为，而，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，，所以 ．‎ 所以 ．‎ ‎23．【解析】（1）依题意可知二次方程有解，‎ ‎，即．‎ ①当时，，；‎ ②当时，恒成立，；‎ ③当时，，． ‎ 综上所述，可得． （5分）‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎（方法一：利用基本不等式）∵，‎ ‎∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号． （10分）‎ ‎（方法二：利用二次函数求最值）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最小值为，当且仅当时取等号． （10分）‎ ‎（方法三：利用柯西不等式）∵，‎ ‎∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号． （10分）‎