2020届福建省三明第一中学高三上学期第二次月考数学（文）试题

2020届福建省三明第一中学高三上学期第二次月考数学（文）试题

三明一中2019-2020学年(上)第二次月考 高三数学（文）试题 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．‎ ‎2．本试卷包括必考和选考两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A），（B）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 设全集为，集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 设为虚数单位，若复数满足，则复数 A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知数列中，，则 A. B. C. D. ‎ ‎5．在上随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎6．已知向量，则“”是“”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎7．若实数满足约束条件则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9．函数在的图象大致为 ‎10．函数的最小正周期为，则满足 A．在上单调递增 B．当时有最小值 ‎ C. D．图象关于直线对称 ‎ ‎11．如图，空间四边形的对角线，M、N分别为的中点且，则异面直线与所成角的余弦值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的方程是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）‎ ‎13．____________. ‎ ‎14．曲线在处的切线方程为____________．‎ ‎15．直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为____________． ‎ ‎16．在三棱锥中，底面，且三棱锥 的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是____________． ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，第17-21每题12分，第22题10分，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：‎ ‎（1）能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．‎ ‎（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，且．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．‎ ‎（1）求证：AD⊥平面PNB；‎ ‎（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b.‎ ‎（1）当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，求实数b的值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知动圆E经过点F(1,0)，且和直线l：x＝－1相切．‎ ‎（1）求该动圆圆心E的轨迹G的方程；‎ ‎（2）已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．‎ ‎22．（本小题满分10分，考生可在其中的（A），（B）两题中任选一题作答）‎ ‎（A）4－4：坐标系与参数方程 已知在平面在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与曲线在第一象限交于点，直线与直线交于点，求．‎ ‎（B）4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若恒成立，求实数a的取值范围．‎ 三明一中2019-2020学年(上)第二次月考 高三数学（文）试题参考答案 一、选择题：（5×12=60）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B ‎ D C ‎ B A ‎ A B A D B A C ‎ 二、填空题：（4×5=20）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：（第17-21每题12分，第22题10分，共70分） ‎ ‎17. 解：(1) ∵K2＝≈8.249＞6.635， ……4分 ‎∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关． ……5分 ‎(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.‎ 则抽取的结果共有15种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，‎ ‎(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)， ……8分 设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：‎ ‎(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)．‎ 则P(A)＝. ……11分 故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为. ……12分 ‎18.解：‎ ‎（1）因为，所以，即 ……4分 又，所以 ……5分 ‎∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列． ……6分 ‎（2）由（1）得，所以 ……8分 所以 ……10分 所以 ‎ ‎∴数列的前n项和． ……12分 ‎ ‎19. 解： (1)证明：连接BD.‎ ‎∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD. ……2分 ‎ 又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形， ……3分 ‎∴BN⊥AD， ……4分 又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB. ……6分 ‎(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝. ……7分 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，……8分 ‎∴PN⊥NB，∴S△PNB＝××＝. ……9分 ‎∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB. ……10分 又PM＝2MC，‎ ‎∴VPNBM＝VMPNB＝VCPNB＝×××2＝. ……12分 ‎20. 解：‎ ‎（1）当a＝－1时，f(x)＝x3＋x2－x＋b，‎ 则f′(x)＝3x2＋2x－1， ……1分 由f′(x)>0，得x<－1或x>，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.……5分 ‎(2)‎ 函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，等价于f(x)－ax＝0有两个不等的实根．……6分 令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，则g′(x)＝3x2＋2x.‎ 由g′(x)>0，得x<－或x>0；‎ 由g′(x)<0，得－

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