云南省陆良县联办高级中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学（文）试题

云南省陆良县联办高级中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学（文）试题

陆良联中2021届高二下4月月考试卷（文数）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，集合，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由集合，，‎ ‎ 所以，故选D.‎ ‎2.复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解.‎ ‎【详解】因为,所以其共轭复数是，选C.‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎3.根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：‎ 则下列说法错误的是（ ）‎ A. 2018年的水质情况好于2017年的水质情况 B. 2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加 C. 2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质 D. 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据饼图逐一判断．‎ ‎【详解】A．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显超过2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比，故正确；‎ B．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，而2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比为46.4%，故正确；‎ C. 2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是III类水质，故错误；‎ D. 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，超过，故正确.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查饼图的识别及认识，是基础题．‎ ‎4.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的性质，判断出三者的大小关系 ‎【详解】由于，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎5.圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.‎ ‎【详解】因为圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，‎ 两式相减得，即公共弦所在的直线方程.‎ 圆C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为，‎ 所以公共弦长为：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出K的值是（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运行程序，根据循环结构程序框图，计算出输出的结果.‎ ‎【详解】，判断是；‎ ‎，判断是；‎ ‎，判断是；‎ ‎，判断是；‎ ‎，判断是；‎ ‎，判断是；‎ ‎，判断否；‎ 输出.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.‎ ‎7.甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4‎100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( )‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．‎ ‎【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，‎ ‎∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，‎ 当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；‎ 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．‎ 故跑第三棒的是丙．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．‎ ‎8.下列说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若为假命题，则、均为假命题 D. 命题：“，使得”，则非：“，”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A正确；‎ 由“”的充要条件为“”,可得B正确；‎ 由“且”命题的真假可得C错误；由特称命题的否定为全称命题可得D正确，得解.‎ ‎【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,‎ 可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”,即A正确；‎ 对于选项B, “”的充要条件为“”,又“”是“”的充分不必要条件,即B正确；‎ 对于选项C, 为假命题，则、至少有1个为假命题,即C错误；‎ 对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题：“，使得”，则非：“，”,即D正确,‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.‎ ‎9.已知等比数列公比为正数，且，则公比（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为的形式，化简求得的值.‎ ‎【详解】依题意等比数列的公比为正数，且，‎ 所以，‎ 即①，‎ 由于，‎ 所以由①解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎10.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果.‎ 详解：函数，‎ 可得，‎ 函数奇函数，排除B，‎ 时，，排除D，‎ 时，，对应点在第四象限，排除C.‎ 故选：A.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数特征点，排除不合要求的图象．‎ ‎11.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则m的值为（ ）‎ A. 4 B. C. 4或 D. 12或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断出抛物线开口向上，根据抛物线的定义求得抛物线方程，将点坐标代入抛物线方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于的纵坐标大于零，所以抛物线开口向上，设抛物线的方程为，其中.‎ 由于抛物线上的点到焦点的距离为4，所以到抛物线准线的距离为,‎ 所以，解得，‎ 所以抛物线方程为，‎ 将代入抛物线方程得，解得或.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，属于基础题.‎ ‎12.过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可 ‎【详解】因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.‎ 故选：C ‎【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，，若，则的夹角大小为__________.‎ ‎【答案】120°‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：先设与的夹角为，根据题意，易得，将其代入中易得，进而由数量积的运算，可得的值，从而可得答案.‎ 解析：设与的夹角为，‎ ‎，则，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：‎ 要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的．‎ ‎14.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设正方体的棱长为，其体积，‎ 内切球直径为，其体积：，‎ 利用几何概型公式结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率是：.‎ 点睛：很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．‎ ‎15.（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二））已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_______万元．‎ ‎【答案】85‎ ‎【解析】‎ 由上表可知：.‎ 得样本点的中心为，代入回归方程，得.‎ 所以回归方程为，‎ 将代入可得：.‎ ‎16.如图，公路和在P处交汇，且，在A处有一所中学，‎ ‎，假设拖拉机行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为，那么学校受影响的时间为______s.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作，交于，计算出，以为圆心，半径为作圆，交于两点，求得的长度，由此求得学校受影响的时间.‎ ‎【详解】过作，交于，由于，，所以.‎ 以为圆心，半径为作圆，交于两点.‎ 所以.‎ 所以学校受影响的时间为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线与圆相交所得弦长的计算，考查生活中的数学问题，属于基础题.‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（1）已知函数（），解关于x的不等式；‎ ‎（2）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将分成三种情况，根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.‎ ‎（2）根据一元二次不等式恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由，得 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 ‎（2）由已知得，解得 ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎18.已知等差数列的前n项的和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前n项和为，求 ‎【答案】（1）；（2）=；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的性质求得，由此求得，进而求得数列的通项公式.‎ ‎（2）利用裂项求和法求得数列的前n项和为.‎ ‎【详解】（1）由题意得，∴.‎ 设等差数列的公差为d，则，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于基础题.‎ ‎19.已知，，是的内角，，，分别是角，，的对边，且满足 ．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，为的中点，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用，余弦定理的应用求出结果．‎ ‎（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 利用正弦定理整理得：，‎ 结合余弦定理：，‎ 由于：‎ 整理得：．‎ ‎（2）因为，的面积为，‎ 所以为等腰三角形，‎ 且顶角．‎ 因为，‎ 所以：．‎ 在中，，，，‎ 所以 ‎，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数的基本关系，正弦定理，余弦定理，求面积公式，综合性较强，考查学生分析推理，计算化简的能力，属于中档题．‎ ‎20.某地区工会利用“健步行” 开展健步走积分奖励活动.会员每天走5 千步可获积分30分(不足5千步不积分)， 每多走2千步再积20分（不足2千步不积分).为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了 1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为，九组，整理得到如图频率分布直方图：‎ ‎（1）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；‎ ‎（2）从当天步数在的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；‎ ‎（3）写出该组数据的中位数（只写结果）.‎ ‎【答案】（1）300（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：(1)根据直方图的性质，求出每个小矩形的面积可得到健步走的步数在内的频率，‎ 健步走的步数在内的频率，健步走的步数在内的频率，健步走的步数在内的频率，从而可得结果；（2）按分层抽样的方法，在内应抽取3人，在内应抽取2人，在内应抽取1人，利用列举法人中任意选取人共有种，其中这2人的积分之和不少于的情况共有种，由古典概型概率公式可得结果；（3）根据频率分布直方图的性质能求出中位数.‎ 详解：（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在内的人数为；‎ 健步走的步数在内的人数为；‎ 健步走的步数在内的人数为；‎ 健步走的步数在内的人数为；‎ ‎．‎ 所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人． ‎ ‎（Ⅱ）按分层抽样的方法，在内应抽取3人，记为，，，每人的积分是90分；在内应抽取2人，记为，，每人的积分是110分；‎ 在内应抽取1人，记为，每人的积分是130分；‎ 从6人中随机抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15种方法．‎ 所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有，，，‎ ‎，，，，，，，，共12种方法．‎ 设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件，则 ‎．‎ 所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为．‎ ‎（Ⅲ）第一个小矩形面积为，第二个小矩形面积为，‎ 第三个小矩形面积为，第四个小矩形面积为，‎ 第五个小矩形面积为0.3，设中位数为，则，‎ 解得，故中位数为．‎ 点睛：本题主要考查直方图的应用、分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎21.如图，在三棱锥中，,平面平面，、分别为、的中点．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求证：；‎ ‎(3)求三棱锥的体积． ‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由三角形中位线的性质可得DE∥BC，结合线面平行的判断定理可得DE∥平面PBC.‎ ‎(2)连接PD，由等腰三角形三线合一可知PD⊥AB.且DE⊥AB.利用线面垂直的判断定理有AB⊥平面PDE，故AB⊥PE.‎ ‎(3)转换顶点，将三棱锥看作以点P为顶点的三棱锥，计算可得，且PD是三棱锥P－BEC的高，计算可得由三棱锥体积公式可得其体积.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：∵在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC.‎ ‎∵DE⊄平面PBC且BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.‎ ‎(2)证明：连接PD.∵PA＝PB，D为AB的中点，∴PD⊥AB.‎ ‎∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB.又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，‎ ‎∴AB⊥平面PDE ‎∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE.‎ ‎(3)解：∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P－BEC的高．‎ 又∵，.‎ ‎22.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，.椭圆C的长轴与焦距之比为，过的直线l与C交于A、B两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当l的斜率为1时，求的面积；‎ ‎（3）当线段的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）12（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆方程.‎ ‎（2）求得直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得两点的纵坐标，由此求得三角形的面积.‎ ‎（3）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，求得线段中点的坐标，设线段的垂直平分线与y轴的交点为，根据求得关于的表达式，由此求得的最小值，以及此时的值，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】（1）依题意，因，又，得， ‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（2）设、，当时，直线l：，将直线与椭圆方程联立，消去x得，，解得，，，‎ 所以.‎ ‎（3）设直线l的斜率为k，由题意可知，由，消去y得，恒成立，，‎ 设线段的中点为，则，，‎ 设线段的垂直平分线与y轴的交点为，则，得.‎ ‎，整理得：，，等号成立时 ‎.故当截距m最小为时，，此时直线l的方程为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.‎