黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三第二次模拟 数学（理）（PDF版）

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三第二次模拟 数学（理）（PDF版）

- 1 - 2019 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．如果复数 i ai   2 1 ( Ra ,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A．1 B．-1 C．3 D．-3 2．若    0,1,2 , | 2 ,aA B x x a A    ，则 AB A．{0,1,2} B. {0,1,2 3}， C. {0,1,2 4}， D. {1,2 4}， 3. 向量 (2, ), ( 1,3)  a t b ，若 ba , 的夹角为钝角，则 t 的范围是 A．t< 3 2 B．t> C．t< 且 t≠ 6 D．t< 4．双曲线 14 2 2  yx 的顶点到渐近线的距离等于 A． 5 52 B． 5 4 C． 5 2 D． 5 54 5．有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种 6．已知某个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A． 3 560 B． 200 C． 3 580 D． 240 7. 下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 x = 3  对称的函数是 A． 2sin(2 )3yx B． 2sin(2 )6yx - 2 - C． 2sin( )23xy  D． 2sin(2 )3yx 8． 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A． ii,iSS,i 2120  B． ii,iSS,i 2120  C． 1220  ii,SS,i D． 1220  ii,SS,i 9．已知 是第二象限角，且 sin( 5 3)  ，则 tan2 的值为 A． 5 4 B． 7 23 C． 7 24 D． 9 24 10．P 为圆 C1： 229xy上任意一点，Q 为圆 C2： 2225xy上任意一点，PQ 中点组成的区域为 M， 在 C2 内部任取一点，则该点落在区域 M 上的概率为 A． 25 13 B． 5 3 C． 25 12 D． 5 3 11．已知抛物线 x 2 =4y 焦点为 F,经过 F 的直线交抛物线于 A(x1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),点 A,B 在 抛物线准线上的射影分别为 A1 ,B1 ,以下四个结论：①x x 2 = 4 , ② AB =y1 +y 2 +1 , ③ 11FBA = 2  ,④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为 2 其中正确的个数为 A． 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．已知函数 axx exf x )( ， ),0( x ，当 12 xx  时，不等式 1 2 2 1 )()( x xf x xf  恒成立， 则实数 a 的取值范围为 A． ],( e B． ),( e C． )2,( e D． ]2,( e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．在锐角三角形 ABC 中， cba ,, 分别为角 A、B、C 所对的边，且 Aca sin23  c= 7 ，且Δ ABC 的面积为 2 33 ， ba  的值为 . - 3 - 14．在三棱锥 S—ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC= 13 ， SB= 29 ，则异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值为__________. 15．如图所示，有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按 下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片； (2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针 最少需要移动的次数记为 f(n)，则 f(n)＝________. 16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 A（0，0， 5 ）， B（ 3 ，0，0）， C（0，1，0）， D（ 3 ，1， 5 ），则该四面体的外接球的体积为______. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共 60 分) 17．(12 分) 设数列{}na 满足 23 1 1  nn aa ， 41 a (1) 求证 3na  是等比数列，并求 na ; (2) 求数列 的前 n 项和 nT . 18．(12 分) 为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科 学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图。 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 分数 0.024 0.018 0.015 0.012 0.010 0.008 0.005 0.003 0 频率 组距 - 4 - A B C D P N M （1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩 0；(精确到个位)； (2) 研究发现，本次检测的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 N( , 2 )( = 0 , 约为 19.3)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占 40%； (i) 估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？(精确到 个位)； (ii) 从该市高三理科学生中随机抽取 4 人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的 人数为 Y，求 Y 的分布列及数学期望 E(Y).(说明： 1 1 )( ) 1 ( )   xuP X x   表示 X> 的概率.参考数据： )4.0)6554.0(,6.0)7257.0(  19．(12 分) 如图，PA⊥矩形 ABCD 所在平面，PA=AD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点. （1）求证：平面 ANB⊥平面 PCD; （2）若直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 10 10 , 求二面角 N-MD-C 的正弦值. u 1x - 5 - 20．(12 分) 动点 M(x,y)满足 6)22()22( 2222  yxyx (1)求 M 点的轨迹并给出标准方程； (2)已知 D( 22 ,0),直线 l： 22y kx k 交 M 点的轨迹于 A,B 两点，设 AD = DB 且 1< <2，求 k 的取值范围. 21．(12 分) 已知函数 ( ) ln( )xf x e x m   ，其中 1m  . (1)设 0x  是函数 ()fx的极值点，讨论函数 ()fx的单调性； (2)若 ()y f x 有两个不同的零点 1x 和 2x ，且 120xx ， (i) 求参数 m 的取值范围； (ii) 求证： 21 21ln( 1) 1xxe x x e      . (二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 以直角坐标系原点O 为极点， x 轴正方向为极轴，已知曲线 1C 的方程为 1)1( 22  yx ， 2C 的方程 为 3 yx ， 3C 是一条经过原点且斜率大于 0 的直线. （1）求 1C 与 2C 的极坐标方程； （2）若 1C 与 3C 的一个公共点为 A （异于点 ）， 2C 与 3C 的一个公共点为 B ， - 6 - 求 OBOA 3 的取值范围. 23．[选修 4－5：不等式选讲](10 分) （1） ,1,,,   cbaRcba 且已知 证明 ；9111  cba （2） ,abc,Rc,b,a 1  且已知 证明 cbacba 111  . - 7 - y C D P N E x 哈三中 2019 届高三二模数学（理科）试题参考答案 一、选择题：(每小题 5 分，共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C A C B B D C B C D 二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分) 13.5 14. 17 17 15. 21n  16. 9 2  三、解答题： 17：解：（1） 23 1 1  nn aa ， 41 a  )3(3 131  nn aa ，故 3na 是首项为 1，公比为 3 1 的等比数列， 1)3 1(3  n na （2） 1 3 13       n na 故 nT =3n+ ）（ 110 3 1 3 1 3 1               n =3n+ 3 1-1 3 1-1 n    =3n+            n 3 1-12 3 18. 解： 19.解：如图，取 PD 中点 E，连接 EN,AE. (1) 证明： M,N,E 为中点， - 8 - EN∥AM, EN=AM= 1 2 AB, AMNE 是 ，MN∥AE 又 CD  AD,CD PA CD 面 PAD, 面 P CD 面 PAD PA=AD,E 为中点，AE 面 P CD MN 面 PCD, MN  面 ANB, 平面 ANB⊥平面 PCD （2） 建立如图所示坐标系，设 A=AD=2，AB=2t,则 A(0,0,0),B(2t,0,0),C(2t,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), M(t,0,0),N(t,1,1). 由（1）知 MN 面 PCD, (2 ,0, 2), (0,1,1)PB t MN   直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 10 10 , 由 10 10 PB MN PB MN   得 t=2. 设 ( , , ),m x y z m角 NMD，则 (2, 2,0), (0,1,1)DM MN   由 0 0 DM m MN m    得 (1,1, 1), 3,mm   AP  面 CMD, (0,0,2)AP  ,设二面角 N-MD-C 为 ， 为锐角则 3cos ,3 6sin .3 APm AP m     20.解（1）解:M 点的轨迹是以( 22 ,0),(- ,0)为焦点，长轴长为 6 的椭圆，其标准方程为 19 2 2  yx  2 解：设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )，由 AD =  DB 得 y1 =  y 2 由 1< <2 得 k 0 由 y=kx- k 得 x= k ky 22 代入 整理(1+9k 2 )y 2 +4 2 ky-k 2 显然 的判别式  >0 恒成立 - 9 - 由根与系数的关系得 y 1 +y 2 = 291 24 K K  y 1 y 2 = 2 2 91 K K  ......④ 由 得 )91)(1( 24 21 k ky    ， )91)(1( 24 22 k ky   代入④ 整理得 21 32 )1( 3291 2 2    k 设 f(  )= 21   ,则利用导数可以证明 f( )在（1,2）上为增函数故得 0< f( )< 2 1 所以 291 k >64 即 k 的取值范围是 k> 7 或 k< 7 21 解：(1)因为 mxexf x  1)( ， 0x  是  fx的极值点，所以 011)0(  mf ，解得 1,m  所以 函数 )1ln()(  xexf x ，其定义域为 1,  ， 因为 1 1)1()(   x xexf x ， 设    1 1,xg x e x   则    ' 1 0xxg x e x e    ， 所以  gx在  1,  上是增函数，又因为  00g  ， 所以当 0x  时，   0gx ，即   0fx  ，当 10x   时，   0gx ，   0fx  ，所以  fx在  1,0 上是减函数，在 0, 上是增函数. (2)当 2m  ，  ,xm   时，    ln ln 2x m x   ，故只需证明当 2m  时，   0fx . 当 2m  时，函数   1 2 xf x e x   在 2,  单调递增. 由    1 0, 0 0ff   ，故   0fx  在 2,  上有唯一实根 0x ，且  0 1,0x  . 当  02,xx 时，   0fx  ；当  0 ,xx  时，   0fx  ，从而当 0xx 时，  fx取得最小值.由  0 0fx  得：  0 00 0 1 ,ln 2 ,2 xe x xx    故      2 0 00 00 11 022 xf x f x xxx      综上，当 2m  时，   0fx 。 22.解：（1）曲线 1C 的方程为 1)1( 22  yx ， 1C 的极坐标方程为  cos2 - 10 - 2C 的方程为 3 yx ，其极坐标方程为  sincos 3  （2） 3C 是一条过原点且斜率为正值的直线， 3C 的极坐标方程为    20  ，， 联立 1C 与 3C 的极坐标方程        cos2 ，得  cos2 ，即 cos2OA 联立 与 2C 的极坐标方程      sincos 3 ，得  sincos 3 ，即  sincosOB 3 所以       4223 cossincoscosOBOA 又       20， ，所以 ),(OBOA 113  23. 证明： （1）因为  c cba b cba a cba cba 111  111 c b c a b c b a a c a b 时等号成立，当 cbaa c c a b c c b b a a b  93 （2）因为             bcacabcbcabacba 1212122 1111111 2 1111 又因为 ,abc 1 所以 cab 1 ， bac 1 ， abc 1  abccba  111 当 cba  时等号成立，即原不等式成立