数学理·甘肃省白银市会宁二中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·甘肃省白银市会宁二中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）+Word版含解析

‎2016-2017学年甘肃省白银市会宁二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：‎ ‎①M={}；‎ ‎②M={（x，y）|y=sinx+1}；‎ ‎③M={（x，y）|y=log2x}；‎ ‎④M={（x，y）|y=ex﹣2}．‎ 其中是“垂直对点集”的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎2．函数f（x）=+lg的定义域为（　　）‎ A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]‎ ‎3．设p：≤1，q：（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[0，] B．（0，） C．（﹣∞，0]∪[，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）‎ ‎4．给出下列四个命题：‎ ‎（1）若p∨q为假命题，则p、q均为假命题；‎ ‎（2）命题“∀x∈[1，2），x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是a≥1；‎ ‎（3）已知函数=x2+，则f（2）=6；‎ ‎（4）若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．函数f（x）=，若f（a）=1，则a的值是（　　）‎ A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2‎ ‎6．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣ex]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（　　）‎ A．1 B．e+l C．3 D．e+3‎ ‎7．函数y=的值域是（　　）‎ A．R B．[，+∞） C．（2，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎8．若定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，函数g（x）=，则∀x∈[﹣4，4]，方程f（x）=g（x）不同解的个数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎9．已知函数f（x）=，若存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f（x1）=f（x2），则x1的最小值为（　　）‎ A．log23 B．log32 C．1 D．2‎ ‎10．a、b、c依次表示函数f（x）=2x+x﹣2，g（x）=3x+x﹣2，h（x）=lnx+x﹣2的零点，则a、b、c的大小顺序为（　　）‎ A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c ‎11．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎12．若函数f（x）=（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则a：b：c：d=（　　）‎ A．1：6：5：8 B．1：6：5：（﹣8） C．1：（﹣6）：5：8 D．1：（﹣6）：5：（﹣8）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知全集为R，对a＞b＞0，集合M={x|b＜x＜}，N={x|＜x＜a}，则M∩∁RN　　．‎ ‎14．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=+sinx，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值是　　．‎ ‎16．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设命题P：函数f（x）=的值域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切实数x恒成立，若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．函数．‎ ‎（1）a=5，函数f（x）的定义域A；‎ ‎（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩CRA）时，证明：．‎ ‎19．已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．‎ ‎（1）求f（0）的值．‎ ‎（2）求f（x）的解析式．‎ ‎（3）已知a∈R，设P：当0＜x＜时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁RB（R为全集）．‎ ‎20．按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mAm元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．‎ ‎（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA=mB时，求证：h甲=h乙；‎ ‎（2）设mA=mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？‎ ‎21．一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a﹣x）=2b恒成立，已知函数f（x）=的定义域为R，其图象关于点M（，）对称．‎ ‎（1）求常数m的值；‎ ‎（2）解方程：log2[1﹣f（x）]log2[4﹣xf（x）]=2；‎ ‎（3）求证：f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（）=（n∈N*）．‎ ‎22．设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．‎ ‎（1）求k值；‎ ‎（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；‎ ‎（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省白银市会宁二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：‎ ‎①M={}；‎ ‎②M={（x，y）|y=sinx+1}；‎ ‎③M={（x，y）|y=log2x}；‎ ‎④M={（x，y）|y=ex﹣2}．‎ 其中是“垂直对点集”的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；‎ ‎【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．‎ 对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．‎ 对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．‎ 对于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．‎ 所以②④正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．函数f（x）=+lg的定义域为（　　）‎ A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则，‎ 即，‎ ‎＞0等价为①即，即x＞3，‎ ‎②，即，此时2＜x＜3，‎ 即2＜x＜3或x＞3，‎ ‎∵﹣4≤x≤4，‎ ‎∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，‎ 即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．设p：≤1，q：（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[0，] B．（0，） C．（﹣∞，0]∪[，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】解根式不等式，我们可以求出满足命题p的集合P，解二次不等式（x﹣a）•[x﹣（a+1）]≤0，我们可以求出满足命题q的集合Q，进而根据q是p的必要而不充分条件，我们可得P⊊Q，根据集合子集的定义，可以构造出关于a的不等式组，解不等式即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：解不等式得：≤x≤1‎ 故满足命题p的集合P=[，1]‎ 解不等式（x﹣a）•[x﹣（a+1）]≤0得：a≤x≤a+1‎ 故满足命题q的集合Q=[a，a+1]‎ 若q是p的必要而不充分条件，则P⊊Q 即 ‎ 解得0≤a≤‎ 故实数a的取值范围是 ‎ 故选A ‎　‎ ‎4．给出下列四个命题：‎ ‎（1）若p∨q为假命题，则p、q均为假命题；‎ ‎（2）命题“∀x∈[1，2），x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是a≥1；‎ ‎（3）已知函数=x2+，则f（2）=6；‎ ‎（4）若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1）根据复合命题的真假判断进行判断．‎ ‎（2）根据充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎（3）根据函数解析式进行化简求解即可 ‎（4）根据函数定义域的求法进行判断．‎ ‎【解答】解：（1）根据复合命题的真假关系可知，若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，正确 ‎（2）命题“∀x∈[1，2），x2﹣a≤0”为真命题，‎ 则a≥x2，‎ ‎∵x∈[1，2），‎ ‎∴x2∈[1，4），则a≥4，‎ 则a≥1是命题为真命题的一个必要不充分条件，故（2）错误，‎ ‎（3）已知函数=x2+=（x﹣）2+2，则f（x）=x2+2，‎ 则f（2）=22+2=6；故（3）正确，‎ ‎（4）若函数y=的定义域为R，则等价为mx2+4mx+3≠0，‎ 当m=0时，不等式mx2+4mx+3≠0，等价为3≠0，此时满足条件，故则实数m的取值范围是错误．‎ 故（1）（3）正确，‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．函数f（x）=，若f（a）=1，则a的值是（　　）‎ A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2‎ ‎【考点】函数的零点；函数的值．‎ ‎【分析】根据分段函数，直接解方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若a＜2，则由f（a）=1得，3a﹣2=1，即a﹣2=0，‎ ‎∴a=2．此时不成立．‎ 若a≥2，则由f（a）=1得，log=1，‎ 得a2﹣1=3，‎ 即a2=4，‎ ‎∴a=2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣ex]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（　　）‎ A．1 B．e+l C．3 D．e+3‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】利用换元法 将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设t=f（x）﹣ex，‎ 则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，‎ 令x=t，则f（t）=et+t=e+1，‎ ‎∵函数f（x）为单调递增函数，‎ ‎∴函数为一对一函数，解得t=1，‎ ‎∴f（x）=ex+1，‎ 即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．函数y=的值域是（　　）‎ A．R B．[，+∞） C．（2，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎【考点】复合函数的单调性．‎ ‎【分析】令t=﹣x2+2x，则y=，再根据t≤1以及指数函数的单调性求得y的值域．‎ ‎【解答】解：令t=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，则y=．‎ 由于t≤1，∴y≥=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．若定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，函数g（x）=，则∀x∈[﹣4，4]，方程f（x）=g（x）不同解的个数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，作图象可得答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x），‎ ‎∴函数f（x）的周期为2，‎ 又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，且为偶函数，‎ ‎∴函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象大致如图所示，‎ 数形结合可得图象的交点个数为：6‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=，若存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f（x1）=f（x2），则x1的最小值为（　　）‎ A．log23 B．log32 C．1 D．2‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】x≤0，f（x）≥1，存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f（x1）=f（x2），可得﹣1≥1，求出x1的范围，即可求出x1的最小值．‎ ‎【解答】解：x≤0，f（x）≥1‎ ‎∵存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f（x1）=f（x2），‎ ‎∴﹣1≥1，‎ ‎∴≥2，‎ ‎∴x1≥log32，‎ ‎∴x1的最小值为log32．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．a、b、c依次表示函数f（x）=2x+x﹣2，g（x）=3x+x﹣2，h（x）=lnx+x﹣2的零点，则a、b、c的大小顺序为（　　）‎ A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．‎ ‎【解答】解：由于：f（x）=2x+x﹣2，g（x）=3x+x﹣2，h（x）=lnx+x﹣2在定义域上是增函数，‎ 对于f（x）=2x+x﹣2，‎ 由于：f（）=+﹣2＜0，f（1）=2+1﹣2=1＞0，‎ 所以：函数在（，1）上有唯一的零点，即a∈（，1）；‎ 对于g（x）=3x+x﹣2，‎ 由于：g（）=+﹣2＞0，g（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，‎ 所以：函数在（0，）上有唯一的零点，即b∈（0，）；‎ 对于h（x）=lnx+x﹣2，‎ 由于：h（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0，‎ 可得：函数在（1，2）上有唯一的零点，即c∈（1，2）；‎ 则b＜a＜c，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=k﹣，‎ ‎∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．‎ ‎∴，‎ 而y=在区间（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎∴k的取值范围是[1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．若函数f（x）=（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则a：b：c：d=（　　）‎ A．1：6：5：8 B．1：6：5：（﹣8） C．1：（﹣6）：5：8 D．1：（﹣6）：5：（﹣8）‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】根据图象可先判断出分母的分解析，然后利用特殊点再求出分子即可．‎ ‎【解答】解：由图象可知，x≠1，5，‎ ‎∴分母必定可以分解为k（x﹣1）（x﹣5），‎ ‎∵在x=3时有y=2，‎ ‎∴d=﹣8k，‎ ‎∴a：b：c：d=1：（﹣6）：5：（﹣8）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知全集为R，对a＞b＞0，集合M={x|b＜x＜}，N={x|＜x＜a}，则M∩∁RN　{x|b＜x≤}　．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，进而可得 CRN，由交集的意义，分析可得答案．‎ ‎【解答】解：由a＞b＞0，可得＞b，＜a，‎ 由基本不等式可得，＞，‎ 由补集的运算可得 CRN={x|x≤或x≥a}，‎ 由交集的意义，可得M∩CRN={x|b＜x≤}．‎ ‎　‎ ‎14．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为　﹣1≤a≤3　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解 ‎【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”‎ 即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，‎ ‎∴﹣1≤a≤3‎ 故答案是﹣1≤a≤3‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=+sinx，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值是　9　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】求出f（x）+f（﹣x）=2，从而求出代数式的值即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=+sinx，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣sinx，‎ ‎∴f（x）+f（﹣x）=2，‎ 而f（0）=1，‎ 故f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）‎ ‎=2×4+1=9，‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎16．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是　0＜b＜2　．‎ ‎【考点】函数的零点．‎ ‎【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围 ‎【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，‎ 从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，‎ 结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，‎ 故答案为：0＜b＜2‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设命题P：函数f（x）=的值域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切实数x恒成立，若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】求出命题P为真时a的取值范围和命题q为真时a的取值范围；‎ 再求出P∧q为真时a的取值范围，即得P∧q为假命题a的取值范围．‎ ‎【解答】解：命题P为真时，a=0满足题意；‎ a＞0时，△=1﹣≥0，‎ 解答0＜a≤2；‎ 综上，当0≤a≤2时，P为真命题；‎ 命题q为真时：令t=3x∈（0，+∞），‎ 故a＞t﹣t2在（0，+∞）恒成立；‎ 所以a＞时，q为真命题；‎ 所以P∧q为真时，＜a≤2，‎ 所以P∧q为假命题时，a∈（﹣∞，]∪（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎18．函数．‎ ‎（1）a=5，函数f（x）的定义域A；‎ ‎（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩CRA）时，证明：．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求出，‎ ‎（2）先两边平方，再利用做差法进行比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）由|x+1|+|x+2|﹣5≥0，|x+1|+|x+2|≥5得到得A={x|x≤﹣4或x≥1}，‎ ‎（2）由A={x|x≤﹣4或x≥1}，‎ ‎∴CRA=（﹣4，1），‎ ‎∵B={x|﹣1＜x＜2}，‎ ‎∴B∩CRA=（﹣1，1），‎ 又 而4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=a2（4﹣b2）+4（b2﹣4）=（b2﹣4）（4﹣a2），‎ ‎∵a，b∈（﹣1，1），‎ ‎∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0‎ ‎∴4（a+b）2＜（4+ab）2，‎ ‎∴2|a+b|＜|4+ab|‎ ‎∴，‎ ‎　‎ ‎19．已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．‎ ‎（1）求f（0）的值．‎ ‎（2）求f（x）的解析式．‎ ‎（3）已知a∈R，设P：当0＜x＜时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁RB（R为全集）．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】（1）令x=﹣1，y=1，由条件，结合f（1）=0，即可得到f（0）；‎ ‎（2）令y=0，结合f（0），即可求出f（x）的解析式；‎ ‎（3）化简不等式f（x）+3＜2x+a，得到x2﹣x+1＜a，求出左边的范围，由恒成立得到a的范围；由二次函数的单调性，即可得到集合B，从而求出A∩∁RB．‎ ‎【解答】解：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1×（﹣1+2+1）‎ ‎∵f（1）=0，∴f（0）=﹣2； ‎ ‎（2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）‎ 又∵f（0）=﹣2，∴f（x）=x2+x﹣2； ‎ ‎（3）不等式f（x）+3＜2x+a，即x2+x﹣2+3＜2x+a即x2﹣x+1＜a，‎ 当时，，‎ 又恒成立，故A={a|a≥1}，‎ g（x）=x2+x﹣2﹣ax=x2+（1﹣a）x﹣2‎ 又g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，故有，‎ ‎∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，‎ ‎∴A∩CRB={a|1≤a＜5}．‎ ‎　‎ ‎20．按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mAm元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．‎ ‎（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA=mB时，求证：h甲=h乙；‎ ‎（2）设mA=mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件mA=mB时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．‎ ‎（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．‎ ‎【解答】解：（1）h甲=，h乙=，mA∈[3，12]，mB∈[5，20]…3分 当mA=mB时，h甲=，h乙=，‎ ‎∴h甲=h乙…7分 ‎（2）当mA=mB时，h甲==，‎ 由mB∈[5，20]得∈[，]，故当=，‎ 即mB=20，mA=12时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为…13分．‎ ‎　‎ ‎21．一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a﹣x）=2b恒成立，已知函数f（x）=的定义域为R，其图象关于点M（，）对称．‎ ‎（1）求常数m的值；‎ ‎（2）解方程：log2[1﹣f（x）]log2[4﹣xf（x）]=2；‎ ‎（3）求证：f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（）=（n∈N*）．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；对数的运算性质；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用函数的图象关于点对称，可得f（x）+f（1﹣x）=1，代入化简，可得结论；‎ ‎（2）由（1）知，，代入化简方程，可求方程的解；‎ ‎（3）利用f（x）+f（1﹣x）=1，倒序相加，可得结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵函数的图象关于点对称，∴f（x）+f（1﹣x）=1‎ ‎∴+=1‎ ‎∴+=1，∴m=2；‎ ‎（2）解：由（1）知，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴[]2﹣﹣2=0‎ ‎∴=2或 ‎∴x=；‎ ‎（3）证明：设可写成 两式相加，∵f（x）+f（1﹣x）=1‎ ‎∴，所以．‎ ‎　‎ ‎22．设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．‎ ‎（1）求k值；‎ ‎（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；‎ ‎（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．‎ ‎【考点】指数函数综合题；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．‎ ‎（2）由f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即 x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．‎ ‎（3）由f（1）=求得a的值，可得 g（x）的解析式，令t=f（x）=2x﹣2﹣x，可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，t≥f（1），令h（t）=t2﹣2mt+2，（t≥），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…‎ ‎∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．…‎ ‎（2）∵函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），‎ ‎∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又 a＞0，‎ ‎∴1＞a＞0．…‎ 由于y=ax单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．‎ 不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．‎ ‎∴x2+tx＞x﹣4，即 x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，…‎ ‎∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．…‎ ‎（3）∵f（1）=，a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2，或 a=﹣（舍去）．…‎ ‎∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．‎ 令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x﹣2﹣x ，显然是增函数．‎ ‎∵x≥1，∴t≥f（1）=，‎ 令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2　（t≥）…‎ 若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2…‎ 若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去…‎ 综上可知m=2．…‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日