2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理新人教版

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- 1 - 2019 届高三第一次模拟考试理科数学卷试题 （时间 120 分钟，满分 150 分） 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共 60 分）． 1．已知集合 , ,则 ( ) A． B． C． D． 2．欧拉（Leonhard Euler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公 式 （ 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和 指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天 桥”.根据此公式可知，表示的复数 在复平面内位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3．已知△ABC 中，点 D 为 BC 中点，若向量 ，则 =( ) A．2 B．4 C． D． 4．若直线 的倾斜角为 ，则双曲线 的离心率为( ) A．2 B． C. D． 5．若 ,则 的概率为 ( ) A． B. C． D. 6．若函数 的部分图象如图所示,则 =( ) A．1 B. C． D. 7．如图所示,棱长为 1 的正方形网格中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱长 的和为( ) A．12 B． C． D． { }2 2 0A x x x= + ≤ ( ){ }1 0B x x x= + > =∩ BA ∅ ( )1,0− ( ]1,0− ( ]1,2− cos sinixe x i x= + i 5 4 i e π− ( ) ( )1,2 , 2,3AB AC= =  AD DC⋅  2− 4− 0bx ay− = ( )0, 0a b> > 60 2 2 2 2 1x y a b − = 3 5 5 2 [ ], 2,2x y ∈ − 2 2 4x y+ ≤ 1 4 1 2 π 8 π 4 π π( ) sin( )( 0, 0, , )2 2f x A x A x= + > > − < < ∈Rω ϕ ω ϕ π 3f  −   1− 3 3− 4+4 5 8+4 6 4+8 3 - 2 - 8．若 ,则 的大小关系为( ) A． B． C． D． 9 ．如图所示，若程序框图输出的所有实数对(x,y) 所对应的点都在函数 的图象上，则实数 的值依次为(　 　) A．1,2, B．2, ,2 C． D． 10．已知直线 与曲线 交于 两点，若 x 轴上 存在关于原点对称的两点 ( 均在 y 轴右侧)，使得 恒为定值 2，则 p=( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11 ． 在 三 棱 锥 中 ， ， ，则 三 棱 锥 的 外 接 球 表 面 积 为 ( ) A ． B ． C ． D． 12. 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 当 时 ， ， 且 对 任 意 实 数 ，都有 .若 有 且仅有三个零点，则 的取值范围是(　 　) A. B. C. D. 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．若 是偶函数，则数据 3，6，8，a 的中位数是 . 14．成书于公元前 1 世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并 而开方除之”，用现代数学符号表示就是 ，可见当时就已经知道勾股定理.如果正 整数 满足 ，我们就把正整数 叫做勾股数，下面给出几组勾股数： 3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，这几组勾股数有如下规律：第一个数是奇数 m,且第二 0 1a b< < < 1, ,log ,logb a b a a b a b 1log logb a b a a b a b> > > 1log loga b b a b a b a> > > 1log logb a b a a a b b> > > 1log loga b b a a b a b> > > ( ) bf x ax cx = + + , ,a b c 2− 3− 5 9,3,2 2 − 3 11, ,2 2 − ( )0y t t= ≠ ( )2 2 0y p x p= > NM , BA, AM , MNNBMA −+ A BCD− 1,AB AC= = 2DB DC= = 3AD BC= = A BCD− π 7π 4 4π 7π ( )f x [ ]0,2x∈ ( ) ( )4 1 1f x x= − − ( )12 2,2 2 , 2n nx n N n+ ∗ ∈ − − ∈ ≥  ( ) 1 12 2 xf x f  = −   ( ) ( ) logag x f x x= − a [ ]2,10 2, 10   ( )2,10 [ )2,10 ( ) ( )2ln 1 e 4 x af x x= + − 2 2 2a b c+ = , ,a b c 2 2 2a b c+ = , ,a b c - 3 - 个、第三个数都可以用含 m 的代数式来表示，依此规律, 当 时，得到的一组勾股数 是 ． 15 ．已知不等式组 表示的平面区域为 D, 若存在 ， 使得 ，则实数 k 的取值范围是 . 16．四边形 ABCD 中 , ， ，则四边形 ABCD 面积的取值范围为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算 步骤.第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答） (一)必考题：共 60 分 17．（本小题满分 12 分）已知 . (1)若 是等差数列,且 , ,求 ； (2)若 是等比数列,且 , 求 . 18 ．（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ， ， ， 点 分别为 和 的中点. （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若二面角 为直二面角，求 的值. 19． （本小题满分 12 分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机 收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数（人） 30 25 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 - ' ' 'ABC ABC =90BAC∠ ° = = 'AB AC AAλ ,M N 'AB ' 'BC // ' 'MN AACC平面 '- -A MN C λ x y 13m = 1 0 1 0 3 3 0 x y x y x y − + ≥  + − ≥  − − ≤ ( )0 0,x y D∈ ( )0 01 1y k x+ = + 2 2AD AB= = CB CD⊥ 2BC CD BD+ ≥ ( )1 2 11 2n n nS na n a a a−= + − + + + { }na 1 5S = 2 18S = na { }na 1 23, 15S S= = nS - 4 - 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％，将频率视为概率. （Ⅰ）确定 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾 客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. 20．(本题满分 12 分) 已知圆 关于椭圆C： 的一个焦 点对称，且经过椭圆的一个顶点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l： 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，已知 O 为坐标原点，以线段 OA、OB 为邻 边作平行四边形 OAPB，若点 P 在椭圆 C 上，求 k 的值及平行四边形 OAPB 的面积. 21．（本小题满分 12 分）已知函数 ,其中常数 ． （ 1 ） 讨 论 函 数 的 单 调 性 ； （ 2 ） 已 知 , 在 处 的 切 线 为 , 求证：当 时, 恒成立. (二)选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题 记分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)求出直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程； (2)若直线 与曲线 交于 A，B 两点，点 C 是曲线 上与 A，B 不重合的一点，求 ABC 面积 的最大值. ,x y 2 2 2 0x y x+ − = 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > 1y kx= + ( ) ( )2 2 lnf x x a x a x= − + + 0a > ( )f x 1a = ( )f x ( )0x t t= > ( )y g x= ( ) 2 02x t t  − − >    ( ) ( ) ( ) 0x t f x g x− − >   xOy l 21 2 2 2 x t y t  = − +  = O x 1C 2 2 2cos2 4 sin 3ρ θ ρ θ+ = l 1C l 1C 1C ∆ - 5 - 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ． (Ⅰ)若不等式 恒成立，求实数 的最大值 ； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正数 满足 ，求证： ． ( ) | 3| | 2 |f x x x= − + + ( ) | 1|f x m≥ + m M , ,a b c 2a b c M+ + = 1 1 1a b b c + ≥+ + - 6 - 2019 年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷 班级： 姓名： 座号： 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是 符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 (　　) A． B． C． D． 2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 (　　) A． B． C． D． 3. 已知等差数列 的首项 和公差 均不为零，且 ， ， 成等比数列， 则 ( ) A． B． C． D． 4. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心” 活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形 为正方形， 为线段 的中 点， 四边形 与四边形 也为正方形，连接 、 ，则向多边形 中投掷一 点， 则该点落在阴影部分的概率为 (　　) A． B． C． D． 5. 已知直线 平面 ，则“直线 ”是“ ”的 (　　) A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 件 6. 已知圆 ： ，点 ， ．从点 观察点 ，要使视线不被圆 挡住，则 实数 的取值范围为 (　　) A． B． C． D． 7.将函数 的图象向左平移 （ ）个单位长度，所得图象对应的函 数为 偶函数，则 的最小值为 (　　) A． B． C． { }1,3,9,27A = { }3log ,B y y x x A= = ∈ A B = { }13， { }13 9，， { }3 9 27，， { }13 9 27，，， z 2zi i= − − i z = 2 3 2 5 { }na 1a d 2a 4a 8a 1 5 9 2 3 + + + a a a a a = 6 5 4 3 ABCD G BC AEFG DGHI EB CI AEFGHID 1 12 1 8 1 6 5 24 m ⊥ α n m⊥ n α∥ C 2 2 3x y+ = (0, 2 3)A − ( ,2 3)B a A B C a ( , 2 3) (2 3, )−∞ − +∞ ( , 4) (4, )−∞ − +∞ ( , 2) (2, )−∞ − +∞ ( 4,4)− ( ) 2cos 2 3sinf x x x= − ϕ 0ϕ > ϕ 6 π 3 π 2 3 π - 7 - D． 8. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于(　　) A． B． C． D． 9.定义 为 个正数 的“均倒数”． 若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 (　　) A． B． C． D． 10.已知向量 ， 满足 ， ，则 的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 11.已知 函数是一个求余函数，记 表示 除 以 的余数，例如 ．右图是某个算法的程序框 图， 若输入 的值为 ，则输出的值为 (　　) A． B． C． D． 12.已知 ，则关于 的方程 ， 给出下列五个命题：①存在实数 ，使得该方程没有实根； ②存在实数 ，使得该方程恰有 个实根； ③存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根； ④存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根； ⑤存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根． 其中正确的命题的个数是 (　　) A． B． C． D． 二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设 ，则 a，b，c 的大小关系是________(用“<”连接) 1 3 2 3 1 2 3 4 11 1 10 9 11 10 12 11 a b [2,3] [3,4] [2, 13] [3, 13] 5 6 π 1 2 3 n n p p p p+ + + + n 1 2 3, , , , np p p p { }na n 1 2 1n + 1 4 n n ab += 1 2 2 3 3 4 10 11 1 1 1 1 b b b b b b b b + + + + = + 3a b =  2a b− =  +a b  MOD ( , )MOD m n m n (8,3) 2MOD = m 56 6 7 8 9 2 , 0( ) , 0 x xf x x x  ≥= − < x ( ( ))f f x t= t t 1 t 2 t 3 t 4 4 3 2 1 0.6 3.1 52 , 0.5 , sin 6a b c π−= = = n m?≤ ( , ) 0MOD m n = n n 1= + i i 1= + n 2,i 0= = 开始 结束 输入m 输出i 是 是 否 否 - 8 - 14.若变量 、 满足约束条件 ，则 的最大值为 ； 15. 设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若 ， 的面积为 ，且 ，则该双曲线的离心率为 ； 16.已知函数 ，则 ； 三、 解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共 60 分. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 ． (Ⅰ)求函数 的递增区间；(Ⅱ)若 的角 所对的边分别为 ，角 的 平分线 交 于 ， ， ，求 ． 18. (本小题满分 12 分) 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 座以下私家车投保交强险第一年的费用 （基准 保费）统一为 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发 生道路 交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下 表（其中 浮动比率是在基准保费上上下浮动）： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 x y 2 0 2 0 y x y x y ≤  + ≥  − − ≤ 2z x y= − 1F 2F ( )2 2 2 2 1 0, 0 x y a ba b − = > > P 1 2 0PF PF⋅ =  1 2PF F∆ 9 7a b+ = 1 1( ) 3sin( )2 2f x x x= + − + 1 2( ) ( )2019 2019f f+ 2018( )2019f+⋅⋅⋅+ = 23( ) 3sin( )sin( ) cos 12f x x x x π= − + − + ( ) f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c A BC D 3( ) 2f A = 2 2AD BD= = cosC 6 950 - 9 - 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 辆车龄已满三 年的 该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 (Ⅰ)求这 辆车普通 座以下私家车在第四年续保时保费的平均值（精确到 元） (Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的 车辆记为 事故车．假设购进一辆事故车亏损 元，一辆非事故车盈利 元，且各种投保类 型车的 频率与上述机构调查的频率一致．试完成下列问题： ①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选 辆车， 求这 辆车恰好有一辆为事故车的概率； ②若该销售商一次购进 辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的 平均 值． 19. (本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 中， ， ， 1A 10% 2A 20% 3A 30% 4A 0% 5A 10% 6A 30% 6 60 1A 2A 3A 4A 5A 6A 10 5 5 20 15 5 60 6 0.1 5000 10000 3 3 120 P ABC− PA AB⊥ 4PA AB BC= = = - 10 - ， ， 为线段 的中点， 是线段 上一动点． （1）当 时，求证： 面 ； （2）当 的面积最小时，求三棱锥 的体积． 20. (本小题满分 12 分) 已知一定点 ，及一定直线 ： ，以动点 为圆心的圆 过点 ，且与直线 相切． (Ⅰ)求动点 的轨迹 的方程； (Ⅱ)设 在直线 上，直线 ， 分别与曲线 相切于 ， ， 为线段 的中点． 求证： ，且直线 恒过定点． 21. (本小题满分 12 分)　　已知函数 . (Ⅰ)若 ，求函数 的极值； (Ⅱ)若 ，记 为 的从小到大的第 （ ）个极值点，证明： （ ）． (二)选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 记分， 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分) C P l PA PB C A B AB AB 90ABC∠ =  4 3PC = D AC E PC DE AC⊥ PA∥ DEB BDE∆ E BCD− (0,1)F l 1y = − M M F l M N 2AB NP= ( ) sin cosf x x x x= + (0,2 )x π∈ ( )f x 0x > ix ( )f x i i N ∗∈ 2 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1+ 9nx x x x + + + < 2n n N ∗≥ ∈， - 11 - 已知直线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点 为极点， 轴非负半轴 为 极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ． (Ⅰ) 求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； (Ⅱ) 设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值． 23.选修 4-5：不等式选讲 (本小题满分 10 分) 设函数 ． (Ⅰ)当 时，求不等式 的解集； (Ⅱ)对任意实数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围． 2019 年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D D C B B C A C D B B 1. A 【解析】：∵ ， ，则 ，故应选 A． 2. D 【解析】：∵ ，∴ ，∴ ，故应选 D． 3. D【解析】：∵ ， ， 成等比数列，∴ ，∴ ， ∴ ， 又 ， ，∴ ，∴ ，∴ ，故 应选 D． 4. C 【 解 析 】 ： 设 ， 则 ， ， 故 多 边 形 的 面 积 l 1 3 3 x t y t = + = + t O x C 2 4 cos 2 3 sin 4ρ ρ θ ρ θ= + − l C l C ,A B OA OB⋅ ( ) 1f x x x a= + + − 2a = ( ) 5f x > x ( ) 3f x ≥ a { }1,3,9,27A = { } { }3log , 0,1,2,3B y x x A= = ∈ = { }1,3A B = 2zi i= − − 1 2z i= − + 5z = 2a 4a 8a 2 4 2 8a a a= 2 1 1 1( 3 ) ( )( 7 )a d a d a d+ = + + 2 1d a d= 0d ≠ 1 0a ≠ 1d a= 1 1( 1) 0na a n d na= + − = ≠ 1 5 9 1 1 1 2 3 1 1 + + +5 +9 3+ 2 +3 a a a a a a a a a a = = 2AB = 1BG = 5AG= AEFGHID - 12 - ， ∵ ，∴ ， 故所求概率为 ．故应选 C． 5. B 【解析】： 由 ， 推不出 （可能 ），由 ， 能推出 ； 6. B 【解析】：点 在直线 上，过点 作圆的切线，设该切线的斜率为 ， 则该切线 的方程为 ，即 ．由圆心到切线的距离等于半径得： ，∴ ， ∴该切线的方程为 ，它和直线 的交点为 、 ．故要使视线不 被圆 挡住， 则实数 的取值范围为 ，故应选 B．（或作出图形，利用平几法，求相 关线段） 7. C 【 解 析 】 ： ∵ 向 左 平 移 （ ） 单 位 后 得 到 函 数 ， 又 为 偶 函 数 ， 故 ， ，故 ， ，故 ，故应选 C． 8. A 【解析】：抠点法:在长方体 中抠点，①由正视图 可知： 上没有点； ②由侧视图可知： 上没有点； ③由俯视图可知： 上没有 点； ④由正（俯）视图可知： 处有点，由虚线可知 处有点， 点排除．由上述可还 原出 四 棱 锥 ， 如 右 上 图 所 示 ， ∴ ， 15 5 2 2 2 122S = × × + × × = 2sin cos 5 ABEAB GAB AG ∠ = ∠ = = 1 1 2sin 5 2 22 2 5 S AE AB EAB= × × × ∠ = × × × =阴影部分 2 1 12 6P = = m ⊥ α n m⊥ n α∥ n α⊂ m ⊥ α n α∥ n m⊥ B 2 3y = (0, 2 3)A − k 2 3y kx= − 2 3 0kx y− − = 2 2 3 3 1k = + 3k = ± 3 2 3y x= ± − 2 3y = ( 4,2)− (4,2) C a ( , 4) (4, )−∞ − +∞ ( ) 2cos 2 3sin 4cos( )3f x x x x π= − = + ϕ 0ϕ > ( )g x = 4cos( )3x πϕ+ + ( )g x 3 k πϕ π+ = k Z∈ 3 k πϕ π= − + k Z∈ min 2 3 πϕ = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1C D 1 1B C 1CC ,D E ,B F A 1A BEDF− 1 1 1BEDFS = × = - 13 - ∴ ．故选 . 9. C 【 解 析 】 ： 依 题 意 得 ： ， ∴ ， 故 可 得 ， ∴ ， ，再由裂项求和法，可得 ，故 应选 C． 10. D 【 解 析 】 ： ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，（当且仅当 时，等 号成立）， ∴ ，∴ ，又 ，∴ ，故应选 D． 11. B 【解析】：此框图的功能是求 大于 的约数的个数，其约数有 ， ， ， ， ， ， ， 共有 个，故应选 B． 12. B 【解析】：设 ，则 ，先作出 的图象，及直线 ，结 合图象 可以看出：①当 时， 不存在，从而 不存在；②当 时， ，则 ，原方程有 唯一根； ③当 时，则存在唯一负数 与之对应，再作出 的图象，及直线 ， 结合图象， 可以看出： 不存在；④当 时，则存在一个负数 或一个非负数 与之对应，再作出 的图象，及直线 （ ），结合图象，可以看出：⑴对于负数 ，没 有 与之对应，⑵当 时，则有两个不同的 与之对应， ⑶当 时，则有唯一的 与之对应，综上所述：原方程的根的情况有：无实根，恰有 实根，恰有 实根，从而可得①、 ②、③正确．故应选 B． 二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 1 1 11 13 3A BEDFV − = × × = A 1 2 1n n S n = + 22nS n n= + 4 1na n= − 1 4 n n ab n += = 1 1 1 1 1 ( 1) 1n nb b n n n n+ = = −+ + 1 2 2 3 3 4 10 11 1 1 1 1 1 101 11 11bb b b b b b b + + + + = − = + 3a b =  2a b− =  2( + ) 9a b =  2( ) 4a b− =  2 2( + ) ( ) 13a b a b+ − =    2 2 13+ 2a b =  2 2 13+ 2a b =  2 2 13+ 22a b a b= ≥    13 2a b= =  2 2 22( + ) 13 ( )a b a b= ≥ +    13a b+ ≤  a b a b+ ≥ ±    3a b+ ≥  56 1 2 4 7 8 14 28 56 7 ( )m f x= ( )f m t= 2 , 0( ) , 0 m mf m m m  ≥= − < y t= 0t < m x 0t = 0m = 0x = 0 1t< < m 2 , 0( ) 0 x xf x x x  ≥= − < ， y m= x 1t ≥ 1m 2m 2 , 0( ) 0 x xf x x x  ≥= − < ， iy m= 1,2i = 1m x 2 1m ≥ x 20 1m< < x 1 2 - 14 - 13. 【 解 析 】 ∵ ， ， ∴ ； 14. 【解析】：画出可行域后可得最优解为 ，故 ； 15. 【解析】：由 得： ，故 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ； 16. 【 解 析 】 ： ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又 设 ， 则 ， ∴ ，∴ ． 三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共 60 分. 17. (本小题满分 12 分) 解 ： (Ⅰ)∵ ，………3 分，令 ， ，∴ ， ， ∴函数 的递增区间为 ， ，………6 分； b c a< < 0.6 3.1 3.1 152 , 0.5 2 , sin 26a b c π− − −= = = = = 3.1 1 0.6− <− <− b c a< < 3 (1, 1)P − max 3z = 5 4 1 2 1 2 2 2 2 1 2 18 2 4 PF PF PF PF a PF PF c  ⋅ =  − =   + =       2 9b = 3b = 7a b+ = 4a = 5c = 5 4e = 2018 1 1( ) 3sin( )2 2f x x x= + − + 1 1 1 1(1 ) 1 3sin( ) 1 3sin( )2 2 2 2f x x x x x− = − + − + = − − − + ( ) (1 ) 2f x f x+ − = 1 2 3 2018( ) ( ) ( ) ( )2019 2019 2019 2019S f f f f= + + +⋅⋅⋅+ 2018 3( ) ( )2019 2019S f f= +⋅⋅⋅+ 2 1( ) ( )2019 2019f f+ + 1 2018 2 2017 3 20162 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]2019 2019 2019 2019 2019 2019S f f f f f f= + + + + + +⋅⋅⋅ 2018 1[ ( ) ( )] 2 2 2 2 2 20182019 2019f f+ + = + + + + = × 2018S = 23( ) 3sin( )sin( ) cos 12f x x x x π= − + − + = 2 3 1 cos23sin cos sin sin 22 2 xx x x x −⋅ + = + 1sin(2 )6 2x π= − + 2 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ − ≤ + k Z∈ 6 3k x k π ππ π− ≤ ≤ + k Z∈ ( ) f x [ , ]6 3k k π ππ π− + k Z∈ - 15 - (Ⅱ) ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ，∴ ，又 平分 ，∴ ，……8 分；又 ， 又由 正 弦 定 理 得 ： ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ；……10 分 ∴ ，∴ ．……12 分 18. (本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)这 辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为 元；…5 分 (Ⅱ) ①由统计数据可知，该销售商店内的 辆该品牌车龄已满三年的二手车中有 辆事故车， 设为 ， ， 辆非事故车，设为 ， ， ， ．从这 辆车中随机挑选 辆车的情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种 情 况．…6 分 其中 辆车中恰好有一辆为事故车的情况有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种．…7 分，故该顾客在店 内随机 挑选 辆车，这 辆车中恰好有一辆事故车的概率为 .…9 分， ②由统计数据可知，该销售商一次购进 辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车 3( ) 2f A = 1 3sin(2 )6 2 2A π− + = sin(2 ) 16A π− = 0 A π< < 1126 6 6A π π π− < − < 2 6 2A π π− = 3A π= AD BAC∠ 6BAD π∠ = 2 2AD BD= = sin sin BD AD BAD B =∠ 2 2 sinsin 6 Bπ = 2sin 2B = 20 3B π< < = 4B π ( )3 4C π ππ= − + 1 2 3 2 6 2cos cos( ) ( )3 4 2 2 2 2 4C π π −= − + = − × − × = 60 10 5 5 20 15 5 119( 0.9+ 0.8+ 0.7+ 1+ 1.1+ 1.3) 950 950 942.160 60 60 60 60 60 120 × × × × × × × = × ≈ 6 2 a b 4 1 2 3 4 6 3 ( , ,1)a b ( , ,2)a b ( , ,3)a b ( , ,4)a b ( ,1,2)a ( ,1,3)a ( ,1,4)a ( ,2,3)a ( ,2,4)a ( ,3,4)a ( ,1,2)b ( ,1,3)b ( ,1,4)b ( ,2,3)b ( ,2,4)b ( ,3,4)b (1,2,3) (1,2,4) (1,3,4) (2,3,4) 20 3 ( ,1,2)a ( ,1,3)a ( ,1,4)a ( ,2,3)a ( ,2,4)a ( ,3,4)a ( ,1,2)b ( ,1,3)b ( ,1,4)b ( ,2,3)b ( ,2,4)b ( ,3,4)b 12 3 3 12 3=20 5 120 40 - 16 - 辆， 非事故车 辆，所以一辆车盈利的平均值为 (元)．… 12 分 19. (本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)在直角 中， ， ，∴ ， 又∵ 在 中， ， ， ，∴ ， ∴ …3 分，又 ，∴ ，又 面 ， 面 ，∴ 面 …6 分 (Ⅱ)∵ ， ， ， ∴ 面 ， 又 面 ， ∴ ， 又∵ ， ，∴ ，又 ，∴ 面 ，又 面 ， ∴ ，…9 分，又 ，∴当 最小时， 的面积最小，又当 时， 最小，故此时 ， ∴ ， ∴ ，又 面 ， ∴ ……12 分． 20. (本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ) ∵圆 过点 ，且与直线 相切，∴点 到点 的距离等于点 到直线 的距离， ∴点 的轨迹是以 为焦点，以直线 ： 为准线的一抛物线，∴ 即 ， ∴动点 的轨迹 的方程为 ；…4 分 (Ⅱ)依题意可设 ， ， ，…5 分，又 ，∴ ，∴ ， ABC C 80 1 [( 5000) 40 10000 80] 5000120 − × + × = ABC∆ 90ABC∠ =  4AB BC= = 4 2AC = PAC∆ 4PA = 4 2AC= 4 3PC = 2 2 2PC PA AC= + PA AC⊥ DE AC⊥ PA DE∥ PA ⊄ DEB DE ⊂ DEB PA∥ DEB PA AC⊥ PA AB⊥ AB AC A= PA ⊥ ABC DB ⊂ PA DB⊥ AB BC= AD DC= DB AC⊥ PA AC A= DB⊥ PAC DE⊂ PAC DB DE⊥ 1 2 22DB AC= = DE BDE∆ DE PC⊥ DE 1 4 2 6sin 2 22 34 3 PADE DC PCA AC PC = = × = × = cos 2 2 ACEC DC PCA PC = × = × 4 2 4 32 2 34 3 = × = 1 1 2 4 3 4 262 2 3 3 3DECS DE EC∆ = × = × × = DB⊥ PAC 1 1 4 2 162 23 3 3 9E BCD B CDE CDEV V S BD− − ∆= = × = × × = M F l M F M l M (0,1)F l 1y = − 12 p = 2p = M 2 4x y= 0( , 1)P x − 2 1 1 1( , )4A x x 2 2 2 1( , )4B x x 2 4x y= 21 4y x= 1 2y x′ = - 17 - ∴切线 的斜率 ，∴切线 ： ，即 ，…6 分， 同 理可得： 切线 的斜率 ， ： ，…7 分，又 ，∴ 且 ， 故 方 程 即 有 两 根 ， ， ∴ ，…8 分， ∴ ，∴ ，…9 分，又 为线段 的中点，∴ … 10 分， 又 由 得 ： ， 即 ， 同 理 可 得 ： ， 故直线 的方程为 …11 分，故直线 恒过定点 ．…12 分． 21. (本小题满分 12 分) 解 ： (Ⅰ) ∵ ， ， ∴ ， …1 分 令 ， 则 或 ， …2 分，∴ 当 或 时 ， ， 当 时， ，∴ 在 上递增，在 上递减， 在 上递增，∴当 时， 取 得 极 大 值 ， ， 当 时 ， 取 得 极 小 值 ， ；…5 分 (Ⅱ)∵ 为 的 从 小 到 大 的 第 （ ） 个 极 值 点 ， 又 令 ， ， 则 ， ，…6 分，∴ ， ， ，… 9 分， AB PA 1 1 1 2k x= PA 2 1 1 1 1 1 ( )4 2y x x x x− = − 2 1 12 4 0x x y x− − = PB 2 2 1 2k x= PB 2 2 22 4 0x x y x− − = 0( , 1)P x − 2 1 0 12 +4 0x x x− = 2 2 0 22 +4 0x x x− = 2 02 +4 0x x x− = 2 02 4 0x x x− − = 1x 2x 1 2 4x x = − 1 2 1 2 1 2 1 1 1 12 2 4k k x x x x= × = = − PA PB⊥ N 2AB NP= 2 1 0 12 +4 0x x x− = 2 1 1 0 1 +1 02 4 xx x − = 1 0 1 1 +1 02 x x y− = 2 0 2 1 +1 02 x x y− = AB 0 1 +1 02 x x y− = AB (0,1)F ( ) sin cosf x x x x= + 0 2x π< < ( ) sin cos sin cosf x x x x x x x′ = + − = 0 2x π< < ( ) 0f x′ = 2x π= 3 2x π= 0 2x π< < 3 22 x π π< < ( ) 0f x′ > 3 2 2x π π< < ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )2 π 3( , )2 2 π π ( )f x 3( ,2 )2 π π 2x π= ( )f x ( ) ( )2 2f x f π π= =极大值 3 2x π= ( )f x 3 3( ) ( )2 2f x f π π= = −极小值 ix ( )f x i i N ∗∈ ( ) 0f x′ = 0x > (2 1) 2i ix π−= i N ∗∈ 2 2 2 2 2 1 4 4 1 (2 1) (2 1) 1ix i iπ π= < ×− − − 2 2 2 2 (2 2)i iπ= × − 2 1 1 1( )1i iπ= × −− 2i ≥ i N ∗∈ - 18 - ∴ ．… 12 分． 22. (本小题满分 10 分) 解 ： (Ⅰ) ∵ 直 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ），∴ 直 线 的 普 通 方 程 为 ， 即 ， ∴ 直 线 的 极 坐 标 方 程 ： … 2 分 ； 又 ∵ 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ， ， ， ∴ ， 即 ，∴曲线 的直角坐标方程为 ，…5 分； (Ⅱ) ∵ 将 直 线 ： 代 入 曲 线 的 极 坐 标 方 程 ： 得 ： ，…7 分；设直线 与曲线 的两交点 的极坐标分别为 ， ， ∴ ，…8 分； ∴ 的值．…10 分． 23 ． 解 ： (Ⅰ) ∵ ， ∴ 当 时 ， ，…2 分； 又 ，∴ 或 或 ，…3 分；∴ 或 或 ， ∴ 或 ，…4 分；∴ 的解集为 ；…5 分； (Ⅱ) ∵ （当且仅当 时，等号成立），…6 分； ∴ …7 分；又对任意实数 ，都有 恒成立，∴ ，…8 分；∴ ， ∴ 或 ，∴ 或 ．… 9 分 ；故实数 的取值范围为 或 2 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1+ nx x x x + + + 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( ) ( )] ( )1 2 2 3 3 4 1 1n n nπ π< − + − + − + + − = × −− 2 1 1 9π< < l 1 3 3 x t y t = + = + t l 3 3( 1)y x= + − 3y x= l = 3 πθ C 2 4 cos 2 3 sin 4ρ ρ θ ρ θ= + − cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 4 2 3 4x y x y+ = + − 2 2( 2) ( 3) 3x y− + − = C 2 2( 2) ( 3) 3x y− + − = l = 3 πθ C 2 4 cos 2 3 sin 4ρ ρ θ ρ θ= + − 2 5 4 0ρ ρ− + = l C ,A B 1 1( , )A ρ θ 2 2( , )B ρ θ 1 2 4ρ ρ = 1 2 1 2 4OA OB ρ ρ ρ ρ⋅ = ⋅ = = ( ) 1f x x x a= + + − 2a = 2 1, 1 ( ) 1 2 3, 1 2 2 1, 2 x x f x x x x x x − + < − = + + − = − ≤ ≤  − > ( ) 5f x > 1 2 1 5 x x < − − + > 1 2 3 5 x− ≤ ≤  > 2 2 1 5 x x >  − > 1 2 x x < −  < − x∈∅ 2 3 x x >  > 2x < − 3x > ( ) 5f x > ( , 2) (3, )−∞ − +∞ ( ) 1 1f x x x a a= + + − ≥ + ( 1)( ) 0x x a+ − ≤ min( ) 1f x a= + x ( ) 3f x ≥ min( ) 3f x ≥ 1 3a + ≥ 1 3a + ≥ 1 3a + ≤ − 2a ≥ 4a ≤ − a 2a ≥ - 19 - ．…10 分． 4a ≤ −