2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程2 直线方程的几种形式学案 苏教版

2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程2 直线方程的几种形式学案 苏教版

直线方程的几种形式 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 直线方程的几种形式 ‎1. 掌握直线方程的几种形式；‎ ‎2. 能利用几种形式求直线的方程；‎ ‎3. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系。‎ 选择题 填空题 解答题 ‎1. 理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程；‎ ‎2. 会根据直线的特征量画直线，研究直线性质。‎ 二、重难点提示 重点：直线方程的五种形式。‎ 难点：直线方程的五种形式的适用条件及其形式特征。‎ 考点一：直线方程的几种形式 ‎（1）直线的点斜式方程和斜截式方程 ‎①过点P1（x1，y1）且斜率为k的直线方程y－y1＝k（x－x1）叫做直线的点斜式方程。‎ ‎②过点P1（x1，y1）且与x轴垂直的方程为x＝x1，即由横坐标为的所有点组成的直线。‎ ‎③当直线经过点P（0，b），且斜率为k的直线的方程为y＝kx＋b，它称为直线的斜截式方程。其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距。‎ ‎（2）直线的两点式方程和截距式方程 ‎①已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则其方程为（x1≠x2且y1≠y2），称为直线的两点式方程。‎ 当x1＝x2时的方程是x＝x1；当y1＝y2时直线的方程是y＝y1。‎ ‎②已知直线过点A（a,0）、B（0，b），其中a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距，则直线的方程为＋＝1（a≠0，b≠0），称为直线的截距式方程。‎ 当ab＝0时直线的方程是x＝a或y＝b。‎ ‎（3）关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A、B不全为0）叫做直线的一般式方程。‎ 技巧点拨：‎ 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k（x－x0）‎ 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 4‎ 两点式 不含直线x＝x1（x1≠x2）和直线y＝y1（y1≠y2）‎ 截距式 ‎＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ ‎（A2＋B2≠0）‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 例题1 （求直线的方程）‎ 求过点（4，－3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程。‎ 思路分析：要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程。‎ 答案：法1：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b。‎ ‎①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1。‎ ‎∵点（4，－3）在直线上，∴＋＝1，‎ 若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1。‎ 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7。‎ ‎②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点（4，－3），‎ ‎∴直线的方程为3x＋4y＝0。‎ 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0。‎ 法2：设直线l的方程为y＋3＝k（x－4），‎ 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝。‎ 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，‎ ‎∴|－4k－3|＝||，解得k＝1或k＝－1或k＝－。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 由于直线的截距式方程不表示过原点的直线，因此解法1首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视。‎ ‎2. 求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x＝0，所得y值是在y轴上的截距，令y＝0，所得x值是在x轴上的截距。‎ ‎3. 直线方程的确定只需两个量，一点一斜或两点，确定方程时，要选择合适的形式，且最后结果要转化为直线的一般式方程。‎ ‎4. 在把其他形式的方程化为一般式方程时，一般是将x的系数化为正数。‎ 例题2 （直线方程间的综合应用）‎ 设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）。‎ ‎（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；‎ ‎（2）是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ 4‎ 思路分析：（1）分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解。‎ ‎（2）分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解。‎ 答案：（1） 直线l 可化为a （x－1） ＋x＋y＋2＝0，令x－1=0，x＋y＋2＝0‎ 则 x=1，y＝－3，所以直线l恒过（1，－3）。‎ 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，即截距相等，‎ ‎∴a＝2时满足条件，此时l的方程为3x＋y＝0；‎ 当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不合题意；‎ 当a≠－1，且a≠2时，由＝a－2，即a＋1＝1，即a＝0。‎ 此时直线在x轴、y轴上的截距都为－2，l的方程为x＋y＋2＝0。‎ 综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0时，l在两坐标轴上的截距相等。‎ ‎（2）假设存在实数a，使直线l不经过第二象限。将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，‎ 则有或，解得a≤－1。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题（1）在求解过程中，常因忽略直线l过原点的情况而产生漏解；本题（2）在求解过程中，常因漏掉“－（a＋1）＝‎0”‎的情形而漏解。‎ ‎2. 解答此类综合问题，常采用分类讨论（或数形结合）的思想求解。解题时应结合具体问题选好切入点，以防增（漏）解。　‎ 坐标法在实际问题中的应用 ‎【满分训练】如图所示，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积。（精确到‎1 m2‎）‎ 思路分析：本题考查坐标法的应用和二次函数的最值问题，关键是确定点P的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解。‎ 4‎ 答案：建立如上图所示坐标系，则B（30,0），A（0,20），‎ ‎∴由直线的截距式方程得到线段AB的方程为＋＝1（0≤x≤30）。‎ 设点P的坐标为（x，y），则有y＝20－。‎ ‎∴公寓占地面积为S＝（100－x）·（80－y）＝（100－x）·（80－20＋）‎ ‎＝－x2＋x＋6 000（0≤x≤30）。‎ ‎∴当x＝5，y＝时，S取最大值，最大值为 S＝－×52＋×5＋6 000≈6 017（m2）。‎ 即当P点的坐标为（5，）时，公寓占地面积最大，最大面积约为6 ‎017 m2‎。‎ 技巧点拨：‎ 本题是利用坐标法解决生活问题，P点的位置由两个条件确定，一是A、P、B三点共线，二是矩形的面积最大。借三点共线寻求x与y的关系，利用二次函数知识，探求最大值是处理这类问题的常用方法。‎ 4‎