（新高考）2021届高三入学调研试卷 数学（四） Word版含解析

（新高考）2021届高三入学调研试卷 数学（四） Word版含解析

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎（新高考）2021届高三入学调研试卷 数 学（四）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数满足，其中为虚数单位，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知向量，向量，若，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知正方体的棱长为1，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间。其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（ ）尺．‎ A． B． C． D．‎ ‎8．根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A．月跑步里程最小值出现在2月 B．月跑步里程逐月增加 C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小 ‎10．已知函数，下列结论不正确的是（ ）‎ A．函数图像关于对称 B．函数在上单调递增 C．若，则 D．函数的最小值为 ‎11．下列选项中正确的是（ ）‎ A．不等式恒成立 B．存在实数，使得不等式成立 C．若为正实数，则 D．若正实数满足，则 ‎12．在空间中，已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）‎ A．若，且，，则 B．若，且，，则 C．若与相交，且，，则与相交 D．若，且，，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．函数在点的切线方程为_________．‎ ‎14．二项式的展开式中的系数是_________．‎ ‎15．若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是_______．‎ ‎16．已知，则______（用表示）；______．（用整数值表示）．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面问题中．已知等差数列的公差为，前项和为，递减的等比数列的公比为．是方程的两个实数根，且，．‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）若，求证：．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎18．（12分）在中，内角所对的边分别为．已知，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且．‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若四棱锥的体积为，是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．（12）设为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．‎ ‎（1）求、、的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数在上的最大值与最小值．‎ ‎21．（12分）已知椭圆（）的一个焦点为，且该椭圆经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点、，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（12分）已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．‎ ‎（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；‎ ‎（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者．‎ ‎（i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；‎ ‎（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望．‎ 你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由．‎ ‎（新高考）2021届高三入学调研试卷 数 学（四）答 案 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】由题意可得，，所以，故选A．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】，故选A．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由已知得，，故选B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】连接，则，可知是正三角形，，‎ 故选C．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】由题知双曲线的一条渐近线方程为，则，‎ ‎，，故选D．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为，首项，，‎ 可得，解之得，故选B．‎ ‎8．【答案】A - 15 -‎ ‎【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有种选法，‎ 再将捆绑后的专家分别派到3个县区，共有种分法，‎ 故总共有种派法．‎ 其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有种，其概率为，故选A．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．【答案】ACD ‎【解析】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；‎ 月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；‎ 月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；‎ ‎1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确，‎ 故选ACD．‎ ‎10．【答案】BCD ‎【解析】由题意可得 ‎，‎ 函数图象如下所示：‎ 故对称轴为，，故A正确；‎ - 15 -‎ 显然函数在上单调递增，上单调递减，故B错误；‎ 当，时函数取得最小值，故D错误；‎ 要使，则，‎ 则或，或，，‎ 所以或，，故C错误，‎ 故选BCD．‎ ‎11．【答案】BCD ‎【解析】不等式恒成立的条件是，，故A不正确；‎ 当为负数时，不等式成立．故B正确；‎ 由基本不等式可知C正确；‎ 对于，‎ 当且仅当，即，时取等号，故D正确，‎ 故选BCD．‎ ‎12．【答案】AC ‎【解析】若，且，，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确；‎ 若，且，，则与互相平行或相交或异面，故B错误；‎ 若相交，且，，即两平面的法向量相交，则相交成立，故C正确；‎ 若，且，，则与平行或相交，故D错误，‎ 故选AC．‎ 第Ⅱ卷 - 15 -‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，，因此切线方程为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】展开式的第项为，故令，即，‎ 所以的系数为．‎ ‎15．【答案】9‎ ‎【解析】抛物线的焦点，准线为，‎ 由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故M点到y轴的距离是9．‎ ‎16．【答案】，‎ ‎【解析】，，‎ 故答案为；．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1），；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由方程，解得，所以或，‎ 由，解得，‎ 当，时，，，，‎ 等比数列递增，舍去；‎ 当，时，，，，‎ - 15 -‎ 等比数列递减，符合题意，‎ ‎∴，．‎ ‎（2）记，‎ 若选①，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，得证．‎ 若选②，‎ ‎，‎ ‎∴，得证．‎ 若选③，∴，‎ ‎∴，得证．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）．‎ - 15 -‎ ‎【解析】（1）在中，由正弦定理，得，‎ 又由，得，即，‎ 又因为，得到，，‎ 由余弦定理可得．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 从而，，‎ 故．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1），且，，‎ 又为正三角形，所以，‎ 又，，所以，‎ 又，，‎ ‎，，所以平面．‎ ‎（2）设点到平面的距离为，则，‎ 依题可得，以为原点，直线、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，‎ 分别求出各点的坐标和向量，‎ 由（1）可知平面，故向量是平面的一个法向量，‎ 则向量与向量所成的角或其补角与直线与平面所成的角互余．‎ - 15 -‎ 则，，，，则，设，‎ 由，，可得，‎ 解得，，即，‎ 所以，‎ 又由（1）可知，是平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎20．【答案】（1），，；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）为奇函数，，‎ 即，，‎ 的最小值为，，‎ 又直线的斜率为，因此，‎ 故，，．‎ - 15 -‎ ‎（2），，列表如下：‎ 所以函数的单调递增区间为和，‎ 的极大值为，极小值为，‎ 又，，‎ 所以当时，取得最小值为；当时，取得最大值．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）法1：【待定系数法】‎ 由题意可得，‎ 又因为点在椭圆上，得，‎ 联立解得，，‎ 所以椭圆的方程为．‎ 法2：【定义法】‎ 设另一个焦点为，则为直角三角形，‎ 由勾股定理得，所以，即，‎ 由，得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆联立，‎ - 15 -‎ 整理得．‎ 由，‎ 设，，定点(且，‎ 则由韦达定理可得，．‎ 直线与直线恰关于轴对称，等价于，的斜率互为相反数，‎ 所以，即得，‎ 又，，得，，‎ 所以，‎ 整理得，从而可得，‎ 即，‎ 所以当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立；‎ 特别地，当直线为轴时，也符合题意，‎ 综上，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，；（ii）按分2组，，按分3组，．‎ ‎【解析】（1）6名密切接触者中随机抽取3名共有种方法，‎ 抽取3名中有感染者的抽法共有种方法，‎ 所以抽到感染者的概率．‎ - 15 -‎ ‎（2）（i）按逐一化验法，的可能取值是1，2，3，4，5，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎【表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性）】‎ 分布列如下：‎ 所以．‎ ‎（ii）平均分组混合化验，6个样本可按平均分成2组或者按分成3组．‎ 如果按分2组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，‎ ‎，，‎ 分布列如下：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎，‎ 如果按分3组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，‎ ‎，，‎ 分布列如下：‎ ‎2‎ ‎3‎ - 15 -‎ ‎．‎ ‎【参考回答1】：‎ 因为，所以我认为平均分组混合化验法较好，按或分组进行化验均可．‎ ‎【参考回答2】：‎ 因为，‎ 按分2组比按分3组所需硬件资源及操作程序更少，所以我认为平均分组混合化验法且按分2组更好．‎ ‎【注】第三问属于开放性问题，以上仅为参考答案，能给出理由并作出合理判断就可给分。‎ 请注意后续的开放题考查评分可能涉及满意原则（如回答1）及加分原则（如回答2）．‎ - 15 -‎