2021届高三入学调研试卷 理科数学（三） Word版含解析

2021届高三入学调研试卷 理科数学（三） Word版含解析

2021 届高三入学调研试卷 理 科 数 学（三） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．古人常说：“没有金刚钻，不揽瓷器活”，则“有金刚钻”是“揽瓷器活”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数 ，若 ， ，则（ ） A． B． C． D． 与 的大小不能确定 4．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数），则 的 值为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 7．在 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 8．将函数 的图象上的所有点向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 的图象，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 9．曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 10．若函数 存在最小值，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 12．将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到 的 图象，若 ，且 ， ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．在 中， ， ，三角形的面积为 ，则 外接圆的直径是 ． 14．函数 在 上的值域为 ． 15．已知函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是 ． 1{ 0}1 xA x x += <− 2{ 0}B x x x= − ≤ A B = { 1 1}x x− ≤ ≤ { 0 1}x x≤ ≤ { 0 1}x x< ≤ { 0 1}x x≤ < 2( ) 2 4(0 3)f x ax ax a= + + < < 1 2x x< 1 2 1x x a+ = − 1 2( ) ( )f x f x< 1 2( ) ( )f x f x= 1 2( ) ( )f x f x> 1( )f x 2( )f x ( )f x R 0x ≥ ( ) 2xf x a= + a 2( log 3)f − 1− 2 2− 1 ( ) 2 ( ) lnf x xf e x′= + ( )f e′ = 1 e − 1 e 1− 1 (tan ) sin 2f x x= (2)f = 2 4 5 3 3 5 ABC△ 5cos 2 5 C = 1BC = 5AC = AB = 4 2 30 29 2 5 π2sin( )3 6 xy = + π 4 3 ( )g x ( )g x π( ) 2sin( ) 33 4 xg x = − − π( ) 2sin( ) 33 4 xg x = + + π( ) 2sin( ) 33 12 xg x = − + π( ) 2sin( ) 33 12 xg x = − − 3( 3 ) lny x x x= − ⋅ (1,0) 2 2 0x y+ − = 2 1 0x y+ − = 1 0x y+ − = 4 4 0x y+ − = log , 3( ) 2 8, 3 a x xf x x x >= − + ≤ a (1, )+∞ ( 3, )+∞ (1, 3] 3(0, ]3 ( )f x ( ,0)−∞ ( )f x′ 2( ) 3 ( )xf x x f x′ > + 38 ( 2014) ( 2014) ( 2) 0f x x f+ + + − > ( 2018, 2016)− − ( 2018,0)− ( , 2018)−∞ − ( , 2016)−∞ − π( ) 2sin(2 )6f x x= + π 12 1 ( )g x 1 2( ) ( ) 9g x g x = 1x 2 [ 2π,2π]x ∈ − 1 22x x− 25π 6 35π 6 17π 4 49π 12 ABC△ 60A = ° 1b = 3 ABC△ π( ) 2sin(2 )8f x x= + 3π 5π( , )16 16x∈ − 21( ) 4 3ln2f x x x x= − + − [ , 1]t t + t 16 ． 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 当 时 ， ， 若 对 ， 恒成立，则 的最大取值为 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ． 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（10 分）已知 ，其中 ； ． （1）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 18．（12 分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ． （1）求函数 的解析式； （2）若对任意实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 19．（12 分）已知 内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ． （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的面积． R ( )f x ( 1) 3 ( )f x f x+ = [1,2)x∈ 2( ) logf x x= x m∀ ≤ 4( ) 3f x ≤ m 2: (3 ) 3 0p x a x a− + + < 3a < 2: 4 5 0q x x+ − > p q¬ a p q a ( )y f x= R 0x ≥ 2( ) 2f x x x= + ( )f x m 2( ) ( ) 0f m f m t+ − > t ABC△ A B C a b c 1cos2 2cos 2C C+ = C 2b = 6c = ABC△ 20．（12 分）已知函数 （ ）． （1）若 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值； （2）若 在 上为增函数，求 的取值范围． 21 ．（ 12 分 ） 已 知 ， ， 分 别 为 锐 角 三 个 内 角 ， ， 的 对 边 ， 且 ． （1）求 的大小； （2）求 的取值范围． 21( ) ln2f x x a x= − a ∈ R ( )y f x= 2x = y x b= + a b ( )f x (1, )+∞ a a b c ABC△ A B C ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C+ − = − A∠ 2πsin( ) 2sin2 2 CB+ − 22．（12 分）已知 ． （1）若 ，求 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 在 上的最大值为 ，求 的值． 1( ) 2 4 ( )xf x e ax a−= + ∈R 1a e = ( )f x 0x = ( )f x [1,2] 3e a - 5 - 2021 届高三入学调研试卷 理 科 数 学（三）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】 ， ， 则 ． 2．【答案】B 【解析】“没有金刚钻，不揽瓷器活”的逆否命题为“揽瓷器活则有金刚钻”； 根据互为逆否命题的真假性相同，可得“揽瓷器活”是“有金刚钻”的充分条件， 则“有金刚钻”是“揽瓷器活”的必要条件． 3．【答案】A 【解析】 ， 因为 ，则 ，则 ． 4．【答案】C 【解析】∵ 是定义在 上的奇函数，则 ，故 ， 则 ， ∴当 时， ，∴ ． 5．【答案】A 【解析】由题意得 ，∴ ，∴ ． 6．【答案】B 【解析】 ，所以 ，即 ． 7．【答案】A 1{ 0} { 1 1}1 xA x xx += < = − < <− 2{ 0} { 0 1}B x x x x x= − ≤ = ≤ ≤ { 0 1}A B x x= ≤ < 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) (3 )( )f x f x a x x a x x a a x x− = − + − = − − 0 3a< < (3 ) 0a a− > 1 2( ) ( )f x f x< ( )f x R (0) 0f = 0(0) 2 0f a= + = 1a = − 0x ≥ ( ) 2 1xf x = − 2log 3 2 2( log 3) (log 3) 2 1 2f f− = − = − + = − 1( ) 2 ( )f x f e x ′ ′= + 1( ) 2 ( )f e f e e ′ ′= + 1( )f e e ′ = − 2 2tan(tan ) sin 2 1 tan xf x x x = = + 2 2( ) 1 xf x x = + 4(2) 5f = - 6 - 【解析】由 ，则 ， ∴ ，∴ ． 8．【答案】B 【解析】由题可得，将函数 的图象上的所有点向左平移 个单位， 再向上平移 个单位，得到函数 的图象， 则 ． 9．【答案】A 【解析】依题意， ，故切线斜率 ， 故所求切线方程为 ，即 ． 10．【答案】C 【解析】由函数 可知， 当 时 ， ， 函 数 必 须 满 足 ， 否 则 函 数 无 最 小 值 ， 此 时 ； 当 时 ， 单 调 递 减 ， 满 足 ， 所 以 ， 解 得 ． 11．【答案】D 【解析】函数 是定义在 上的函数，所以由 ， 不等式 可变形为 ， 构造函数 ， ， 所以 在 上单调递增， 由 ，可得 ，故选 D． 5cos 2 5 C = 2 3cos 2cos 12 5 CC = − = − 2 2 2 2 cos 1 25 6 32AB BC AC BC AC C= + − ⋅ ⋅ = + + = 4 2AB = π2sin( )3 6 xy = + π 4 3 ( )g x 1 π π π( ) 2sin[ ( ) ] 3 2sin( ) 33 4 6 3 4 xg x x= + + + = + + 2 31(3 3) ln ( 3 )y x x x xx ′ = − ⋅ + ⋅ − 1 2xk y =′= = − 2( 1)y x= − − 2 2 0x y+ − = log , 3( ) 2 8, 3 a x xf x x x >= − + ≤ 3x > ( ) logaf x x= 1a > ( ) (3) log 3af x f> = 3x ≤ ( ) 2 8f x x= − + ( ) (3) 2f x f≥ = log 3 2a ≥ 1 3a< ≤ ( )f x ( ,0)−∞ 2014 0x + < 38 ( 2014) ( 2014) ( 2) 0f x x f+ + + − > 3 3 ( 2014) ( 2) ( 2014) ( 2) f x f x + −<+ − 3 ( )( ) ( 0)f xg x xx = < 2 4 4 2 ( ) 3 ( ) 1( ) 0xf x f x xg x x x x ′ −′ = > = > ( )g x ( ,0)−∞ ( 2014) ( 2)g x g+ < − 2014 0 20162014 2 x xx + < ⇒ < − + < − - 7 - 12．【答案】D 【解析】由题意可得 ，所以 ， 又 ，所以 ， 由 ，得 ， 因为 ， ，所以 ， 故选 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．【答案】 【解析】因为 ，所以 ， 由余弦定理得 ，故 ． 14．【答案】 【解析】∵函数 在 内单调递增，在 内单调递减， ∴ 在 处取得最大值， ； 在 处取得最小值， ， 所以 在 上的值域为 ． 15．【答案】 【解析】由题意知 ， 由 ，得函数 的两个极值点为 和 ， 则只要这两个极值点有一个在区间 内，函数 在区间 上就不单调， π π( ) ( ) 1 2sin(2 ) 112 3g x f x x= + + = + + ( ) [ 1,3]g x ∈ − 1 2( ) ( ) 9g x g x = 1 2( ) ( ) 3g x g x= = π( ) 2sin(2 ) 1 33g x x= + + = π π2 2 π( )3 2x k k+ = + ∈Z 1x 2 [ 2π,2π]x ∈ − 2 1 max π π 49π(2 ) 2 ( π) ( 2π)12 12 12x x− = × + − − = 2 39 3 1 sin 60 32ABCS bc= ° =△ 4c = 2 24 1 2 4 1 cos60 13a = + − × × × ° = 2 392 sin 3 aR A = = ( 2,2]− ( )f x 3π 3π( , )16 16 − 3π 5π( , )16 16 ( )f x 3π 16x = 3π( ) 216f = 3π 16x = − 3π( ) 216f − = − ( )f x 3π 5π( , )16 16 − ( 2,2]− (0,1) (2,3) 3 ( 1)( 3)( ) 4 x xf x x x x − −′ = − + − = − ( ) 0f x′ = ( )f x 1 3 ( , 1)t t + ( )f x [ , 1]t t + - 8 - ∴ 或 或 或 ． 16．【答案】 【解析】∵ ，∴ ． 依题意，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 令 ，解得 ，结合函数图象的特征可知， 要使 恒成立，则 ， 故 的最大取值为 ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为 ， ，所以 ，记 ， 又因为 ，所以 或 ，记 ， 又 是 的必要不充分条件，所以有 ，且 推不出 ， 所以 ，即 ， 所以实数 的取值范围为 ． （2）因为 是 的充分不必要条件，则有 ，且 推不出 ，即 ， 所以有 ，即 ， 所以实数 的取值范围是 ． 1 ( , 1)t t∈ + 13 ( , 1) 1 1 tt t t <∈ + ⇔  + > 3 0 11 3 t tt < ⇔ < < + > 2 3t< < 35 2+ ( 1) 3 ( )f x f x+ = ( ) 3 ( 1)f x f x= − [2,3)x∈ 2( ) 3log ( 1)f x x= − [3,4)x∈ 2( ) 9log ( 2)f x x= − [4,5)x∈ 2( ) 27log ( 3)f x x= − [5,6)x∈ 4 2( ) 3 log ( 4)f x x= ⋅ − [6,7)x∈ 5 2( ) 3 log ( 5)f x x= ⋅ − 5 4 2( ) 3 log ( 5) 3f x x= ⋅ − = 35 2x = + 4( ) 3f x ≤ 35 2m ≤ + m 35 2+ ( , 5)−∞ − [1,3) 2 (3 ) 3 0x a x a− + + < 3a < 3a x< < ( ,3)A a= 2 4 5 0x x+ − > 5x < − 1x > ( , 5) (1, )B = −∞ − +∞ p q¬ q p¬ ⇒ p q¬ C B AR  [ 5,1] ( ,3)a−  a ( , 5)−∞ − p q p q⇒ q p A B ( ,3) ( , 5) (1, )a −∞ − +∞ 1a ≥ a [1,3) - 9 - 18．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时， ， 又 是奇函数，∴ ， ∴ ，∴ ． （2）由 和 是奇函数，得 ， 由 的图象知 为 上的增函数， ∴ ， ，∴ ． 19．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由 ，得 ，所以 ， ∵ ，所以 ． （2）由正弦定理得 ，即 ， 又 ，所以 ，所以 ， 所以 ， ， 所以 ． 20．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为 ，且 在 处的切线方程为 ， 2 2 2 , 0( ) 2 , 0 x x xf x x x x − + <=  + ≥ 1 4t < − 0x < 0x− > ( )f x 2( ) ( ) 2 ( )f x x x f x− = − − = − 2( ) 2 ( 0)f x x x x= − + < 2 2 2 , 0( ) 2 , 0 x x xf x x x x − + <=  + ≥ 2( ) ( ) 0f m f m t+ − > ( )f x 2 2( ) ( ) ( )f m f m t f t m> − − = − ( )f x ( )f x R 2m t m> − 2 21 1( )2 4t m m m< + = + − 1 4t < − π 3C = 3 3 2 + 1cos2 2cos 2C C+ = 2 32cos 2cos 02C C+ − = 1cos 2C = 0 πC< < π 3C = sin sin c b C B = 32sin 22sin 26 b CB c × = = = c b> C B> π 4B = π π 5ππ 3 4 12A = − − = π π 6 2sin sin( )4 6 4A += + = 1 1 6 2 3 3sin 2 62 2 4 2ABCS bc A + += = × × × =△ 2 2ln 2 a b =  = − 1a ≤ ( ) ( 0)af x x xx ′ = − > ( )f x 2x = y x b= + - 10 - 所以 ，所以 ． （2）因为 在 上为增函数，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以有 ． 21．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为 ， 由正弦定理有 ，即有 ， 由余弦定理得 ， 又 为锐角，∴ ． （2） ， 又在锐角 中，有 ， 所以 ，所以 ， ∴ 的取值范围是 ． 22．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）若 ，则 ， ， 所以 ， ，则切线方程为 ， 令 ，得 ；令 ，得 ， 2 ln 2 2 2 12 a b a − = + − = 2 2ln 2 a b =  = − ( )f x (1, )+∞ ( ) 0af x x x ′ = − ≥ (1, )+∞ 2a x≤ (1, )+∞ 1a ≤ π 3A = 3( 1,0]2 − ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C+ − = − ( )( ) ( )a b a b c b c+ − = − 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc + −= = = A π 3A = 2πsin( ) 2sin cos cos 12 2 CB B C+ − = + − 2π πcos cos( ) 1 sin( ) 13 6B B B= + − − = + − ABC△ ππ 00 π π22 2π ππ 6 200 3 22 BB B BC  < << <  ⇒ ⇒ < <    < − << <   π π 2π 3 6 3B< + < 3 πsin( ) 12 6 B< + ≤ 2πsin( ) 2sin2 2 CB+ − 3( 1,0]2 − 1 3e 8 ea = 1a e = 1 4( ) 2 xf x e xe −= + 1 4( ) 2 xf x e e −′ = + 1(0) 6f e−′ = 1(0) 2f e−= 1 12 6y e e x− −− = 0x = 12y e−= 0y = 1 3x = − - 11 - 则切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ． （2） ， （i）当 时， ，故 在 上单调递增， 所以 在 上的最大值为 ，所以 ． （ii）当 时，由 ，可得 ． ①当 ，即 时， 在 上单调递增， 所以 在 上的最大值为 ，所以 ，舍去； ②当 ，即 时， 在 上单调递减， 所以 在 上的最大值为 ，所以 ，不满足 ，舍 去； ③当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 由上面分析可知，若 或 ， 得到 的值均为正数，不满足 ，故此种情况不符合题意， 综上可知， ． 11 1 122 3 3S e e −= ⋅ ⋅ − = 1( ) 2 4xf x e a−′ = + 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x [1,2] ( )f x [1,2] (2) 2 8 3f e a e= + = 8 ea = 0a < ( ) 0f x′ = ln( 2 ) 1x a= − + ln( 2 ) 1 1a− + ≤ 1 02 a− ≤ < ( )f x [1,2] ( )f x [1,2] (2) 2 8 3f e a e= + = 08 ea = > ln( 2 ) 1 2a− + ≥ 2 ea ≤ − ( )f x [1,2] ( )f x [1,2] (1) 2 4 3f a e= + = 3 1 4 2a e= − 2 ea ≤ − 1 ln( 2 ) 1 2a< − + < 1 2 2 e a− < < − ( )f x [1,ln( 2 ) 1]a− + [ln( 2 ) 1,2]a− + (1) 2 4 3f a e= + = (2) 2 8 3f e a e= + = a 1 2 2 e a− < < − 8 ea =