甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高一下学期第三学段（期末考试）考试数学（理）试题 含解析

甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高一下学期第三学段（期末考试）考试数学（理）试题 含解析

甘肃省天水市一中2018-2019学年高一下学期期末考试 数学（理）试题 一、选择题（每题只有一个选项正确，请你将所选选项涂在答题卡相应位置，每题3分共36分）‎ ‎1.=（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．‎ ‎【详解】由题意，可得 ‎．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知α是第一象限角，那么是（　　）‎ A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即 属于第一象限角．故答案为：D．‎ 考点：象限角、轴线角．‎ ‎3.下列说法正确的是（）‎ A. 锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;‎ B. 如果向量，则；‎ C. 在中，记，，则向量与可以作为平面ABC内的一组基底；‎ D. 若，都是单位向量，则.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可举的角在第一象限，但不是锐角，可判断A；考虑两向量是否为零向量，可判断B；由不共线，推得与不共线，可判断C；考虑两向量的方向可判断D，得到答案．‎ ‎【详解】对于A，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角，‎ 比如的角在第一象限，但不是锐角，故A错误；‎ 对于B，如果两个非零向量满足，则，‎ 若存在零向量，结论不一定成立，故B错误；‎ 对于C，在中，记，可得与不共线，‎ 则向量与可以作为平面内的一组基底，故C正确；‎ 对于D，若都是单位向量，且方向相同时，；若方向不相同，结论不成立，‎ 所以D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．‎ ‎4.角的终边经过点且，则b的值为（）‎ A. -3 B. ‎3 ‎C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，建立方程关系，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，角的终边经过点且，则，‎ 又由，所以，则，解得或（舍去），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5.设，，，若则，的值是（）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量相等的充要条件可得：，列出方程组，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，向量，，，‎ 又因为，所以，‎ 所以，解得，故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数乘运算及向量相等的充要条件，其中解答中熟记向量的共线条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6.已知向量，，则在方向上的投影为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，向量，，‎ 则在方向上的投影为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7.已知实数，实数，实数，则实数、的大小关系是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化成具体的正弦函数，利用正弦函数单调性，进行比较，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，得，‎ ‎，‎ 由正弦函数的单调性可得，所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的形状为（）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理化简，得到，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．‎ ‎【详解】由题意知，，‎ 结合正弦定理，化简可得，‎ 所以，则，‎ 所以，得或，‎ 所以三角形是等腰或直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．‎ ‎9.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）‎ A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的图象变换规律，即可求解，得出结论．‎ ‎【详解】由题意，函数，，‎ 又由，‎ 故把函数的图象上所有的点，向右平移个单位长度，‎ 可得的图象，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数 图象变换规律，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10.函数图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用余弦型函数的性质求出函数的对称轴和对称中心，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数的性质，‎ 令，解得，‎ 当时，，即函数一条对称轴的方程为，‎ 令，解得，‎ 当时，，即函数的一个对称中心为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦型函数的性质对称轴和对称中心的应用，着重考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．‎ ‎11.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求三角形的一个内角的余弦值，可得的值，得到答案．‎ ‎【详解】在 中，因为，即，‎ 利用余弦定理可得，又由,所以，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件，合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12.已知，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先利用同角三角函数关系式的变换，求出的值，进一步求的值，最后利用差角公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】由题意，知，，‎ 所以，解得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又由，‎ 则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数关系式的变换，以及二倍角公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力，属于基础题．‎ 二、填空题（将你所做答案写在答题卡相应位置上，每小题3分，共12分）‎ ‎13.________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的诱导公式，进行化简，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，原式，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用，关键在于熟练掌握诱导公式，考查学生记忆公式与应用公式的能力，属于基础题．‎ ‎14.已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的夹角为钝角，得出，即可求得的范围．‎ ‎【详解】由题意，向量与的夹角为钝角，所以，且不共线，‎ 则，解得，且，‎ 所以实数的范围．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的坐标运算的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.计算：=_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：两角和的正切公式 点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.‎ ‎16.若两个向量与的夹角为，则称向量“”为向量的“外积”，其长度为.若已知，，，则 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故答案为3.‎ ‎【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，‎ 三、解答题（将必要解题过程和推演步骤写在答题卡相应位置上，6小题共52分）‎ ‎17.已知，求 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案．‎ ‎【详解】（1）由题意，知，则；‎ ‎（2）由 ‎＝＝．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中，已知向量 ，＝(sin x，cos x)， x∈ .‎ ‎ （1）若⊥，求tan x的值；‎ ‎ （2）若与的夹角为，求x的值．‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，，则，结合三角函数的关系式即可求出的值。‎ ‎（2）本题考察的向量的数量积的问题，若向量与向量的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求出的值。‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知∵，∴‎ 由数量积坐标公式得∴，∴‎ ‎（Ⅱ）∵与的夹角为 ‎，∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，即．‎ 考点：平面向量数量积的运算 ‎19.在中，，，，解三角形.‎ ‎【答案】当时，，，当，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件通过正弦定理求出，然后利用正弦定理或余弦定理转化求解，即可求解．‎ ‎【详解】在中，，‎ 由正弦定理可得：＝＝，‎ 因为，所以或，‎ 当时，因为，所以，从而，‎ 当时，因为，所以，从而＝．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理与余弦定理，合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20.的内角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，点在边上，，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：，结合范围，可得，进而可求A的值．‎ ‎（2）在△ADC中，由正弦定理可得，可得 ‎，利用三角形内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ ‎∴可得：，可得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴，可得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，可得：．‎ ‎（2）∵，点D在边上，，‎ ‎∴中，由正弦定理，可得：，可得：，‎ ‎∴，可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎21.已知为坐标原点，，，若 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若方程有根，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 的单调减区间为;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据向量点积的坐标运算得到，根据正弦函数的单调性得到单调递减区间；（2）将式子变形为.有解，转化为值域问题。‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）∵，，‎ ‎∴ ‎ 其单调递减区间满足，，‎ 所以的单调减区间为 .‎ ‎（Ⅱ）∵当时，方程有根，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 点睛：这个题目考查了，向量点积运算，三角函数的化一公式，，正弦函数的单调性问题，三角函数的值域和图像问题。第二问还要用到了方程的零点的问题。一般函数的零点和方程的根，图象的交点是同一个问题，可以互相转化。‎ ‎22.已知函数，设其最小值为 ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求a以及此时的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数间基本关系化简函数解析式后，分三种情况、和讨论，根据二次函数求最小值的方法求出的最小值的值即可；‎ ‎（2）把代入到第一问的的第二和第三个解析式中，求出的值，代入中得到的解析式，利用配方可得的最大值．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数 ‎∵，∴，‎ 若，即，则当时，取得最小值，.‎ 若，即，则当时，取得最小值，.‎ 若即，则当时，取得最小值，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）及题意，得当时，‎ 令，解得或（舍去）；‎ 当时，令，解得（舍去），‎ 综上，，此时，‎ 则时，取得最大值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求熟练掌握余弦函数图象与性质，其中解答中合理转化为二次函数的图象与性质进行求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎