数学理卷·2019届广东省佛山一中高二下学期第一次段考（4月）（2018-04）

数学理卷·2019届广东省佛山一中高二下学期第一次段考（4月）（2018-04）

佛山一中2017~2018高二下学期第一次段考 理科数学试题 命题人：李维、吴以浩 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 下列函数求导运算正确的个数为 ‎ ①(3x)′＝3xlog3e； ②(log2x)′＝； ③′＝cos； ④′＝x.‎ ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎2. 函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎3. 已知函数的导函数，若在处取到极大值，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知曲线的方程为，给定下列两个命题：‎ 若，则曲线为椭圆；若曲线是焦点在轴上的双曲线，则．‎ 那么，下列命题中，真命题是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 若函数在上是增函数，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 设函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 曲线上的点到直线的最短距离是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么，瞬时融化速度等于的时刻是图中的 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11. 已知函数，若且，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中，若存在唯一的整数x0，使得，则a的取值范围是 ‎ A. [，1) B. [) C. [) D. [，1)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13. 定积分的值为．‎ ‎14. 已知三棱锥中，平面，，且，则三棱锥的外接球的表面积为．‎ ‎15. 若直线与曲线相切，则．‎ ‎16.是双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. (本小题10分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为Vm2.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m3，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．‎ ‎（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；‎ ‎（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．‎ ‎18. (本小题12分)已知．经计算得，，，．‎ ‎（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎19. (本小题12分)如图，在三棱柱中，，，点是线段的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，求二面角的余弦值．‎ ‎20. (本小题12分)设函数．‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若当时，求的取值范围．‎ ‎21. (本小题12分)已知椭圆的离心率是，且过点．直线与椭圆相交于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线，分别与轴交于点，．判断，的大小关系，并加以证明．‎ ‎22. (本小题12分)已知函数，，其中．设．‎ ‎（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，函数有两个不同的零点，．‎ ‎ ①求的取值范围；‎ ‎ ②求证：．‎ ‎2017~2018高二下学期第一次段考理科数学答案 命题人：李维、吴以浩 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ADBBC DDACB AD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎ 13. 14. 15. 16. 5‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元，又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，………………………………1分 所以h＝(300－4r2)，…………………………………………………………………………………2分 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．………………………………………………………………………4分 因r>0，又由h>0可得r<5，‎ 故函数V(r)的定义域为(0,5)．………………………………………………………………………5分 ‎(2)因V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)，………………………………………………6分 令V′(r)＝0，解得r1＝5.r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．……………………………7分 当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；……………………………………………8分 当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．………………………………………9分 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，‎ 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．……………………………………………………10分 ‎18.（1）由题意知，，，，‎ 由此得到一般性结论：（或者猜想也行）．……4分 ‎    （2）①当时，，猜想成立．……5分 ‎②假设时，结论成立，即，………………………6分 那么，时，‎ ‎…………………7分 ‎…………………9分 ‎…………………‎ ‎10分 所以当时，猜想也成立．…………………………………………………………………11分 由①②可知，上述结论对都成立，所以猜想成立．………………………………12分 ‎19.（1）连接AC1，交A1C于点M。连接OM，BC1。．‎ 因为棱柱的侧面是平行四边形，所以M是AC1的中点。‎ 又因为O是AB中点，所以OM是△ABC1的中位线，……………1分 所以OM∥BC1。………………………………………………………2分 又因为OM⊂平面OA1C，BC1⊄平面OA1C，………………………3分 所以BC1∥平面OA1C．………………………………………………4分 ‎    （2）连接，，．‎ 因为，，‎ 故，都为等边三角形。‎ 因为O是AB中点，所以，。‎ 因为，，所以OC＝OA1＝，A1C2＝OC2＋A1O2。‎ 所以OC⊥OA1。‎ 所以，，两两垂直，……………………………………………………………………5分 以为原点，，，所在直线分别为x，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，…………………………………………………6分 ‎，，…………………………………………………………7分 设平面的法向量，则…………………8分 取，得，……………………………………………………………9分 平面的法向量，……………………………………………………………10分 设二面角的平面角为，显然为锐角，故．…11分 所以二面角的余弦值为．………………………………………………………12分 ‎20. （1）时，，‎ ‎，………………………………………………2分 令，可得或；令，可得．…………………4分 所以函数的单调增区间是，；单调减区间为．………………………6分 ‎    （2）．‎ 令，则．……………………………………………………8分 若，则当时，，为增函数，而，从而当时，，即．……………………………………………………………………………9分 若，则当时，，为减函数，而，从而当时，，即．………………………………………………………………………11分 综合得的取值范围为．……………………………………………………………………12分 ‎21. （1）设椭圆的半焦距为，‎ 因为椭圆的离心率是，所以，即，…………1分 由解得…………………………………………………………………3分 所以椭圆的方程为．………………………………………………………………4分 ‎      （2）．‎ 证明如下：将代入，‎ 消去整理得，………………………………………………………5分 令，解得，……………………………………………6分 设，，‎ 则，，…………………………………………………………7分 设直线，的斜率分别是，，‎ 则，其中 ‎………………………10分 所以直线，的倾斜角互补，所以，‎ 所以，……………………………………………………………………………11分 所以．……………………………………………………………………………………12分 ‎22. （1）因为，所以，………………………………………1分 由可得．‎ 又在处取得极值，所以，‎ 所以，，所以，其定义域为，，，………………………………2分 令，得，当时，；当时，；‎ 所以函数的增区间为，减区间为．…………………………………………3分 ‎      （2）当时，，其定义域为，‎ ‎①由得，记，‎ 由题意得与函数的图象有两个不同的交点，………………………………4分 又，，………………………………………………………………5分 令，且，得；令，且，得；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ 所以当时，取得最小值，……………………………………………………………6分 又，所以当时，，而当时，，当时，，…………………………………………………………………………………………7分 因为与函数的图象有两个不同的交点，所以的取值范围是．…8分 ‎②由题意得，，‎ 所以，，‎ 所以，则，不妨设，‎ 要证，只需要证，‎ 即证，…………………………………………………………………9分 设（），则，………………………………………………………10分 令（），‎ 所以，…………………………………………………11分 所以函数在上单调递增，‎ 所以，即，…………………………………………………12分 所以，即．‎